Труды семинара Бурбаки за 1988 г (947402), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Теорема. Если 1» 0 и отображение д в= К, отлично от тождественного, то существует А» О, такое что ] у(г) — г ~ » » Е( — Е'(Аг) ) для достаточно больших г. Нетрудно убедиться, что эта теорема дает решение проблемы Дюлака; ее доказательство основывается на понятии формальных разложений, именуемых Экалем «сверхточными асимптотиками» (они не представимы в виде стандартных асимптотических разложений) и пересуммнровании этих асимптотнк. Мы обсудим это в п.
8. 7. ОПЕРАТОРЫ РОСТА И КВАЗИАНАЛИТИЧНОСТЬ 73. Для мотивации последующих определений рассмотрим следующий (сильно упрощенный) пример. Пусть У(у)=Ы оду+ау'(1+ в(у)), ш(у)= ~„а„у "— формальный ряд, определенный, как в п. 43, по полугиперболи- 6 зак. ебе Ж.-К. !!оккоэ 11елоколление лредельлик циклов ческой сжимающей особой точке. Целое число г ) 1 назовем уровнем ряда (7 (или в).
Для восстановления функции в из й положим Ф(у) = в(у!н), сделаем преобразование Бореля Ф от Ф, преобразование Лапласа Ф от Ф и в результате получим: в(у) = У'(у'). Предположим теперь, что нам дано два формальных ряда в! и вэ описанного выше типа, различных уровней г! < г» Как восстановить, зная только г!, гэ и «смешанный» ряд в = в!+ + вгл функцию в = в! + в»7 Если положить Ф(у)=в(упэ), то преобразование Бореля будет сходиться, вообще говоря, только при г - гь но тогда результат 1р этого преобразования будет на бесконечности расти, как экспонента порядка больше 1, и поэтому преобразование Лапласа к Ф неприменимо. Операторы акселерации («ускорення»), которые сейчас будут определены, решают эту проблему «смешанных уровней».
7.2. Операторы акселерации 123) Для О < а < 1 определим следующую функцию: Са(4) ~~ ( !) зп! (лпа) г (1+ к! « л ! Она удовлетворяет следующему условию: ! г ! С, (ь) — К,Д ' !'-"! Е ~ — ь '-" т', ! Агд 4 ! < — (1 — а), ! ь ! — «+ оо. Оператор акселерации порядка а определим следующим об- разом: б.Ор)К,)=~.-' ~ р(~,)С.(Ы-')«~ь о Оператор ставит в соответствие функции !р, непрерывной на К+л, интегрируемой в окрестности нуля и растущей на бесконечности не быстрее экспоненты порядка (1 — а)-', функцик! бо(!р), голоморфную на секторе ~ г,, ! Ага ь" ! < — — „ Оператор 6 сохраняет инволюцию комплексного сопряжения; преобразование Бореля сопрягает его с заменой переменных г«-«го в следующем смысле: положим г > 0 и в= 2,' К л~! ,,к, а„з- — г-суммируемый в направлении Р+ формальный ряд (20), (2!), например приведенный в п.
7.1; если положить Ф,,(г)=й(гп«) для у ) О, преобразование Бореля 1й„от Ф„, сходится в точке 0 при у < г и у < г задает целую функцию (на римановой поверхности логарифма), имеющую на бесконеч- Г ности экспоненцнальный рост порядка не выше —; при этом (!т„=$„! (Ф,,) для у < у' <г. Для любых 0 < а!, а, < 1 операторы бло 6«1 и б„„совпадают на области своего определения. 7.3. Алгебры %(ро, ..., рл) Рассмотрим последовательность действительных чисел 0 < р! < ро < р! « ... р,. Введем обозначение а, == для люр! бого 1 < ! «= г. Следуя Экалю (который определял это понятие в другом контексте), назовем формальный ряд Ф (з) = = Х, 'г ~Р„(!оаг)(Рк еп С(г], А ~)«+ — дискретное множество) л акселеросуммируемым на направлении Р+, с уровнями ро, ..., р„если выполняются следующие свойетва: — формальное преобразование Бореля й, ряда во (г) = = в(з!в) сходится в окрестности нуля и продолжается до голоморфной функции на окрестности й «, которая имеет на Р«экспо- 1 ненциальный рост порядка не выше —; определим ряд в, = 1 — о, ' = ел, (во)! — для любого 1 <1 < г — 1 функция й! — — Сэ !(в1,) голо.
морфна в секторе (~Агд~) < б!) и имеет на этом секторе экспо- 1 ненциальный рост порядка не выше ! „ ', ряд й!«! определяется как % ! (й,)) — функция й, голоморфна на секторе (~Агй$~ <б,) врастет быстрее экспоненты на этом секторе. Получим преобразование Лапласа в, от й, и будем называть функцию в (г) = в, (гэг) суммой Ф; ее асимптотическое разложение на бесконечности совпадает с в. В случае, описанном в примере из 7.!, ряд в=в!+вэ является акселеросуммируемым с уровнями гь гэ и суммой в = в! + вэ (может случиться, что функция в будет иметь особенности на (к«; в этом случае надо сначала сопрячь ряды й, и в» малыми вращениями). Предложение. Ряды, которые удовлетворяют предыдущим условиям, образуют алгебру, замкнутую относительно ди4!реренцирования, которую мы будем обозначать аро, ..., р,).
Эта 6« Ж.-К. ТТоккоо алгебра содержится в любой из алгебр ро-суммируемых на направлении («+ рядов, где 1 < 1« г. Замечание. Определение акселеросуммируемости можно дать для любого направления (Агиг = Оо): будем называть формальный ряд ш акселеросуммируемым на этом направлении, если формальный ряд ш (е ' 'г) акселеросуммируем на направле- 7.4. Кввзианвлитичность Ко Конструкция обращения отображения е(; Ко- й, Рассмотрим функцию [ = д, » й, ° у, 1» ...
', у1 Ьь содержа- щуюся в Ко, для любого 1 <1< з функция Ь; принадлежит 3; обозначим через )е коэффициент перед г в д(Ь;); до являются отображениями вида [я] илн [й]-' (см. 6.3), построенными по полугиперболическим особым точкам; коэффициенты при г во всех отображениях е((у;) равны 1. Введем обозначения ме = Ц Х; для 1 < 1= з и упорядочим этот набор: /«ч (1»1 ° "» ие) = (Ро < Ро « ° ° ° Р»). Положим у=е'р'=М(г) и рассмотрим формальный ряд: М.а([)еМ =Ьу (1+ ~ ~„(у)), «~о где Ь) О, 11„(У)=У коде(1.одУ), Л„>.0, !пп А„=+со, Р„~ л-о+»» еи 1«[Х).
Преобразование Бореля Я„от ~„имеет вид Я,(ь) = ь"" 11„(1.од ~), К„ее 1«[Х). Ря Хет д ет„(ь), как правило, расходится в нуле (из-за малых зна- менателей), но замена переменной вида ь =е( — в — К(.оив) (где К) 0 достаточно велико) дает сходящееся «ресуммирова« Ф(ь). ние», как и в п, 5, в результате чего мы получаем функцию Применим к функции ф операторы акселерации 6 % оп Р»1 р» р, др и получим функцию ф, которая растет на бесконеч- ности ие быстрее любой экспоненты, а затем применим оп рат р ор апласа к ор. В результате мы получим следующую формул: у: Ма[о М-'(у) Ьу е(1+ф(у»1ро)) Замечание.
1) Интегралы, определяющие операторы аксел- р ции, и преобразование Лапласа определяются на множестве Нека«оке«ни« яр«дели«ох циклов (Агд~=6), 6.» О, так как рассматриваемые функции имеют (вообще говоря) особенности в точках 7; именно поэтому мы рассматриваем функции с комплексными значениями, но с вещественной асимптотикой. 2) Предположим, что асимптотические разложения д(йо) (1 <1< в) сходятся.
Тогда ряд Бог,(ь) сходится в окрестности нуля, и ряд ХЯ„(ур») является акселеросуммируемым на направлении (Агру=6) (где 6.»0 мало) с уровнями ро, ...„р, и суммой ф(ур»); основной смысл описанной выше конструкции дается следующим утверждением: если 1 и д — два формальных ряда, акселеросуммируемые с уровнями ро, ..., р, (с суммами соответственно [ и д), то ряд й(у)=1(у+ у(у)) также обладает этим свойством, и его сумма равна Ь(у) =1(у+ д(у) ) (для того чтобы в этом убедиться, надо использовать оператор «композиции-свертки», сопряженный с помощью формального преобразования Бореля с суперпозицией формальных рядов).
3) В общем случае необходимо рассматривать вместо алгебр л(ро, ..., р,) содержащие их алгебры 6(ро, ..., р,), ие только замкнутые относительно дифференцирования, но еще и такие, в которых процесс ресуммироваиия тот же, что описан выше; основное свойство заключается в следующем: преобразование Бореля, примененное к функции ор из к1 (см. п. 5), записанной в координате у =Е(г) не только содержится в О, ио, кроме того, его асимптотическое разложение должно совпадать с результатом применения формального преобразования Бореля к ряду д(оо), записанному в координате у.
8. СВЕРХТОЧНЫЕ АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ 8.1. Все технические приемы, необходимые для доказательства второй теоремы пункта 6.3 (квазианалитичность К~), уже сформулированы. Основная идея доказательства сводится к следующему: отображение 17~([), записанное в факторизоваином виде, как в п. 6.3, имеет «сверхточное асимптотическое разложение», что по определению обозначает «формальную суперпозицию» асимптотических разложений компонентов факторизации отображения 17,([); далее, с помощью комбинации различных приемов ресуммирования, обсужденных выше, можно добиться, чтобы асимптотическое разложение отображения Р~ (1) совпадало с сч(1); в частности, добиться, чтобы 17~(1) = Ы, если ен([) = Ы; когда сч(1) иетождественио, разность б~(1) — Ы будет иметь главную часть, гарантирующую после ресуммирования выполнение утверждения теоремы.
Я буду описывать только случай Р1 (1), общий случай несущественно отличается от него. Ж.-К. локков Нвкококлвкив кредо»ока» циклов 8.2. Формальные вычисления Отображение Р=))1(1) записывается в аиде (см. п. 6.3): Р=Р ов оР 1о ...оО~аРо, I где Р~еКв бс=Е 84д~Е, )~ ее Ко и йв 8~ — сходящиеся ряды с комплексными коэффициентами. Можно также считать, что .аффиииая часть отображений 1„тривиальна, поэтому 0; имеет .асимптотическое разложение вида г+ ~ Е( — оЕ(г))Я„9 ееС[Е(г), Е( — г)).
Обозначения. 1) Е есть алгебра формальных рядов вида 2„Е( — Хг)Рк(г), где Р, ~ С(г) и Л вЂ” дискретное подмно- жество (к. 2) Рассмотрим алгебру А; алгебру формальных рядов вида у-о -а о ~ (я+) а,, ' ... У, ', где а ее А и а =0 для всех аее(К")' о кроме дискретного в )к' множества, будем обозначать А(У„... ..., У,). Положим г; л = Р; Р; 1а ... Ро(г) для О <1< з и м ЛР(г) = Р(г) — г,+ь Сначала вычислим ЛР формально по фо- уле Тейлора, считая г, независимыми переменными.
В резуль- Р тате мы получим элемент ЬРо алгебры Е(Е»(г1), ..., Е»(г,)), где Š— это алгебра, порожденная функциями Е(г(), Е( — г;), .РРу (г;) 1 < 1 < з, 1 = 1. С другой стороны, напишем асимптотическое разложение функции Е(г;) от г; в виде Е(г;)=Р;(г)+5~(г), где 5~(г)= =о(1) и Р;(г) = 2 Е(ог) г а„(конечная сумма). о~о. а он В векторном пространстве, порожденном Рь ..., Р„выберем базис Яь ..., Я„обладающий следующими свойствами: 1) координаты векторов Рг в этом базисе неотрнцательиы; В) ф+1 (г) = о (Я, (г) ) для 1 = 1, ..., г — 1. Положим У; = Е (ь(; (г) ); определим по ЛРо элемент ЛРь при- надлежащий Е(уь ..., У,), где Š— алгебра, порожденная Е и функциями вида Е( — оЕ~(г)) для всех 1 <1< в, а ) О.
Любой элемент д алгебры Е имеет асимптотическое разложе- ние с((о), лежащее в Е. Элемент ЛР из Е(уь ..., У,) опреде- ленный по ЬРн называется сверхточным асимнтотическим раз- ложением отображения ЛР. 8.3. Ресуммирование Ключевым моментом доказательства является инъективность гомеоморфизма сй Е- Е и возможность егообращення методом, определенным в п. 7.4. Восстановим теперь ЛР по ЛР, ее Х.(уь ..., У,).
Рассмотрим ЛР1 как элемент алгебры Е(У,)(уь ..., У, 1), и начнем пере- суммировать элементы Е(У,). Рассмотрим любой такой элемент 1='2 1„у,о; он допускает «уровни» ро, ..., р, (см. 7.3); положим у= уо =Р(ро(;1,(г)) =Н(г) и получим формальное преобразование Бореля 1 от 1. 1(о/Рд — ! 1 (г) = Х (о г (д!р,) где 1,— это формальное преобразование Бореля от 1о ° Н-'. Проведем далее последовательно процедуры ресуммирования 1, описанную п.
7.4, акселерации и восстановления 1»Н — ' с помощью преобразования Лапласа («коэффицненты» 1, в основном ведут себя, как константы). Повторив эту процедуру несколько раз, последовательно заменяя переменные У, ь ..., Уь мы получим в результате функцию ЬР. 84 Замечание Переменные У| У, являются здесь функ циями от переменной г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
