Труды семинара Бурбаки за 1988 г (947402), страница 15
Текст из файла (страница 15)
-! 2) Росток голоморфного диффеоморфизма Ь =1(+ о (1! ) определенный с точностью до гомотетии .С, не меняется при сопряжении голоморфного диффеоморфизма Ь любым голоморфным диффеоморфизмом. 3) В случае гиперболической особой точки отображение соответствия выражается через преобразования монодромии на инвариантных многообразиях аналогично.
4.3. Аналитический подход В этом пункте будет обсуждаться эффективное «вычисление» отображений Г(+ и 1!. В координате у! ! имеем Ь(у,)=у,(1 — су", + ...) Далее, легко доказать следующую лемму. Лемма. Существует формальный ряд 0 вида 0(у)=ау'(1+ ~ а„у ")+Ы опу, а>0, а„, Ье=(«, п~! единственный с точностью до аддитивной константы, такой, что (/(Ь(у)) =О(у)+ 2л(. Следуя Экалю ((18]), назовем функцию, к которой сходится формальный ряд »Г (у) = 0(у(!'), воскресающей функцией. Покажем теперь, как по ней можно восстановить отображения н /! .
П~~ож~~ (г (у) = —, 1. оп у + ау (1 + 3»т (у)) Ненококлекие ирвдвльиих циклов и рассмотрим формальное преобразование Бореля ряда (3!; ь!пр(- ! ©= Х Г(и!г) л~! Если сделать г-листное накрытие С, комплексной прямой С, разветвленное над точкой О, то этот формальный ряд будет сходиться в некоторой окрестности нуля на С„и функция )е будет аналитически продолжаться вдоль любого пути на С„ чья проекция на С не проходит через множество целых точек л,. Кроме того, в любом замкнутом секторе на .С„чья проекция на ,С не содержит никаких вещественных точек, отличных от О, функция 1» растет на бесконечности не быстрее любой экспо- ненты.
Далее вводится функция ~*(у) = ~ е-~вФ(~) ~Ц, ха«с ов где число Ь выбирается так, чтобы выполнялись условия: 0 < < Ь < л, и 3(е(уее(в) достаточно велико. Положим У (у)= — 1.оду+ау(1+йод (у)), и наконец, (! =ехр()г (у)) Кроме того, асимптотическое разложение функции )г'(. (соответственно »г-) в секторе (МВ+)-' (соответственно (йй — )-') совпадает с рядом )г. Краткая сводка результатов.
Формальный ряд () г-суммируем в смысле Рамиса ([20), (21)); его коэффициенты удовлетворяют условиям Жевре порядка 1+ 1/г. В секторе с величиной угла меньше и/г (подобном Ю) нет квазианалитичности (теорема Бореля — Ритта) и существует много различных голоморфных в Ев функций, асимптотическое разложение которых совпадает с О.
Но в секторе с величиной угла не меньше (е/г (подобном йй+ или е(3-) свойство квазианалитичности выполняется (теоремы Неванлинны и Уотсона), откуда следует возможность восстановления функций 1! н Г! с помощью преобразований Бореля и Лапласа. 5. ДОПОЛНЕНИЯ О ГРУППЕ ИЛЬЯ(ПЕНКО Замечания и определения: Л вЂ” дискретная аддитивная полугруппа,содержащаяся в Р+', й — группа аффинных преобразований вида: г! — ! ах+ Ь, а>0, ЬяР; 78 лЕ.-К.
РЕоккоэ ЕЕеноконленне кровельных циклов й': й-+ И вЂ” естественный гомоморфизм; Е! — алгебра формальных рядов вида у — !Е'(д), уенй; й»~ (ген С, Гтег> К(1+ Еоц+[г[)), для К> 0; ч!(Л, К) — алгебра функций на й», порожденных всеми «мономами» г'е —" (Гя [М,ХееЛ), ограниченными на й„(т.
е. г < '< (лК); Е!(Л, К) †пополнен алгебры ч!(Л, К) до банаховой алгебры по равномерной норме; а(Л)= Ц а(Л, й), Бь= Ц а(Л). «>о л Предложение. 1) Для любого д ~ Е! существует К > 0 и д ~ Й, такие что д является асимпготическим разложением функции д на й«. 2) Гомоморфизм д! — »д инъективен. 3) Для любого Е ее 3, Š— д'й([) лежит в Ю. Замечание. Для 1~ 3 форнальный ряд д(Е), вообще говоря, не сходится в случае малых знаменателей, однако можно перегруппировать члены ряда («компенсаторы» Экаля) так, чтобы этот преобразованный ряд сходился ([22)).
Другой результат, важный для завершения доказательства возможности восстановления Е по д(Е), формулируется аналогично результатам, изложенным в п. 4.3. Пусть Е ее 3 и [о=[ — й'й(Е), Еэ=д(Е) — й'й(Е) = 2„етхэР„(г); для достахяй точно большого К > 0 положим г= ЕГ(в)= в+ К).одв, Е! = = Еа'Ее Е! =[ь ЕГ. Имеем [!(в)= лч е-' то «»Рр,(в+К1.одв)= ~ ф„(в); хил Хил с другой стороны, Е! является функцией, голоморфной и ограниченной на области (рте в > во), удовлетворяющей следующему условию роста на бесконечности: Юю+! ! Е! (в) ! ! дв ! с + Обозначим через !гх преобразование Бореля от Егх.
е;!»(ь) = — „,. ~ е сег,(в) !ев, е >О. оо- ! Для ~ее[О,Ц имеем 4«©=0, поэтому формальное преобразование Бореля 2 Ее«(Ц от Е! определяет функцию Е! на л л !К!. Критические точки этой функции устроены так, что функция растет не быстрее экспоненты от ь и функции Е! получается из нее с помощью преобразования Лапласа: + Ф е! (в) = ~ е- с Е! (ь) !ф.
о 6. ФАКТОРИЗАЦИЯ ОТОБРАЖЕНИЯ ВОЗВРАЩЕНИЯ СЛОЖНОГО ЦИКЛА С Далее мы будем обозначать через Е экспонеициальное отображение. 6.1. Допустимые отображения последования. Глубина Для каждого 1<п'<и обозначим через !т'+(и') (соответственно ЛЕ-(и')) число полугиперболических сжимающих (соответственно растягивающих) особых точек, содержащихся среди р„..., р„,. Используя, если нужно, смену ориентации в 5 и циклическую перенумерацию точек р!, ..., р„, можно добиться выполнения неравенства Ф+(и') > ЯЕ-(и') для любого 1 < и' «- и. Следующая лемма доказывается простым вычислением.
Лемма. В предположении, что Е!Е+(и) Л! — (и), существует такое число О > О, что отображение возвращения Е, заданное на транс- версали Т„, удовлетворяет неравенству Е(г) > еае для достаточно больших г. Следовательно, сложный цикл С нг накапливает предельнь!е циклы. Далее мы будем всюду предполагать, что Лн (и) = !!Е (и). Назовем глубиной сложного цикла С максимальное значение величины ЛЕ+(и') — ЛЕ (и'), где ! <и'(~п. Будем также говорить, что отображение соответствия из Т; в Т; (где 0 < Е < Е'< и) является допустимым, если для любого Е, !'<Е<Е, ((ЛЕ+(Е) — ЛЕ+(Е)) — (У (Е) — йЕ (Е)) ииаЛЕ(Е, Е)>0 и ЛГ(Е, Е)=0; будем называть глубиной этого отображения максимальное значение Л'(Е,Е), где ! < Е =Е. 6.2.
Факторизация допустимых отображений соответствия Пусть О < ! <Е и, и отображение соответствия Е из Т! в Т! является допустимым и имеет глубину ЛГ. Если ЛГ = О, особые точки рн ь ..., ре гиперболические н отображение Е соцержится в 3. 0енакоалеаае аледельних циклов П редположим теперь, что М» О. Тогда существует такое з»1, и целые числа 1=г",<ю',<1,'«...
1,<1',<1+1= = 1,+, для которых выполняются следующие условия: — для любого 1 < г:: з, р~„(соответственно Р,1 является ~„/ полугиперболической сжимающей (соответственно растягиваю- щей) особой точкой; — если р, (где 1 < 1 < 1) является полугиперболнческой, су- ществует ген(1, ..., з), такое, что 1,(1 (1;', — для любого 1 < г< з отображение соответствия 1, с Т,, на Т ° является допустимым отображением последования глу- 0 бины не больше Ф вЂ” 1. Поэтому отображение 1 допускает следующую факторизацию: Р-~ е — ~ ~=двойке о1еейеойе |е ... ой~ой1 о[!ов1ейе, где Ь, (соответственно й, ') являются отображениями соот- ветствия около полугиперболнческих сжимающих особых точек р,, (соответственно растягивающих Р;1, а отображения лв, ...
е/ ... „Ь, принадлежат группе Ильяшенко 3. б.З. Используя результаты, изложенные в п. 4.3, отображение соответствия я около одной полугиперболической сжимающей точки запишем в виде йю=су+ой+, у+=Ее)"+«Р, Г где ген И', Р, определяется как накрытие у~ — ьу", Ь+ описана в п. 4.3 и д+ есть росток голоморфного диффеоморфизма (С, 0). Переобозйачим через [й], у, еп отображения Ге, ~'", Р„запи- санные в координате г. Имеем: я =уеЕ е [я] не. Вообще го- воря, [я] не является вещественным, но имеет на бесконечности вещественяое асимптотическое разложение, содержащееся в й.
Подставляя это разложение в разложение из предыдущего пункта (и проведя индукцию по глубине допустимых отображе- ний), получаем, что любое допустимое отображение соответ- ствия, записанное в координате г, разлагается на бесконечности в асимптотический ряд д(1), содержащийся в й. Пусть 1 является допустимым отображением соответствия глубины Ж, профакторизованным, как в предыдущем пункте при У» О.
Определим следующие отображения: Р,(1) =д'д(1) (аффинная часть 1); [, А=О, Ь,лч, ' [й,] Е 'Р,([,)Е[й,']не, ... Ь„Л~> 0 (ниже, мы полагаем йе = уеЕ[йе]ене) 1»й(»О Р'(~)= й,й;''Р, Д,)йй,, ... й,, 0<1<31. Лемма. Для любого 1» — 1 существует А» О, такое что ]1(г)— — Р~ Я (г) ] ( Е( — Ее~1(АХ) ) для достаточно больших г. Если 1 пробегает множество допустимых отображений соответствия, Р~(1) пробегает группу отображений, которую мы обозначим через Кб Отображения, лежащие в Кь аналитически продолжаются в область вида [г, Кег»А, ]1тг~ < А '), если 1= О, 12, нег»А, ]1тг!<Е( — Е (А)кег))1 если 1>0. Для любого 1» — 1 К~ с= Кь~ь К-1 =6, а Ке порождено группой 3 и отображениями вида [я] для всевозможных сжимающих полугнперболических особых точек.
В соответствии с леммой любое отображение уев К~(1=»0) разлагается иа бесконечности в асимптотический ряд, содержащийся в Ф. Теорема. Гомоморфизм д: Кь-е-й инъективен. Доказательство теоремы основывается на введении операторов акселерации для воскресающих функций, определенных в п. 4.3. Следствие. Если отображение учи Кв отлично ог тождественного, существует А О, такое что ~у(г) — г~ Е( — Аг) для достаточно больших г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
