Труды семинара Бурбаки за 1988 г (947402), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Тогда ~, р„является проектором, определяющим некотоа~ э/с ск! рый подмотив М (а) в Н (Х"„) ( — 1), который принадлежит поэтому подкатегории У!У/(/. р, определяет также некоторое представление группы Тк степени 1, а значит и некоторый алгебраический характер Гекке Ук(а), и с помощью предложения 3 устанавливается, что он удовлетворяет свойствам из теоремы 1. Замечая, что функция Л(М(а), з) — зто Е-функция характера Ук(а), мы видим, что мотив М(а) достижимый. Остается определить все те целые значения п,для которых мотив М(а) (и) критический, и посчитать для этих и инвариант с+(М(а) (и)), что не очень сложно, поскольку они однозначно описываются в терминах арифметических структур Ходжа из теоремы 5.
Отсюда следует доказательство теоремы 2. Теорема 3 затем ныводится из того факта, что мотивы из подкатегории У(У .!с однозначно определяются своими Е-функциями (предложение 4 й)); теорема 4 получается в результате сравнения М(а) с мотивом Артина. б. ВЫСШИЕ МОТИВЫ Однако для доказательства теорем 1 — 4 Андерсон предпочел воспользоваться более изящным формализмом, в котором работают арифметические структуры Ходжа. Обозначим через .яФовсУй!! категорию арифметических структур Ходжа и через УВ'.й ее полную подкатегорию, порожденную (в смысле, объясненном в 3 4) объектами Е для целых чисел /и и объектами ьс (М) для всех М, пробегающих подкатегорию Увг /Г. Тогда существует некоторая алгебраическая группа Т над О, такая, что ее точки над произвольной (;с-алгеброй /! суть /(-линейные автоморфизмы функтора Х э Нэ(Х) Э /! из категории и бг.й' в категорию ю 1т-модулей, !совместимые с тензорными прои енной г ппой Та- изведениями.
Группа Т называется расширенной группой а- ее п едставлеиия называются высшими мотивами С ждым мотивом из У(У./Г ассоциирована ар а и,„метическая каждым ст уктура Ходжа, что определяет гомоморфизм ф: . ру- :Т- Т.Сд гой стороны, для всех В' ееОЬ(УВ'./Г ) и аень//л, положим р, «ох откуда получается разложение йг/3! )г" а, задающее морфизм !: (э — Т. Тогда справедлива следующая основная творе, р " вытекают теоремы 1 — 4 и которая позволяет интерпретировать в терминах мотивов не только суммы Якоби, но и суммы Гаусби че- са; другими сл авами имеется факторизация мотивов ко етств ет вы аже- рез высшие мотивы, которая в точности соответствует выр йию сумм Якоби через суммы Гаусса. Теорема.
1) Точна последовательность 1-е./э — У вЂ” Т- 1. / Ф й) Имеется изоморфиэм мотивоэ (вьссших) Н(Х ) ( 1) (Вв )» й!) Для оенй и /ееТ(С), таких, что ср(ф(/))=о, и для а~(г!г,— (О) имеем /!Е(а)=!Е(ср(о ')а), где ф — циклотомичес- кий характер. !ч) Пусть ! — простое число.
Выберем некоторое продолжена С. фиксированного 1-адического нормирования (~, такое, ние на . и что .(, полно относительно этого нормирована , некоторому вложению Яс С. Пусть р — простое число, не равное 1. Тогда существует элемент г(р,1)ее Т(С), образ кото- рого при ср равен ас(г (р) ), где г (р) — некоторый элемент Фробе- ниуса из группы разложения в точке р, отвечающей фиксиро- ванному р-адичгскому нормированию на, р и ичем для всех целых ! ) 1 и ненулевых аен(!/У, аннулируемых умножением на р/ — 1, выполнено равенство с срь, ~асс !!=с,(Х Ы''!). й!.В. Конечно, если угодно, утверждение !ч) можно сформули- $ ровать без ссылки на аксиому выбора.
Дшсвотомня н авачення Г-фрннчиа Г. Энньлр [К вЂ” $], [Ки1 [К вЂ” Ы] [Ы] [3] [ЗсЬ] [Зе] [ЗЬ Ц [ЗЬ 2] [ЗЬ вЂ” Та] [$11 [%е Ц [Т(ге 21 [Тчге 3] ЛИТЕРАТУРА [А Ц [А 21 [ВЦ [Вг] [Тчге 41 [1'] [2»] [Вг — 1.Ц [Ое Ц [Ое 21 ») добавлено переводчиком. [ОМО8] [Стг — Ко] [На — Зсй] [Ц ') См. [1»], [2»1. — Прин. перев. 7. (ПРОДОЛЖЕНИЕ СЛЕДУЕТ) Вслед за работой Ихары [][ об 1-адической интерполяции сумм Якоби, Андерсон в [А 2] определил адельную бета-функцию В: 8-»2[[(х,(!))в[]~, о эВ„которая адельно интерполирует суммы Гаусса и удовлетворяет некоторым свойствам, аналогичным свойствами классической бета-функции В(з, 1) =Г(ь)Г(1)7 Г(в+1). Он также показал, что можно определить гиперадельпую гамма-функцию Г: 8- ]]7 [[с(!)П~, о Г„, где (( — это произведение, распространенное по простым числам р, колец векторов Витта над алгебраическим замыканием г" .
Эти функции также удовлетворяют тождествуВ„(з, 1)=Г„(з)Го(т)/Го(з+ +1) в ((~Э]]7) для в и 1 из (д/л.. Наконец, Андерсон уста- навил, что адельную бета-функцию можно рассматривать как некоторый коцикл, определяющий расширение ! — »)т — Т вЂ” Т вЂ” » 1, заданное высшими мотивами. Детали ожидаются '). Апдегвоп б. Сус!о1ошу апд ап ех1епвюп о1 йе Тап1уаша пго- ир, Сошроз. Мапт. 57 (1986), 153 — 2!7. Апдегзоп б. ТЬе Ьурегадейс нашша 1ипсйоп ргбриЫ!са!!оп (тп(ч.
М!ппево!а, 1987. В!авшв О. Оп 1Ье сгй!са! ча1иев о1 Неске й-ьег!ев, Апп. о1 Май. 124 (!986), 23 — 63. Вгацыгшп б. уасоЫ зиш Несве сьагас1егв о1 а 1о1а1!у теа) аЬе- Иап йе!д, Зеш. ТЬ. де ХошЬгез, Вогдеих, ехр. 22, аппбев !98! — 82. Вгацыгбш б., ЫсшепЬашп З..дасоЫ вшп Неске сЬагас1егв о1 !шак!пату Чиадга(тс йе!дв, Соптров. Ма1Ь. 53 (!984), 277 — 302. Оейкпе Р. Зопипев !т!Попоше1г!Чиез !и ЗОА 4пь, Соьотпо!ок!е Ыа1е, Зрг!пнет 1.ХМ 569 (1977), 168 — 232. Оейнпе Р.
Тта!еигь де 1опс1юпв й е1 реподв д'1п1енга1ев, РЗРМ 33 (1979), раг1 2, 313 — 346. [Имеется перевод; в кнз Автоморф- ные формы, представления н 1.-функции. — Мс Мнр, !984, с. 188 — 248.1 Оейнпе Р., Мйпе Л, Опиз А., ЗЫЬ К. Нодпе сус!ез, шо1!чев апд ЗЬ!пшга чапе!!ев, Зрг!пнет ьХМ 900 (!980).
[Имеется перевод: Ходткевы циклы н мотивы. — Мл Мнр, 1985.1 Огонь В., КоЫИх Х. баизв вишь апд 1Ье р-агпс Г4ипс11оп, Апп. о1 Май. !09 (!979), 569 — 581. Нагдег б., Зсьаррасьег Х, Зрес!а! ча)оев о1 Нес1ге 1.4ипснопз апд аЬейап !п1екта!в 1п АгЬеив1адипп, Вопп !984, Зрппнег йХМ !111 (!985), !7 — 49, 1Ьага У. Ргойпйе Ьга!д Пгоирв, ба!отз гергевеп(айопв апд сопг- р!ех пшШрпсайопв, Апп. о1 Ма1Ь. 123 (!986), 43 — 106. Ка1внга Т., ЗЬтода Т. Оп Реппа1 чат!е1ыв, Тоьока Май.
Л. 31 (1979), 97 †1. КиЬегт О. дасоЫ вшпз апд Невке сьагас(втз, Аш. Ю. о1 Май. 107 (!985), 253 †2. КиЬег1 О., 1.!сЫепЬашп 3. уасоЫ зшп Неске сЬагас1ег, Сотпр. Ма1Ь. 48 (1983), 55 — 87. [дсЫепЬашп $. Уа!иев о1 Ь4ипс1!опв о1 дасоЫ вЂ” вшп Несае сЬагасегв о а е' 1 гв о1 аЬейап йеЫь, !п ХшпЬег ТЬеогу ге!а!ед 1о Реппасз 1ав1 йеогегп, Ргоагевв 1п Ма!Ь. 26 (В!гЫгаизег) (1982), , 207— 2!8. Заачедга К!чапо Х. Са1еког!ез 1аппаЫеппез, Зрт!пнет ЬХМ 265 ЗсЬаррасЬег Х.
Оп йе реподз о1 Неске сЬагас1егв, Ьес(иге Хо ез о1 1301. Зиппнег Чег!аи (1987). Зегге [.— Р. АЬейап 1-агйс гергевеп1а1юпв апд е1!трйс сигчев, Веп'аппп (1968). [Имеется перевод: Серр Ж.— П. Абелевы аднческне представления н эллиптические кривые. — .: М р, ! — Мн, 1973.] р во1 ЗЫпшта б. Оп зоше апйгпеис ргорегпез о1 тподи!аг !отша о опе апд зечега1 чаг!аЫев, Апп. о1 Май. 102 (1975), 491 — 515.
ЗЬипига б. Оп сег1а!и тес!ргоспу !амз 1ог йе!а 1ипсйопз апд шоди1аг 1оппв, Ас1а Ма1Ь. 14! (1978), 35 — 71. ЗЫпшга б., Таптуагпа Т. Сопгр!ех пшШР!йа1юп о1 аЬейап чаг!ейев апд Из вррйсайопв 1о ХишЬег ТЬеогу, РиЫ!с. Май. Зос. $1епе! С. Оьег гце Роиг!егвсЬеп Коейй!еп1еп чоп Модийогшеп, боИ. Хасьг. 3 (1970), !5 — 56 (без. АЬЬ. !К 98 — !39).
Феп А. ХшпЬег о1 во!и1!опз о1 еяиа!юпв ш йппе йе1дв, Ви11. Аш. Май. Зос. 55 (1949), 497 — 508 (Оеичгез, 1949 Ь). %ей А. дасоЫ зшпа аз вбгбввепсьагаЫеге», Тгапвас. АМЗ У1 73 (1952), 487 — 495 (Оеичгев, 1952 с). 'йге!! А. 1.а сус!оькпте !адгв е1 папиеге, ехрове аи Зепипа!ге ВоитЬаЫ, Рати, !шп 1974, Епве!Кп. Май. ХХ (1974), 247 — 263 (Оеичгез, !974 1). йте!1 А. Зопппев де уасоЫ е1 сагас1егез де Нес1ге, боц. Хасьг. 1974, и 1, 14 р. (Оеичгев, 1974 д). Апдегвоп б.
)~. ТЬе Ьуретадейс капипа 1ипс1!оп: аргбсй. Адч. $1ид. Риге Ма, 1987, 12, р. 1 — 19. Апдегвоп б. %. ХогшаИхапоп о1 йе Ьурегаденс капнпа 1ипсноп. В кн. 1Ьага У., К)Ье1 К., Зепе Л. Р. (едв) ба1о!в атоирв очек О. Ма1Ь. Зс!. Кевеагсь 1пь1. РиЫ. 1989. ГРУППЫ ГАЛУА НАД Я Жан-Пьер Серр Группы Галуа иа С! Пусть 6 — конечная группа. Существует ли такое расширение Галуа Е поля (;1, что группа Галуа Оа1(Е/ег) изоморфна группе 69 Эта классическая проблема еще не решена.
Тем не менее имеется, как мы увидим, множество таких групп, для которых ответ на этот вопрос утвердительный. Замечание. Аналогичный вопрос можно поставить, заменив поле 0 на произвольное его конечное расширение К. На самом деле, такое обобщение не очень существенно: если первоначальная проблема решается положительно, то, применяя ее к произвольным степеням 6;зс', ... )с', 6 группы 6, мы получим некоторое бесконечное семейство разделенных расширений Галуа ЕгЯ с одной и той же группой Галуа 6; для почти всех г мы получим тогда, что Ег и К линейно разделены, поэтому Оа/(ЕгК/К) = 6, так что эта проблема решается положительно и над полем К. 1. РАЗРЕШИМЫЙ СЛУЧАЙ Если 6 абелева, то полойсительный 'ответ находится без труда.
Надо выбрать такое натуральное число й7.= 1, что данная группа 6 изоморфиа факторгруппе группы (к/А1Х)', что можно сделать бесконечным числом способов в силу теоремы о простых числах в арифметической прогрессии. Затем в качестве Е берется подходящее подполе в Я(Яи), где гя — примитивный корень степени А7 из единицы.
(Пример: если 6 — группа порядка 3, то можно взять А! = 7, 9, !3, ....) Можно подумать, что исходя из абелева случая, можно также легко рассмотреть случай расширений, полученных взятием последовательно нескольких абелевых расширений, т. е. случай разрешимых групп. Фактически, это не так просто по дегте аеап-Р!егге. Сгопрев ае ба!о1в впг !!.— Зеш. Воигьайф 1987 — 88, № 887, Ав1епвяпе 161 — 182, 1988, р. 73 — 85, © перевод иа русский язык, А. А. Паичишкии, 1990 следующей причине: если 6 — группа с такой факторгруппой 6/Н, что существует расширение Галуа Ен/(л с группой Галуа 6/Е, то, вообще говоря, не верно, что Е" можно вложить в некоторое расширение Галуа Е/чг с группой Галуа 6; эта «проблема вложения» допускает естественное когомологическое препятствие (см.
9 7). Поэтому если действовать взятием последовательных расширений, то мы придем к необходимости «убивать» этн препятствия, что является трудной задачей. Это удалось сделать Шафаревичу, который доказал (см. [26] ) следующую теорему: Теорема 1. Каждая конечная разрешимая группа есть группа Галуа над Я. Интересно будет воспроизвести доказательство Шафаревича, из которого оказалось возможным получить дальнейшие сведения (существование расширений с заданной локальной компонентой).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
