Труды семинара Бурбаки за 1988 г (947402), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Характеры Гекке появились у Гекке под именем «грессенхарактеров» еще в 1918 г. в связи с их аналитическими свойствами. С современной точки зрения, для поля алгебраических чисел К алгебраический характер Гекке представляет собой непрерывный гомоморфизм группы иделей I» в С к, ограничение которого на архимедову часть (КЭ Р)к с: Тк является алгебраическим характером этой вещественной группы Ли (принимающим значения в ~~ на К~ ~(К®1с~)). теория полей классов, разработанная в последующие десятилетия, задает каноническую биекцию между такими характерами Гекке, ограничение которых на связную компоненту (К З )с)к тривиально, и характерами группы Галуа ь) над К В начале пятидесятых годов на первый план стали выходить более общие характеры: оказалось, что ь-функции эллиптических кривых и, более общо, абелевых многообразий с комплексным умножением, суть произведения Т.-функций с алгебраическими характерами Гекке поля К[Э(т — Та), С другой стороны, число точек по некоторому мо- Непп!аг1 Опу.
Сус!о1оппе е1 ча1епгв г1е 1а 1онс1шп Г [г1' аргев О. Апвегвоп). — Бйш. Вопгьаж, 1987 — 88, № 688, Авшбв<1пе 161 — 162, 1988, р. '53 — 72. © перевод на русский язык, А. А. Наичишкии, 1990 Зз 11икяогоиия и значения Г-гйункиии дулю на определенных алгебраических многообразиях над ь) (такнх, как якобиан гиперповерхности Ферма) можно выразить в терминах тригонометрических сумм [%е 1], что привело А. Вейля к введению характеров Гекке, связанных с суммами Якоби. Сюжет нашего доклада составляют последние продвижения, относящиеся к этому второму аспекту, хотя они теснейшим образом связаны с первым аспектом [Г1МОВ). В работе [Вс(1] можно найти превосходное введение во все затронутые здесь идеи, снабженное множеством интересных деталей.
1. ХАРАКТЕРЫ ГЕККЕ, СВЯЗАННЫЕ С СУММАМИ ЯКОБИ Обозначим через (~ алгебраическое замыкание (~ в С. Для конечного подрасширения К/ь1 в ь1 обозначим через 6(К) группу Галуа () над К; положим 9 =9(Я) и пусть р ~ 9 обозначает комплексное сопряжение. Если К вЂ” некоторое числовое поле, то гомоморфизм а из Кк в О" называется алгебраическим, если его выражение в базисе К над Я дается в виде дробно-рационального выражения от координат. Эквивалентным образом, существует функция б из й/9(К) в Е (тип гомоморфизма а) такая, что (1.1) а(х) = П (вх) 1'1. о в/в(ге Пусть ш — некоторый идеал кольца целых Ок поля К, г' группа дробных идеалов К, взаимно простых с ш. Гомоморфизм 7: ҄— «(~" является алгебраическим характером Гекке кондуктора (ш, если для некоторого алгебраического гомоморфизма 7( ви из К в (,)" н для всех хее К", вполне положительных и сравнимых мультипликативно с 1 по модулю ш выполнено равенство (1.2) х ((х)) = х гк (х).
Тогда унк однозначно определен по т, а его тип называется типом на бесконечности характера у. Если у((х))=тяш(х) для вполне положительных х, сравнимых с 1 по модулю некоторого идеала ш' поля К, то у продолжается до некоторого алгебраического характера Гекке 1 + .— »О" кондуктора (1п1(ш,ш'). Отождествляя характеры Гекке, совпадающие на общей области определения, назовем кондуктором наименьший идеал ш, такой, что т имеет кондуктор -ш. Говорят, что К неразветвлвн внв ш ее К, если кондуктор К не делится на простые идеалы, делящие ш.
В $1 мы свяжем некоторые алгебраические характеры Гекке с суммами Гаусса и Якоби. 3 заа. 4вз Г. Энньяр Пусть р — простое число, др — некоторый,нетривиальный аддитивиый характер К», др: К»-+.С". С каждым нетривиальным мультнпликативным характером Х некоторого конечного расширения й поля Г» свяжем гауссову сумму: (1.3) у(Х, ф)= — 2 Х '(х)феТгя1г (х) я ях (внимание: знак минус!). Если Х~ и Хд — два таких хаРактеРа, УдовлетвоРЯющих Условию Х1ХдФ 1, то с ними связана сумма Якоби (классическая) (!4) 7(хо Х,)=у(Х, ф)у(Х, Ф)у(ХХ, Ф) '= — Е, Х (х,) Х, ' (х,) еь х1й(д, 0 которая не зависит от выбора аддитивного характера др. Более общо, если Хь Хь ..., Х.
— г нетривиальных характеров й" -»1;г", произведение Хд которых нетривиально, то можно рассмотреть произведение Г /(Хь ° ° ° Хе)=Ы(то дР) ПЫ(Хь дР) не зависящее от ф. Известно, какую большую роль играют гауссовы суммы в законе взаимности, и ие только в квадратичном законе взаимности [Юе3]. Известно так!ке, что суммы Гаусса и их (небольшие) обобщения появляются в качестве констант функциональных уравнений Е-функций представлений Галуа и автоморфных представлений. Согласно теореме Давенпорта — Хассе, для конечного расширения й' поля й степени й справедливо равенство (1.6) у(Х'л1 '1 др) =у(Х др) в обозначениях, введенных выше, причем это равенство можно также интерпретировать в терминах этих констант.
Наконец, суммы Якоби входят как корни (нли как полюса, в зависимости от размерности) дзета-функции многообразий 2 аеХ1 =0 над конечными полями [%е 1], как было уже отмечено выше. Тот аспект теории гауссовых сумм, о котором пойдет речь, тесно связан с этим последним свойством. Мы будем также варьировать р, ф и Х согласованным образом, поднимая всю ситуацию до некоторого числового поля. Обозначим через е отображение ()/х,-+.С.х, заданное форму~ой хе-»ехр(2п!х).
Для всех простых чисел р отсюда полу- Цикеотомия и введения Г-функции чается аддитивный характер (1.7) у/ у (!/ у)/у е Сх Для всех целых гп ~ 1 обозначим через р группу корней сте- пени и из единицы в ! ~~. Группа й" поднимается в характе- ристику нуль как группа 'ид ь Гауссовы суммы встречаются также как резольвенты Лагранжа. Введем формализм, который позволит удобно описать класс рассматриваемых характеров Гекке. Обозначим через В свободную абелеву группу над 1~/У~,(0), элементы которой будем записывать в виде ~ п [а].
Для а~ ен(;1/У символом (а) обозначается представитель а в [О, 1[, и по линейности отсюда получается функция ( ): В-»(,): (2" п,[а])= ~~'.,п,(а). Положим также и(~п, [а]) = Яп, ~ У. Для каждого про- стого числа р зафиксируем некоторое продолжение вр на (~ р-адического нормирования поля !.); в частности, каждое число- вое поле будет тогда обладать выделенным простым идеалом„ лежащим над р.
Обозначим через В (р) подгруппу В, порож- 1 денную элементами вида ~ [ра1, где !вне~, аенфУ вЂ” (О)„ 1 удовлетворяет (р1 — 1) а = О. Предложение 1. !) Существует единственный гомоморфизм к»: В1»1- (ч''* такой, что на каждом образующем ~'„[р1а]=а из Вр справед- 1 ливо равенство (с а = р1) пЕ е.(КЬ"!)-- К г""'-" ('" "). где 1(ц, 7) — некоторое целое число, сравнимое с ~~~ КР по мо- 1-1 дулю выделенного простого идеала поля ()(!дд ~) над р, В) Для а ~ В<»> имеем (1.9) о (у (а))=(а), (!.10) ] у (а) à — ри(е) Часть !) является переформулнровкой тождества Давен- порта — Хассе, (1.10) выражает равенство [у(Х,ф) ]э= у, в то Зе Г.
Энньхр циклотем«я а значения Г-Фен«Ч«и время как (1.9) переходит в теорему Штикельбергера [%е2], дающую разложение на простые идеалы главного идеала (у(д,ф)ч — ') в поле(~(р„„~). Пусть ф: й — «с," обозначает циклогомический характер (1.11) с4 =4~"' для всех корней из единицы $ в (~", Рассмотрим действие Е иа ()/с, по правилу а[а]=[ф(а)а] и распространим это действие на В по линейности. Для всех числовых полей обозначим через Вк подгруппу В, состоящую из неподвижных элементов относительно действия Е(К), а через В' — подгруппу тех элементов ~,п, [а] из В, что сумма ~ п,а равна нулю в ()/г и положим Вк= В'ДВк.
Для »ея В обозначим символом а(а) НОК знаменателей элементов а ее ()/л„таких, что и отлично от нуля. Пусть К вЂ” некоторое числовое поле. Пусть» ~ В» н р — некоторый простой идеал из К, не делящий т(»). Пусть р — простое число из в и пусть Р(К,Е) — множество элементов а из й, таких, что ар является выделенным идеалом К, лежащим над р. Положим (112) ук(», р)=у ( Х а-'»). он« ми<к> Определим также б»(»): й/й(К) — «Я посредством равенства (!.13) бк (») (а) = (а- '«).
Теорема 1. Для любого числового поля К и любого» ~Вк существует (единственный) алгебраический характер Гекке У»(») поля К, такой, что !) У»(») не разветвлен вне т(а); В) для всех простых идеалов р поля К, не делящих т(а), имеем (!.14) Ук (») (р) = ук (» р). Замечание 1. Из теоремы Штикельбергера вытекает, что тип иа бесконечности характера У»(») совпадает с бк(»), который принимает целые значения для» ее В». Кроме того, У» эквивариантен относительно действия й и, в частности, У„(а) принимает значения в подполе К" ~(у". Алгебраические характеры Гекке, полученные таким образом, будут называться характерами Гекке, связанными с суммами Якоби, или проще, характерами Якоби. Предыдущая теорема имеет длинную историю и понятие характера Якоби постепенно расширялось [Фе2, (Че 4, Ре 1, Кп — 1.!] и предложенный уровень общности дак 'в [Кп].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
