Главная » Просмотр файлов » Труды семинара Бурбаки за 1988 г

Труды семинара Бурбаки за 1988 г (947402), страница 4

Файл №947402 Труды семинара Бурбаки за 1988 г (Семинар Н. Бурбаки) 4 страницаТруды семинара Бурбаки за 1988 г (947402) страница 42013-09-15СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

5. СРАВНЕНИЕ РАЗЛИЧНЫХ МЕТОДОВ Опишем сначала в нескольких словах метод многомасштаб'ных асимптотических разложений. Будем искать и, в виде (5.1) и,(х) =ис(х, х/а)+ еи1(х,. х/е)+азиз(х, х/и)+..., где функции и;(х, у) У-периодичны по переменной у. Подставим в уравнение вместо и, его разложение и найдем коэффициенты при различных степенях в. Этот известный механикам метод (см.

Разо...) был математически развит в работах Бенснссана, Лионса, Папаниколау [9) ') и Санчес-Паленсия [381. О в н, частности, применим к линейным задачам и позволяет точно быст т достаб стро найти формулы для усредненной задачи, а также лепно с следующие члены разложения иь иь ..., полезные при ри чисном счете.

С другой стороны, проверка справедливости разложения (5.1) может оказаться очень сложной, и тогда полученные результаты остаются чисто формальными. Энергетические методы берут начало с работ Спаньоло [40), где рассматривалась 6-сходимость линейных эллиптических операторов второго порядка, а также связанных с ними парабо.лических и гиперболических операторов. Мюра [34) Т и артар ,', введением понятий Н-сходимости и компенсированной компактности расширили сферу применения этих методов на множество других областей математической физики (линейная н нелинейная теория упругости, нелинейные гиперболические ')е б * *Р м Р нялся в теории усреднения Вахваловмм в 154], обзор имеющихся здесь методов можно найти в (81 — Прим. лерев.

Усреднение Когда рассматриваемые задачи имеют' вариационную фор- мулировку, методы Г- и ер1-сходимости, введенные Де Джоржи [20], Моска [30), Жоли [23), Аттушем' и Уэтсом [7], ... ока- зываются очень гибкими в использовании. Особенно они хороши, когда сложно (или невозможно) написать уравнение Эйлера ва-' риационной задачи, как, например, при изучении уравнений пластичности или когда энергетическое пространство имеет тип ВУ(ье) (в этом случае Пи является мерой), см.

Бушитте [11) или при изучении вариационных неравенств, например, для уп- ругопластичного кручения, см. Карбоне [13], Аттуш [2]. Эти методы дают сверх того сходимость энергий и очень хорошо сочетаются с такими методами аппроксимации и оптимизации,, как двойственность, см. Сюке [41), Аттуш, Азе, Уэтс [3]. Когда вариацнонные задачи являются выпуклыми, связь между двумя подходами задается следующей теоремой (Аттуш. [1], теорема 3.55). Теорема 5.1.

Пусть Х вЂ” рефлексивное банахово пространство. Для любой последовательности (Р„: Х-е-(е ()(+ос), иве 51) вьс- пуклых функционалов следующие свойства эквивалентны: (т) последовательность (Р„)мн Моска-ер1-сходится к Р, (В) дР„- дР в смысле графиков (О-сходимасть) + условие нормализации. Моско-ер|-сходимость есть ер1-сходимость одновременно для сильной (з.) и слабой (тн.) топологий, что можно сформулиро- вать следующим образом: для любой и ~ Х (1) существует и,„— '- и, такой, что Р„(ио„) — ьР(и), (В) для любой последовательности и„— и справедливо соот- ношение Иш 1п1Р„(и,) = Р(и); дР обозначает субдифференциал Р, дР: Х-+.Х (см. пункт 4).

Теорема 5.1 является в случае выпуклых функций теоремой„ которая желанна множеству исследователей: из сходимости ° функций следует сходимость ее производных. б. УСРЕДНЕНИЕ С НЕПОЛНОЙ ИНФОРМАЦИЕЙ До сих пор нас интересовал случай периодических структур., Во множестве природных материалов (к примеру в почве), промышленных (бетон, ...) или материалов, подвергшихся порче (трещиноватые материалы), структура не периоднчна. Распределение различных составляющих в материале точно описать невозможно. Э.

Аттуш Усреднение 27 Мы будем изучать информацию, которую, тем не менее, можно получить о макроскопическом поведении таких материа- лов в следующих случаях: 6.1 смесь каких-либо заданных материалов; 6.2 смесь материалов с заданными пропорциями; 6.3 смесь со статистической информацией о структуре, которые упорядочены в соответствии со все более полной инфор- мацией о структуре. Ключевым инструментом в задачах этого типа является по- лучение теорем о компактности функциональных классов или операторов (построенных в Соответствии с имеющейся инфор- мацией) в смысле О-сходимости или Г-сходимости, определен- ных ранее. Чтобы учесть локальный характер рассматриваемых задач введем локализацию, обозначив через О» множество от- крытых ограниченных областей из Рн.

Следующий результат, который описывает класс, содержащий все материалы, получае- мые смешиванием двух изотропных материалов с проводимо- стями а и р, был получен методом Г-сходимости в работах Кар- боне и Сбордоне [14], Сбордоне [39], Аттуша [1], Бутазо и Дал Мазо [12] и методом 6- и Н-сходимости в работах Спаньо- ло [40], Тартара [42] и Мюра [34]. Теорема 6.1. Для заданных 0 < а -р <+ оо и 1«р < оо рассмотрим функциональный класс «т а,а=(Р ° йт]о»% 1 Х(У» «'Р определенные посредством Р(и, А) = ~1(х, Ри(х))йх, где 1(х, г):РнХ Рн- )ч+ измерима по х, выпукла и непрерывна по г и удовлетворяет соотношению а[я[с<)(х, г) <~(р(1+ [я[с)).

Тогда т „, в секвенциально компактен относительно Г-сходи- мости. Более точно, из любой последовательности (Р„; й ен Щ, Р„е: — У . а, можно выбрать подпоследовательность ГР,; й ен[«]) Ф»1 и найти элемент Р из ~, в, так, что Р (, А) = Г (т) 1пп Р„, (, А) для 'всех А ен (У», у которых граница имеет лебегову меру нуль; в качестве ч выбрана топология сильной сходимости в Бр(А). Предыдущий результат имеет большую общность, но информирует нас лишь о виде предельной задачи: при смешивании двух упругих материалов получится еще один упругий материал... Очень интересно охарактеризовать подклассы Я'о,а, ко- Тогда можно выбрать подпоследовательность ач, такую, что для любой [~ (з(Й) последовательность решений и„задач (6.1)„ слабо сходится в Н»о(11) к решению и задачи — «))ч(а„(х) Ри(х)) =) на й, и=О на д»г, (6.2) где а, (х) — симметрическая положительно определенная матрица, имеющая собственные значения Ль ..., Лю подчиненные оценкам (6.3) )» (0(х))=Л!(х)<~)» (0(х)) почти всюду в Й, 'ч]=1, 2, ..., ЛГ Х 1 1 У вЂ” 1 Л -а и (О) — а и (8)-а ' — < + ! — + < 1 < 1 У вЂ” 1 р — Л ~ Р - И (О) () -)», (0) ' здесь )» (0) ~ + А! и )» (0) = 6а+ (1 — 0) Д вЂ” соответ° Е 1 — еча ственно среднее гармоническое и среднее арифметическое а и р (взятых в пропорции О).

Верно и обратное: если а„удовлетворяет оценкам (6.3) и (6.4), то, найдется соответствующая последовательность т». Результаты этого типа играют ключевую роль в создании оптимальных конструкций, когда нет жестких ограничений, накладываемых на геометрию областей, занимаемых различными материалами, но процесс усреднения тем не менее может т орые являются замкнутыми, или, еще лучше, охарактеризовать замыкание различных подклассов. Результаты Мюра и Тартара [35] позволяют описать все материалы, которые можно получить, смешивая два изотропных материала в заданной пропорции. Теорема 6.2.

Пусть а,(х) = а)(,(х)+ [3 (1 — )(,(х) ) — заданная последовательность функций, причем 0 < а < р < оо и т обозначает характеристическую функцию множества, занятого ма, териалом с проводимостью а. Предположим, что )(,— О (доля материала а) в Е (11) -слабо и рассмотрим следующее семейство уравнений: — с()ч(а,(х) Ри,(х)) =1 на й, и,=О на дИ. Э. Аттуш 29 Усреднение применяться при рассмотрении минимизирующей последовательности, оптимизирующей расположение областейотносительно некоторого критерия. Исследование задачи в этом случае выполняется путем введения более слабых форм решения, см. Мюра, Тартар [35[, Лурье, Черкаев [27), Кон, Стренг [24) При изучении пористых материалов (пример 2) сошлемся на результат о компактности или на следующий результат (Аттуш, Пикар [6), [Ц): Теорема 6.3.

Пусть (Т„; и ~ ٠— последовательность дырок в я с )чн и пусть (6.5) Р„(и) = ~ [ Ви )з йх + бс„(и), где Сн=(се=Но(в)); о=О на Т„г). Тогда можно выбрать подпоследовательность п„такую, что т — НшР, =Р существует "з= И (6 6) Р (и) = ~ [ Пи '!з йх + ~ а(х) й (х)з й)в(х), где )в — положительная мера конечной энергии ()в и-:Н-г(вв)+), а — положительная )г-измеримая функция и й есть квазинепрерывное представление и'(т — сильная топология Т.з(Я)). Наоборот, любой функционал вида (6.6) может бьгть представлен как предел функционалов вида (6.5) при подходящем выборе (Т„).

В заключение скажем несколько слов о стохастическом усреднении, области, находящейся на стыке дифференциальных уравнений, теории вероятностей и статистики. Один из цодходов, наиболее многообещающий и применимый также в нелинейных задачах, заключается в изучении задачи стохастической оптимизации ш)п(Р,(и, ь»); и ее Х), где (В,.р5, Р) — вероятностное пространство, на котором задана случайная величина т †»Рз( , т) со значением в пространстве функционалов на Х, снабженном топологией Г- или ер(-сходимости. Это'пространство, в общем случае метрическое, является компактным и отображение Р-~- -» пцп Р непрерывно. Используя предположение о независи- ости, дал Мазо и Модика [19) доказали сходимость почти наверное процессов стохастического усреднения.

Большое число работ по стохастическому усреднению использует те же методы, см. Салинетти, Уэтс [37), Аттуш, Уэтс (определение усредненной задачи дается в терминах закона больших чисел). ЛИТЕРАТУРА 1. АИоисЬ Н. Чайапопа! сопчегкепсе (ог Ьгпспопв апд орега(огв.

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
3,38 Mb
Тип материала
Предмет
Учебное заведение
Неизвестно

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6549
Авторов
на СтудИзбе
300
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее