Труды семинара Бурбаки за 1988 г (947402), страница 4
Текст из файла (страница 4)
5. СРАВНЕНИЕ РАЗЛИЧНЫХ МЕТОДОВ Опишем сначала в нескольких словах метод многомасштаб'ных асимптотических разложений. Будем искать и, в виде (5.1) и,(х) =ис(х, х/а)+ еи1(х,. х/е)+азиз(х, х/и)+..., где функции и;(х, у) У-периодичны по переменной у. Подставим в уравнение вместо и, его разложение и найдем коэффициенты при различных степенях в. Этот известный механикам метод (см.
Разо...) был математически развит в работах Бенснссана, Лионса, Папаниколау [9) ') и Санчес-Паленсия [381. О в н, частности, применим к линейным задачам и позволяет точно быст т достаб стро найти формулы для усредненной задачи, а также лепно с следующие члены разложения иь иь ..., полезные при ри чисном счете.
С другой стороны, проверка справедливости разложения (5.1) может оказаться очень сложной, и тогда полученные результаты остаются чисто формальными. Энергетические методы берут начало с работ Спаньоло [40), где рассматривалась 6-сходимость линейных эллиптических операторов второго порядка, а также связанных с ними парабо.лических и гиперболических операторов. Мюра [34) Т и артар ,', введением понятий Н-сходимости и компенсированной компактности расширили сферу применения этих методов на множество других областей математической физики (линейная н нелинейная теория упругости, нелинейные гиперболические ')е б * *Р м Р нялся в теории усреднения Вахваловмм в 154], обзор имеющихся здесь методов можно найти в (81 — Прим. лерев.
Усреднение Когда рассматриваемые задачи имеют' вариационную фор- мулировку, методы Г- и ер1-сходимости, введенные Де Джоржи [20], Моска [30), Жоли [23), Аттушем' и Уэтсом [7], ... ока- зываются очень гибкими в использовании. Особенно они хороши, когда сложно (или невозможно) написать уравнение Эйлера ва-' риационной задачи, как, например, при изучении уравнений пластичности или когда энергетическое пространство имеет тип ВУ(ье) (в этом случае Пи является мерой), см.
Бушитте [11) или при изучении вариационных неравенств, например, для уп- ругопластичного кручения, см. Карбоне [13], Аттуш [2]. Эти методы дают сверх того сходимость энергий и очень хорошо сочетаются с такими методами аппроксимации и оптимизации,, как двойственность, см. Сюке [41), Аттуш, Азе, Уэтс [3]. Когда вариацнонные задачи являются выпуклыми, связь между двумя подходами задается следующей теоремой (Аттуш. [1], теорема 3.55). Теорема 5.1.
Пусть Х вЂ” рефлексивное банахово пространство. Для любой последовательности (Р„: Х-е-(е ()(+ос), иве 51) вьс- пуклых функционалов следующие свойства эквивалентны: (т) последовательность (Р„)мн Моска-ер1-сходится к Р, (В) дР„- дР в смысле графиков (О-сходимасть) + условие нормализации. Моско-ер|-сходимость есть ер1-сходимость одновременно для сильной (з.) и слабой (тн.) топологий, что можно сформулиро- вать следующим образом: для любой и ~ Х (1) существует и,„— '- и, такой, что Р„(ио„) — ьР(и), (В) для любой последовательности и„— и справедливо соот- ношение Иш 1п1Р„(и,) = Р(и); дР обозначает субдифференциал Р, дР: Х-+.Х (см. пункт 4).
Теорема 5.1 является в случае выпуклых функций теоремой„ которая желанна множеству исследователей: из сходимости ° функций следует сходимость ее производных. б. УСРЕДНЕНИЕ С НЕПОЛНОЙ ИНФОРМАЦИЕЙ До сих пор нас интересовал случай периодических структур., Во множестве природных материалов (к примеру в почве), промышленных (бетон, ...) или материалов, подвергшихся порче (трещиноватые материалы), структура не периоднчна. Распределение различных составляющих в материале точно описать невозможно. Э.
Аттуш Усреднение 27 Мы будем изучать информацию, которую, тем не менее, можно получить о макроскопическом поведении таких материа- лов в следующих случаях: 6.1 смесь каких-либо заданных материалов; 6.2 смесь материалов с заданными пропорциями; 6.3 смесь со статистической информацией о структуре, которые упорядочены в соответствии со все более полной инфор- мацией о структуре. Ключевым инструментом в задачах этого типа является по- лучение теорем о компактности функциональных классов или операторов (построенных в Соответствии с имеющейся инфор- мацией) в смысле О-сходимости или Г-сходимости, определен- ных ранее. Чтобы учесть локальный характер рассматриваемых задач введем локализацию, обозначив через О» множество от- крытых ограниченных областей из Рн.
Следующий результат, который описывает класс, содержащий все материалы, получае- мые смешиванием двух изотропных материалов с проводимо- стями а и р, был получен методом Г-сходимости в работах Кар- боне и Сбордоне [14], Сбордоне [39], Аттуша [1], Бутазо и Дал Мазо [12] и методом 6- и Н-сходимости в работах Спаньо- ло [40], Тартара [42] и Мюра [34]. Теорема 6.1. Для заданных 0 < а -р <+ оо и 1«р < оо рассмотрим функциональный класс «т а,а=(Р ° йт]о»% 1 Х(У» «'Р определенные посредством Р(и, А) = ~1(х, Ри(х))йх, где 1(х, г):РнХ Рн- )ч+ измерима по х, выпукла и непрерывна по г и удовлетворяет соотношению а[я[с<)(х, г) <~(р(1+ [я[с)).
Тогда т „, в секвенциально компактен относительно Г-сходи- мости. Более точно, из любой последовательности (Р„; й ен Щ, Р„е: — У . а, можно выбрать подпоследовательность ГР,; й ен[«]) Ф»1 и найти элемент Р из ~, в, так, что Р (, А) = Г (т) 1пп Р„, (, А) для 'всех А ен (У», у которых граница имеет лебегову меру нуль; в качестве ч выбрана топология сильной сходимости в Бр(А). Предыдущий результат имеет большую общность, но информирует нас лишь о виде предельной задачи: при смешивании двух упругих материалов получится еще один упругий материал... Очень интересно охарактеризовать подклассы Я'о,а, ко- Тогда можно выбрать подпоследовательность ач, такую, что для любой [~ (з(Й) последовательность решений и„задач (6.1)„ слабо сходится в Н»о(11) к решению и задачи — «))ч(а„(х) Ри(х)) =) на й, и=О на д»г, (6.2) где а, (х) — симметрическая положительно определенная матрица, имеющая собственные значения Ль ..., Лю подчиненные оценкам (6.3) )» (0(х))=Л!(х)<~)» (0(х)) почти всюду в Й, 'ч]=1, 2, ..., ЛГ Х 1 1 У вЂ” 1 Л -а и (О) — а и (8)-а ' — < + ! — + < 1 < 1 У вЂ” 1 р — Л ~ Р - И (О) () -)», (0) ' здесь )» (0) ~ + А! и )» (0) = 6а+ (1 — 0) Д вЂ” соответ° Е 1 — еча ственно среднее гармоническое и среднее арифметическое а и р (взятых в пропорции О).
Верно и обратное: если а„удовлетворяет оценкам (6.3) и (6.4), то, найдется соответствующая последовательность т». Результаты этого типа играют ключевую роль в создании оптимальных конструкций, когда нет жестких ограничений, накладываемых на геометрию областей, занимаемых различными материалами, но процесс усреднения тем не менее может т орые являются замкнутыми, или, еще лучше, охарактеризовать замыкание различных подклассов. Результаты Мюра и Тартара [35] позволяют описать все материалы, которые можно получить, смешивая два изотропных материала в заданной пропорции. Теорема 6.2.
Пусть а,(х) = а)(,(х)+ [3 (1 — )(,(х) ) — заданная последовательность функций, причем 0 < а < р < оо и т обозначает характеристическую функцию множества, занятого ма, териалом с проводимостью а. Предположим, что )(,— О (доля материала а) в Е (11) -слабо и рассмотрим следующее семейство уравнений: — с()ч(а,(х) Ри,(х)) =1 на й, и,=О на дИ. Э. Аттуш 29 Усреднение применяться при рассмотрении минимизирующей последовательности, оптимизирующей расположение областейотносительно некоторого критерия. Исследование задачи в этом случае выполняется путем введения более слабых форм решения, см. Мюра, Тартар [35[, Лурье, Черкаев [27), Кон, Стренг [24) При изучении пористых материалов (пример 2) сошлемся на результат о компактности или на следующий результат (Аттуш, Пикар [6), [Ц): Теорема 6.3.
Пусть (Т„; и ~ ٠— последовательность дырок в я с )чн и пусть (6.5) Р„(и) = ~ [ Ви )з йх + бс„(и), где Сн=(се=Но(в)); о=О на Т„г). Тогда можно выбрать подпоследовательность п„такую, что т — НшР, =Р существует "з= И (6 6) Р (и) = ~ [ Пи '!з йх + ~ а(х) й (х)з й)в(х), где )в — положительная мера конечной энергии ()в и-:Н-г(вв)+), а — положительная )г-измеримая функция и й есть квазинепрерывное представление и'(т — сильная топология Т.з(Я)). Наоборот, любой функционал вида (6.6) может бьгть представлен как предел функционалов вида (6.5) при подходящем выборе (Т„).
В заключение скажем несколько слов о стохастическом усреднении, области, находящейся на стыке дифференциальных уравнений, теории вероятностей и статистики. Один из цодходов, наиболее многообещающий и применимый также в нелинейных задачах, заключается в изучении задачи стохастической оптимизации ш)п(Р,(и, ь»); и ее Х), где (В,.р5, Р) — вероятностное пространство, на котором задана случайная величина т †»Рз( , т) со значением в пространстве функционалов на Х, снабженном топологией Г- или ер(-сходимости. Это'пространство, в общем случае метрическое, является компактным и отображение Р-~- -» пцп Р непрерывно. Используя предположение о независи- ости, дал Мазо и Модика [19) доказали сходимость почти наверное процессов стохастического усреднения.
Большое число работ по стохастическому усреднению использует те же методы, см. Салинетти, Уэтс [37), Аттуш, Уэтс (определение усредненной задачи дается в терминах закона больших чисел). ЛИТЕРАТУРА 1. АИоисЬ Н. Чайапопа! сопчегкепсе (ог Ьгпспопв апд орега(огв.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
