Труды семинара Бурбаки за 1988 г (947402), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Андерсон дал доказательство теоремы 1, не зависящее от работы [Кп] я проведенное в духе работы [Ре1], которое, однако, не столь точно в отношении ветвления. !)римеры. 1) Характеры Якоби поля () имеют вид уеМ', где У обозначает характер нормы (абсолютного значения) и Уев квадратичный характер, связанный с полем Я(~/й), где пред. полагается только, что й строго положИтельно, если т четно, и строго отрицательно, если г иечетно [Вг]. Более общо, характеры Якоби вполне вегдествениых полей найдены в работе [Вг], однако при этом используется определение пз работы [Кп — 11], которое более ограничительно, чем в [Кп]. 2) Если К вЂ” мнимое квадратичное одноклассное поле дискриминанта ( — 8, то известно описание всех алгебраических характеров Гекке поля К со значениями в К; эквивариантных относительно Оа!(К/()) ]Вг — 1л].
3) Пусть Š— эллиптическая кривая над (), заданная уравнением уз=ха — х. Над полем К=()(1) оиа обладает комплексным умножением на 7 [У]. С ней связан поэтому алгебраический характер Гекке поля К типа й(К)«-«18 — й(К)< — «О, коем тарый является не чем иным, как Ук(»,) с», ]-]+] — ) — [4). 2. ЗНАЧЕНИЯ ГАММА-ФУНКЦИИ «х Г-функция Эйлера определяется интегралом .Г (е) = ~ е- х'— о для Яе(з) ) 0 и продолжается на всю комплексную плоскость до мероморфной функции переменного г, все полюса которой простые и лежат в неположительных целых точках. Имеем (2.1) зГ(з)=Г(з+1) и Г(п)=(п — 1)! для пен[ч]:<.
(2.2) Г (з) Г (1 — з) я/з!п яе. гч -1 (2.3) П Г( ~~) =(2п)( " тп '+' Г(з). г-» для» = ч~,п, [а] ее В положим (2.4) Г(») = П Г((а))"' и (2.5) Ф(») = [а ее 3](аа))(ара)) (напомиим, что р обозначает комплексное сопряжение). Г. Знньнр Пусть К в некоторое числовое поле, абелево над Я, К+ — его максимальное вполне вещественное подполе, Л+ — дискриминант К+, Л вЂ” дискриминант К, Л вЂ” =Л/Л+, в( — степень К+ над 1,). ь Пусть «епВк.
Обозначим через Ек(з,а) Е-функцню харак- тера Хк(а), определенную для достаточно больших значений йез по формуле (2.6) Х.к(з, а)=П(1 — Хк(а)(р)Ир ') '' (где произведение распространено по простым идеалам р, не де- лящим кондуктор характера 1к (а) ), и продолжается меро- морфно на С. в качестве целой функции. Можно определить множитель на бесконечности Е», (з, а) (пронзведение мно- жителей типа и-м "нвГ~ )) таким образом,,что если положить (27) Лк(в «)=Х.к „(в, а)Ек(е, а), то выполнено функциональное уравнение (2.8) Лк(з, «)=ек(в, а)Лк(1 — з, — а), где ек(з,а) — некоторый моном вида АВ-', причем В опреде- ляется по кондуктору характера Хк(а), а А ~ С" — константа функционального уравнения (о которой говорилось выше). Для лен У положим (2.9) Вк («) = (и ~ 2л, ] п ) вв (а) + 1/2), если К = К+, (2.9ьм) Хк(а) =(п ен л.](ор«) < п~((о«) для всех о еи Ф(«)), если К,~ К+, Замечание 2.
Множество Сгй(а) целых чисел и, таких, что ни Ек, (з,а), ни Ек, (1 — з,— а) не имеют нулей и полюсов при з = и, совпадает с множеством Ек(а), если КФ К+ и с множе- ством Вк(а)()(ш(а)+! — Хк(а)), если К=К". Теорема 2 [А !, Т!в. 2]. Пусть К вЂ” некоторое поле, абелево над (). Для всех а еп Вк и и ен Вк («) имеем (2.10) Як(п, «)Ек(п;а)епьг, где (211) Ик(п, «)=и ~16' ' ~ Ц Г(оа)~С". ьеф мив (кв Этот результат формулируется в виде гипотезы Г в работе Лихтенбаума [1.!], которая доказана в случае, когда К вполне Х(нклотьннн и значения Г-функинн вещественно в [Вг], и в случае одноклассного мнимого квадратичного поля в [ВЬ вЂ” Е!].
Тот факт, что в предположениях теоремы имеет место а (, «)Х. (, «М(~ установлен Лихтенбаумом [Ы]. Кроме того, с использованием техники доказательства теоремы 2 можно вывести некоторыесоотиошеиия между специальными значениями функции Г. К примеру, можно использовать тот факт, что два различных элемента Вь могут давать один и тот же характер Якоби: Теорема 3 [8сп, 111, Т1пп. 4.4.1 и А 1, 8.6]. Пусть К вЂ” некоторое поле, абелево над Я. Пусть а, Ь из Вв. Отождествим КЭ Св с Свlв вю !) Если Хк(а)=/к(Ь), то (Г(о«)). „в<к> — (Г( Ь),.„„„в (КЭС)'IКх.
й) Если Хк(«) Ф И и Ек(з, а) = Ел(з, «), то Вк(«)=~к(Ь) и Ок(п, а)=в)к(п, Ь) в Сх/(чх для всех -пепВк(«). Можно показать также, что 1к(а) близок по своим свойствам характеру Гекке конечного порядка: Теорема 4. Пусть К в некоторое числовое поле, абелево нод ь). Пусть а я Вв и г еп У таковы, что (оа) = г для всех о еп й. Рассмотрим характер Гекке конечного порядка ХХ-'Хк(а) как некоторый характер группы Галуа й(К), и положим Г(а)= =(2п/)-'Г(а). Тогда ;) Г() )х, Ох, й) оГ(а)=(Ь/ 'Хк(«))(о) Г(а) для оепй(К); ш) Г(«)/тГ(а) ~К и о (Г (а)/тГ (а)) = Г (о«)/тГ (оа) для о, т ~ 9. Часть !) является результатом Коблица и Огаса (приложение к [1!е 2] ).
С точностью до знака часть й) была установлена в [Ог — Ко] р-адическими методами. Относительно й) и ш) см. работы [Ое 2, р. 339; Кп — 1л, ОМОВ 1, 3 7]. Наметим идею доказательства теорем 1 и 2, Этот набросок будет развит в последующих параграфах. Цикяотомия и значения Г-функции Г. Энньяр Суммы Якоби участвуют при подсчете числа точек гиперповерхностей Ферма над конечными полями, а значит и в их 1-адических когомологиях. С другой стороны, значения Г-функцин выражаются через периоды этих многообразий Ферма, т. е. через структуру Ходжа их когомологий Бетти.
Мы хотим для каждого а ее Во вырезать кусок когомологий гиперповерхностей Ферма, соответствующий этому элементу и доказать затем результат посредством сравнения когомологий. В точности это делается в теории мотивов; используются абсолютные мотивы Ходжа в смысле Делиня [ОМОВ[, преимущество которых состоит в отсутствии необходимости ссылаться на «стандартные гипотезы» [Ва, Аррепд)се[. Абсолютные мотивы Ходжа над (.) образуют таннакиеву категорию [Ба[ или, эквивалентным образом, посредством реализации Бетти, категорию представлений над () (алгебраических и конечномерных) некоторой проалгебраической группы д, мотивной группы Галуа.
Таннакиева подкатегория (т(1РиЕ, порожденная мотивами Артина и мотивами алгебраических многообразий с комплексным умножением, отвечает некоторому фактору а, называемому группой Таниямы, которая явно описывается одной теоремой Делиня [ВМОБ, 1Ъ'[: она является некоторым расширением Т группы й с помощью проективного предела 5 торов, и, более точно, 5 является (связной) группой Серра, описывающей характеры Гекке полей алгебраических чисел [Зе). Мотивы, задаваемые гиперповерхностями Ферма, принадлежат Р$'иЕ из-за большого числа автоморфизмов, что и позволяет доказать теорему 1.
Мотивы из У%'тт обладают корректно определенной глобальной Ь-функцией с функционадьным уравнением. Согласно гипотезе Делиня [1)е 2[, значения этих ь-функций в критических целых точках (где множители на бесконечности функционального уравнения не имеют ни нулей, ни полюсов) совпадают, с точностью до рационального множителя, с периодами, т. е. величинами, определяемыми структурой Ходжа мотива. В некоторых случаях эта гипотеза может быть доказана, благодаря результатам о рациональности Зигеля [31[, Шимуры и Блазиуса [В1[. Этого хватило Андерсону для доказательства теоремы 2. Но Андерсон пошел дальше: он сумел объединить в рамках теории мотивов не только суммы Якоби, но и индивидуальные суммы Гаусса. Для этого он расширил понятие структуры Ходжа до арифметической структуры Ходжа, которая может иметь в качестве весов дробные значения.
Построенная им также таннакиева категория «высших мотивов» отвечает некоторому расширению Г группы Т с помощью 2п(2. Для каждого простого числа р в группе ТЩ имеется элемент Фробениуса, отвечаю- тций р, и показано, что для каждого ненулевого числа а ~ Я/е, такого, что р не делит знаменатель а и некоторого высшего мо- тива (т. е. представления Г), число д (а) совпадает со следом р-элемента Фробениуса на этом высшем мотиве. 3. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ХОДЖА И ГИПЕРПОВЕРХНОСТИ ФЕРМА Арифметическая структура Ходжа — это векторное пространство ТГв над () конечной размерности, снабженное некоторой градуировкой ИГв= ® ЕРв, разложением над С ннк (3.1) йГЯ С Я~ 1(г(а, И а+я н и некоторой ( (-структурой (Е',оя с: йтв З С, удовлетворяющей следующим условиям: 1) (1Зр) ~"" '= йт"".
В) существует ()-инволюция (автоматически единственная) р': (Гв-+. йтв, такая, что р'З р индуцирует тождественное отображение на Ж'вя. ® йт(и', ь') ш) Если длЯ а~Я положить Р (йтвЗС)=«~1»- а'> а и Р'йг()я=йтвяДР (й('вЗС), то Р'йтвя является (1-структурой на Р'(ЮвЗС). Морфизм Г': "т'-~.йт арифметических структур Ходжа — это Я-линейное отображение )Гв-»У~в, такое, что Тз1()т" и) ~ йт" ~~ дла а и ь из (1, и Тз1(твя) с )ивя. Категория арифметических структур Ходжа снабжена очевидным тензорным произведением.
Для всех целых чисел и определена структура Я (п), (ч (п)в = (ч (3.2) ()(~) ЗС=С( )'"'"' 1 (ч(п)вн = (он()н (ч~ С. Для целых п и любой арифметической структуры Ходжа й(' положим йт(п) = йт З(ч(п) Арифметическая структура Ходжа %' с условием йтв= О для всех и Ф(Ф называется чистой веса (в; ()(1) чиста веса 2. Каждая арифметическая структура Ходжа является прямой суммой чистых арифметических структур. Г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
