Труды семинара Бурбаки за 1988 г (947402), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Грубо говоря, к .яВ формально присоединяются образы проекторов из пространств С'"(Х, У); так получаются эффективные мотивы, и для любого мотива М найдется некоторый эффективный мотив Л«ранга 1, такой, что МЗН эффективен (фактически можно взять Ф=-7(п) для подходящего и (О, см. ниже).
Замечание 6. Идея введения мотивов принадлежит Гротендику и вписывается в общий формализм таннакиевых категорий ]За; РМОЗ, П]. Понятие абсолютного мотива Ходжа принадлежит Делиню. Пусть ХеиОЬ(,Ф) имеет размерность, равную нулю. Тогда На (Х) снабжено некоторым допустимым действием группы й, отвечающим действию 6 на Н',(Х) при 1„и таким, что 'для каждого ге- =Лц1(С), индуцирующего о на ««, коммутатнвна следующая диаграмма: Н' (Х) ЗС вЂ” Н" (Х) ЗС ,(4. 1) ав! ~ ~ «ва На (Х)ЗС На (Х)З( . Этосоставляет (в существенном) содержание теории Галуа.Для Х, У ~ОЬ(лУ) размерности 0 имеем С (Х, У)=Ною,(Нв(Х), Н' (У)). Отсюда выводится, что й является фактором я, через который пропускается действие дна Н' (Х) для всех Х размерностиО.
Для каждого простого числа 1 и а ~ й существует единственная точка а«(а)~д(()!), такая, что для всех ХеиОЬ(лУ) имеем . (4.2) 1,аа,(о)=оа1,: Н' (Х)ЗС!«-+Н;(Х). Так определено сечение аи й — у((«!) (непрерывное) гомоморфизма йн д -а 6. Для каждого мотива М положим 48 Г. Энньяр 4Э а!нкяотомия и нянчения Г-фун»янн ьч(М) = ыэ(М)З Ца и посредством а~ пространство в (М) снаб- жается непрерывным действием й.
Замечание 7. Точка аа(р) определена иад Я, не зависит от ! и обозначается символом а(р). Компоненты Кюннета диагонали А в Хк. Х для Хея ОЬ(.яг) определяют абсолютные соответствия Ходжа в С "(Х,Х). Из этого выводится, что каждый мотив М можно снабдить некоторой градунровкой М= 63 М" функториальной по М и совмепых стимой с тензорными произведениями; если М = Н(Х) для ХенОЬ(Ф), то М" соответствует Н" (Х). Если М =Мн для некоторого целого числа ш, то говорят, что М имеет вес иа. Кроме того, каждый мотив М обладает некоторой целой арифметической структурой Ходжа ьо (М) (дающей, в частности, ~-рациональную структуру ьаоя(М) в вэ(М)чэ С), которая совпадает со структурой, обозначавшейся в й 3 через ы (Х) для М = Н(Х), Х ен ОЬ(м!); отображение р' из определения (3.1.
В) совпадает при этом с а(р). Мотив Тэйта ."'(1) — это мотив, двойственный к Н'(Р'); мотив Лефшетца Нэ((Я) обозначается через г." ( — !); посредством тензорного умножения определяются мотивы 7. (п) для всех г ~ -", и мы полагаем М(п) = М З: (и) для произвольного мотива М. В особенности нас будут интересовать мотивы специального типа, которые суть мотивы потенциального комплексного умножению Структура Ходжа является векторным пространством К конечной размерности над ~, снабженное градунровкой К= 6.-а Рн и О-линейным разложением Гн ЭС= ~В 1l'а", эвах ээч-и таким, что (! ®р) )аы ы= рм м. Она называется структурой с комплексным умножением, если существует некоторая коммутативная полупростая алгебра Е над О в Епйо(у'), сохраняющая структуру Ходжа, допускающая положительную инволюцию и такая, что )' является свободным модулем ранга 1 над Е.
Пусть Х ен ОЬ(,эФ). Говорят, что Х имеет потенциальное комплексное умножение (РСМ), если подлежащая структура Ходжа ьо (Х) имеет комплексное умножение и Х(0) является несвязным объединением комплексных торов. Через У1[ТЖ обозначается полная подкатегория в .й.', порожденная объектами вида Н(Х), где Х некоторый объект (Уэ'Ж) из вФ. (Здесь порождение означает, что Учг'.я' — это наименьшая полная подкатегория в эу, содержащая Н(Х) для всех Х(У$'лГ), а также все те мотивы, которые можно получить из этих объектов последовательным применением операций тензорного произведения, дуализации, перехода к подфакторам.) Действие д на объектах из Ух».гу пропускается через некоторый фактор Т группы д, который проектируется сюръективно на й.
Имеем последовательность алгебраических групп над 1 — а 5-~ Т вЂ” 8-~1, снабженную локальными сечениями ас й — а-Т((а). Расширение Т, названное группой Таниямы Ленглендсом, описано Делинем в терминах теории полей классов [РМ0$ П1 и 1Ъ']. Он обнаружил, что группа Т очень близка к проалгебраической группе, определенной Серром [Бе], которая классифицирует алгебраические характеры Гекке числовых полей.
Более точно, для каждого числового поля К положим Т„= ~р-'(й(К)) и обозначим через Ао(К) группу алгебраических характеров Гекке поля К. Теорема 7. Имеется канонический изоморфизм ара-~ар группы Аь(К) на группу 7,(Т») характеров Т», т. е. гомоморфизмов из Г» в О, определенных над Я. Этот изоморфизм определяется следующим образом: пусть 1 — некоторое простое число; выбор продолжения 1-нормирования на Г! определяет некоторое вложение Я в алгебраическое замыкание (~, поля Яь Из ф получается некоторый морфизм нз Ть((~Д в Щ, который при композиции с ап й — Т((),) дает непрерывный характер арп й(К)- Щ Тогда ар~ неразветвлен в точке р поля К, не делящей 1, в точности тогда, когда р не делит кондуктор характера ар, и в таком случае мы имеем (4.3) Ф!(Рэ) =Ф(р) ~Г)'с=(')г' для любого геометрического элемента Фробениусарр в точке р.
Замечание 8. Пусть А — некоторое абелево многообразие над числовым полем К с комплексным умножением на кольцо целых некоторого числового поля Е. Тогда по теории комплексного умножения [ЗЬ вЂ” Та] с А ассоциирован некоторый алгебраический характер Гекке ар поля К со значениями в Е. На самом деле, А определяет некоторый мотив над К с коэффициентами в Е (более общее понятие мотива, введенное Делинем [Ре 2] ), отвечающий представлению ф группы Т».
Описание группы Т, данное в [РМ05, П1 и !Ч], и теорему 7, можно рассматривать как некоторое обобщение теории Шимуры — Таниямы [ЗЬ вЂ” Та], см. [РМОЗ, 1Ч, Кегп. 4, р. 263]; за более точным описанием мы отсылаем читателя к [ЗсЬ] и [А2]. 4 Заа. 468 Г. Энньяр В течение некоторого времени считается гомологии гиперповерхностей Фе когомологий Ха и Хз, а также п оект Х имеет комплексно —, Н; А1, 9 9]. Поскольк яко н ное умножение на Ц у якобиан кривой Ферма кает, что можно г т(р ), то отсюда вытено анонсировать следующий результат: Теорема 8.
Н (Х") еп ") зтЖлЕ для ~р~из~~~~~ы~ и) 1 хт ип)2. 5. Г1ЕРИОДЫ Пусть МееМ вЂ” некоторый мотив веса гв. мотив веса гв. С арифметической мотива М можно связать некоторын что М критический, з =О. Имеется следу ,з), ни Е (М, 1 — з) не им дующий критерий: еют полюса в точке Критерий: Обозначим чер щего на пространстве ьт~(М) и й㻠— а ерез 1 след опе ато а а ьтз( ), и 㻠— размерность пространства гп! и а — критический, если из йя»ям О (р, д) ~.
О (~ шах (р, д) или же р = и '= з следует, что Е рез гав ( ) обозначается подпрогоз( ) элементов, неподвижных о ыз, т, х относительно а(р) всем р, отря ), где берется объединение по при в <О. , удовлетворяющим словию у ю 2р ) гв при и ) О и 2р ) гв Имеется единственный нзоморфизм1: пт+ ®С построенный по 1. Положим (5.1) й 1[1+) Сх(~х где определитель вычисляется в ба оэв (М) и мое(М).
тся в базисах над (~ пространств 'С другой стороны, хотелось бы в некоторую торая ы совпадала с глобальной Е-функцией Х летворяет сл ( ). редполагается, что М удов- (5С): следующим п едпол р ож ения м о совместимости ( ). Для каждого простого числа (5С). Д ( ). Д ела р существует многочлен е р~лж сел - р пр- (5.2) . ) Рр(М)(1) = йе1с,(1 — 1Е(р) [от,(М)г<о1) в т,, [1], где !(р) — группа инерции в точке и р элемент Фробениус а Еел М удовлетворяет (5С), то мы 11иклотомия и зио»ения Г-функции 51 положим (5.8) 1.(М, в)=пр (М)(р ) ~ Л(М ) Е (М )Е(М ) где произведение абсолютно сходится для достаточно больших значений Вез.
Имеются следующие гипотезы: (ЕР) Функция Е(М, з) допускает мероморфное продолжение на а,', которое является целой функцией, если М не содержит прямых слагаемых вида с, (и), и ~ У, и выполнено функциональное уравнение (5.4) Л(М, з) =е(М, з) Л(Мч, 1 — з), где е(М, з) является мономом вида АВ'. Гипотеза (Делинь [Пе 2] ). Если М вЂ” веса ит, является критическим и удовлетворяет предположениям (5С) и (ЕЕ), тогда Е(М, О) определено и с+(М)-'Е(М, О) ее( 1. Из теоремы индуцирования Брауэра для алгебраических групп мультипликативного типа и из теоремы 7 вытекают следующие следствия [А1, 5.7]: Предложение 4.
т) Пусть Мее Умы.йт. Тогда М удовлетворяет (5С) и найдутся такие поля алгебраических чисел Кь ..., К, и такие алгебраические характеры Гекке уи ее Ас(Кг), что Е(М, в) = П Е(тл з)" с е~ —— .+-1; в частности, М удовлетворяет (ЕР) г ! В) Лусть М, Лг~Мт.й' таковы, что Е(М,з)=Е(йг,з); тогда М и 1т' изоморфны. В случае, когда в условиях 1) можно положить г = 1, е~ — — 1 и поле К, — вполне 'вещественное или СМ-типа, мотив называют достижим ьгм. Теорема 9 [51 — В1]. Если М~У»$'йт достижимый и критический, го сформулированная выше гипотеза справедлива для М.
Случай, когда поле К вполне вещественно, вытекает из результата Зигеля о рациональности [51] для дзета-функции К. В случае СМ-поля, разобранном Блазиусом, для большей точности нужен некоторый комментарий.') Шимура [5Ь 1] определил критические значения 1.-функций характеров гр ~ Ао(К) с точностью до алгебраического числа, и даже более точно, в терминах периодов абелевых многообразий СМ-типа с комплексным умножением на числа из К. Однако в этой ситуации ') Я не могу здесь подробно излагать результаты Блазнуса, для этого потребовался бы целый доклад.
Г. Зон»яр циклогоиия и эначэяия Г-функции формализм периодов Делиня предполагает рассмотрение мотивов над К с коэффициентами из поля Е, порожденного значениями с).Делинь !Е!е2) проверил совместимость своей гипотезы с результатами Шимуры с точностью до неко.араго алгебраического числа. Блазиусу удалось описать некоторую «двойственность», которая меняет ролями К и Е в терминах мотивов, и расширить результаты Шимуры [3И 1.
БИ 2), что и позволило доказать полностью гипотезу Делиня в СМ-случае. На данном этапе мы имеем все необходимые результаты для доказательства теорем 1 — 3. Сначала применим простые соображения к а ен Вэ () В' и й (К) = (о я- й ! ое = е). Положим при этом /и = т(а) и и = ш(а). Рассмотрим мотив Н(Х")( — 1) из $3. Обозначим через р, проектор, определенный в замечании 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
