Главная » Просмотр файлов » Труды семинара Бурбаки за 1988 г

Труды семинара Бурбаки за 1988 г (947402), страница 3

Файл №947402 Труды семинара Бурбаки за 1988 г (Семинар Н. Бурбаки) 3 страницаТруды семинара Бурбаки за 1988 г (947402) страница 32013-09-15СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

ВАРИАЦИОННАЯ СХОДИМОСТЬ. МЕТОДЫ Г- и ер1-СХОДИМОСТИ В рассмотренном ранее энергетическом методе изучалось уравнение Эйлера вариационной задачи. В вариационном методе имеют дело с вариационной формулировкой задачи, которая состоит в минимизации функционала (4. 1) Р, (и,): г",(о) Уо ее Х. Напомним некоторые классические результаты выпуклого анализа, позволяющие установить связь между д у в мя подхо" Для заданной функции ер: Х вЂ” и Р О(+ оо), вещественной, вы-1,;,,; пуклой и полунепрерывной снизу (чй +оо)„через д~р: Х- Х((У'4 г з .еее 18 Э.

Агтрш Усреднение 19 обозначают ее субдифференциал: 1 он д~Р(ио) ч=:. еР(и) ь~Р(ио) + (7, и — ио) Ни ~ Х Тогда (4.2) ио минимизирует <р в Хч=:.д~р(ио):-э О, кога Х— д~р является максимально монотонным оператор Х л ( д — рефлексивное банахово пространство). Включение ртромиз вл ы + оо представляет во множество значений функции <р величины + оо существенный интерес, поскольку позволяет заметно асши ить класс допустимых функций.

Предположим, что мы ищем минимум функции на н тором подмножестве С нз Х: ункции сро на неко- (4.3) ппп (юро(и): и ен С). Вводя 0 если и~С, +со если и ~ Х(С, иидикаторну функцию ножества С сформулируем зада у (4,3) следующим эквивалентным образом пня (ер(и): и енХ) где <р(и) =еро(и)+ бс(и). Пример 2 принимает тогда следующий вид: (4.4) ппп (Ре (и): и «= Ноо(И)), где Се — — (и ен Но (Я): и = 0 на Т,). туш, Уэтс 7 ..., н Опищем теперь метод ер1-сходимости (см. А (е1), А- тс ( ), ...), называемый также методом Г-сходимости.

Пе вый этап р, как и в энергетическом методе заключается новлении, а ся в уста-е-0 . ,р вномерных оценок для последовательности ! 1еие; Е -~- ). Из них следует, что. последовательность (и„е- 0) относительно компактна в некоторой топологии т. Пусть (4.5) Чтобы перейти к пределу в (4.1), надо перейти к пределу в ле. вой и правой частях этого соотношения.

Для того чтобы и было решением предельной задачи (4.8) Р(и) «'Р(в) чео ~ Х необходимо ввести следующее понятие сходимости: для каждого о енХ (!) еос е о Р(в) ««И111 п11Ре (ое) (И) Воое — '. с Иш зпр(Ре(во )) ~~~(~) е Тогда говорят, что Р— эпиграфический предел или, коротко, ер1-предел (относительно топологии т) последовательности (Р,.; е — е 0) и обозначают его (4.8) Р= т — !пп,Р,. (В терминологии Г-сходимости, см. Де Джорджи (2!), гово- рят, что Р есть Г(т)-предел последовательности (Р,) и записы- вают Р = Г(т) — 1ип Р,.) Термин ер1-предел имеет следующую геометрическую интерпретацию Р = !пп, Р, оп ер1 Р = !пп (ер1 Р,), где ер1 Р = ((и, Л) ~ Х Х (»: Л ~ Р (иИ есть надграфик Р н С= Ип1Се е.+о означает, что С вЂ” топологический предел последовательности множеств (С,) в смысле Куратовского — Пенлеве,(С = = 1пп !п1 С, = 1пп знр С„где 1ип 1п1 С, — множество пределов последовательностей (х,), х, ~ С, при всех е, а 1ппзпр С,— множество предельных точек таких последовательностей).

Следующий результат отражает вариационные свойства ер1-сходи- мости. Теорема 4.1. Пусть (Р,: Х вЂ” ~ Р; г -~0) — последовательность функций. (!) Пусть для каждого г ) 0 и, минимизирует Р, в Х: Р,(и,) 'Р,(о) чв ен Х. Предположим, что последовательность (и,; е — О) является т-относительно компактной в топологии т в Х. Тогда имеет место следующая импликация а) о- Ь) а) Р=т — Ип1Ре Ф Ь) 1п1 Р, — ш!пР и все т-предельные точеьо ки последовательности (и;, е-ь 0) минимизируют Р в Х. Э. Аттуш Усреднение Ряс.

о. П ри каждом е ~ 0 функция Р, достигает своего минимума при и, = е/2 и Р,(и,) = — 1. В результате 1пп (ер! Р,) = )ч Х )ч' () ((О, Л): 0 ~( Л ~( — Ц = ер! Р, О, если хФ О, Р(х) = — 1, если х=О и Р(х) достигает своего минимума в точке и =О, пределе и„ когда з-+.О. Более того, Р(и) =1пп Р,(и,). о+о где Рассмотрим теперь, как введенные выше понятия применяются в примере 2 (то же можно сделать и в примере 2.1, см. (1]). Согласно (4.4) последовательность является равномерно коэрцитивной в Но((г), поэтому в качестве т можно выбрать сильную топологию в Ео(Я). Возмущение ~ (и является непрерывным в топологии т, следовательно по теореме 4.1, (й), можно без ограничения общности положить ! = О.

В итоге имеем Р,(и)= 2 ~ !Йи !'+ 6с (и). В частности, вся последовательность (и,;е- О) сходится к ре- шению и задачи Р(и) Р(о) Чо ен Х, если зта задача имеет единственное решение. (й) Для каждой О:Х-~Р, непрерывной в топологии т, * — 1пп, (Р, + 6) = — 1пп, Р, + 6 (устойчивость при непрерывном возмущении).

Можно показать, что в определенном смысле ер!-сходимость является наименее сильной сходимостью, обладающей вариа- ционными свойствами (!) и (й). Следующий простой пример, в котором Х=Я, а т — обыч- ная топология, уже показателен: . П Н= 3, и пусть размер дырок есть величина Теорема 4.2. усть 4.4 к итипорядка г,. Тогда предельное поведение задачи ( . , р го . чески зависит от отношения —,: Го а) если 1пп — о =О, то е-~о о йш Р, = Р, где Р (и) = $ ! Ои !' Ых Чи е= Но( ) го Ь) если 1пп.—;=+ оо. то о.ьо!в' 1ппР =6<о! — индикаторной функции тождественного нуля, е= с) если Го — а, то 1ппР,=Р, где Уи ен Но(И) е Р(и) = 2 ) !хти! ах+ 2 ~ и (х) х Я Я Константа С равна гармонической емкости дьорки 8 ки Т в !чз: с-ы(! ~а ~ч,: и'[оо, а~1 ° ь ду т~.

Следствие 4.3. В зависимости от поведения — ', последователь- ность и, сходится к решению и одной из следующих задач: ( — йи=( на (1, а) если г, «еь~ Ь) если г ~ зо и†= 0 на ьг, с) если гжаа 1 — Ли+Си=( на !г, 1 и=О на д(1. Замечание 4.4. а) При использовании подхода, основанного на ос и функционалов, дополнительный член Си, ственн к> появляющийся в предельном уравнении, получает есте т у интерпретацию: запишем Р,(и) в виде: и) 2 ~!Ви! ах+ ~ ао(х)и (х)дх о Я где О, если хФТ„ ~+ оо в противном случае.

З. Аттуш Усреднение Функциональный предел г 1т! Рис. Б. Р(и) = — '~ !Ви!'с(х+ — ~ и'(х) с(х получается здесь так же, как в других случаях, причем условие и = 0 вне 1)е вводится здесь методом штрафа. Ь) Если г, е, то и,— 0 при е — О. Исследование главного члена асимптотики и, приводит здесь к закону Дарси. Наметим доказательство теоремы 4.2 с использованием метода ер1-сходимости. Основная идея его заключается в следующем. Предположим, что предел Р = — т — !пи, Р, существует. 'Тогда Р задается формулой (49) УисХ Р(и)=ш!п(!!шРе(и,): и,— '- и), что заставляет нас искать среди всех последовательностей .и, — ' и такую, которая доставляет минимум выражению 1!гп Р,(ие).

Учитывая локальный характер изучаемой задачи, введем для каждого е» 0 функцию Р,— объемный потенциал множества г,Т в шаре еВ диаметра е, продолжим эту функцию непрерывным образом в еУ, а затем е-периодическим на все (се. Введем далее ~е 1 Ре. Элементарные вычисления дают для любой открытой регулярной со с (с (4.10) ~ !.Ош, !ее(х ж Сар Т глез ео те Когда !пп зпр —, < + со, последовательность (ш„' е-е-0) ограничена в Н'((с) и, следовательно, относительно компактна в Т.о(е)). Введем функцию,"1„равную 1 на еУ'~еВ и 0 на еВ и е У-периодическую. Тогда (4.11) (1 — ту,)11,='0 всюду в е).

Заметим, что последовательность т, слабо сходится в, ) 2 к постоянной О» О, поэтому, переходя к пределу в (4.11)„ найдем (4.12) ие — 1 в Ео(ес) сильно. Взяв и~Но(Я) (которая с самого начала предполагается регулярной), положим ио =и ° ве. Тогда имеем иое — эи в Т.о(ес) н и„=0 в Т,.

Таким образом, Р,(и„) = — ~ !егио,!е((х= = — ~ (Пте! стао(и ! + 21ие Вще и ° ееи+ и ~ ВШе ~ ) иХ' Полагая г, — е', получим с помощью (4.10) 11п1 Ре(иое) = 2 ) ! Ви ~ с(х + 2 Сар Т . ) и с(х. 1 2 Я и Для завершения доказательства свойства '(В) ер1-сходимости. используются плотность регулярных функций и диагональный процесс. Справедливость свойства (!) ер1-сходимости проверяется сравнением Р,(и,) для произвольной и, — и и Р,(и„) для ранее построенной и„ вЂ ' и.

Неравенство выпуклости ~ ! Вие ! ~» 2 ~ ! Виое ( ~1х+ ~ (Виое В(ие иое))~1х и а и сводит все к проверке соотношения 11ш ~ (етио 0 (ие иое)) с х = 0 ° Новизна задачи заключается в способе перехода к пределу в произведении двух слабо сходящихся последовательностей.. Э. Атташ После интегрирования по частям мы приходим к исследованию предела последовательности /е = ( Аше ие)т -1 ю но/ ,который можно найти благодаря результату Чаронеск, Мю а [15); заметим, что ску, юра Аще 1ае те где 1а,— положительная мера, сосредоточенная на сфере дВ и е 1хе — ьСарТах В Н сильнО! и Т, — положительная мера, сосредоточенная на дТ, (где и, = О) и, следовательно, не участвующая в предельном переходе.

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
3,38 Mb
Тип материала
Предмет
Учебное заведение
Неизвестно

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6552
Авторов
на СтудИзбе
299
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее