Труды семинара Бурбаки за 1988 г (947402), страница 3
Текст из файла (страница 3)
ВАРИАЦИОННАЯ СХОДИМОСТЬ. МЕТОДЫ Г- и ер1-СХОДИМОСТИ В рассмотренном ранее энергетическом методе изучалось уравнение Эйлера вариационной задачи. В вариационном методе имеют дело с вариационной формулировкой задачи, которая состоит в минимизации функционала (4. 1) Р, (и,): г",(о) Уо ее Х. Напомним некоторые классические результаты выпуклого анализа, позволяющие установить связь между д у в мя подхо" Для заданной функции ер: Х вЂ” и Р О(+ оо), вещественной, вы-1,;,,; пуклой и полунепрерывной снизу (чй +оо)„через д~р: Х- Х((У'4 г з .еее 18 Э.
Агтрш Усреднение 19 обозначают ее субдифференциал: 1 он д~Р(ио) ч=:. еР(и) ь~Р(ио) + (7, и — ио) Ни ~ Х Тогда (4.2) ио минимизирует <р в Хч=:.д~р(ио):-э О, кога Х— д~р является максимально монотонным оператор Х л ( д — рефлексивное банахово пространство). Включение ртромиз вл ы + оо представляет во множество значений функции <р величины + оо существенный интерес, поскольку позволяет заметно асши ить класс допустимых функций.
Предположим, что мы ищем минимум функции на н тором подмножестве С нз Х: ункции сро на неко- (4.3) ппп (юро(и): и ен С). Вводя 0 если и~С, +со если и ~ Х(С, иидикаторну функцию ножества С сформулируем зада у (4,3) следующим эквивалентным образом пня (ер(и): и енХ) где <р(и) =еро(и)+ бс(и). Пример 2 принимает тогда следующий вид: (4.4) ппп (Ре (и): и «= Ноо(И)), где Се — — (и ен Но (Я): и = 0 на Т,). туш, Уэтс 7 ..., н Опищем теперь метод ер1-сходимости (см. А (е1), А- тс ( ), ...), называемый также методом Г-сходимости.
Пе вый этап р, как и в энергетическом методе заключается новлении, а ся в уста-е-0 . ,р вномерных оценок для последовательности ! 1еие; Е -~- ). Из них следует, что. последовательность (и„е- 0) относительно компактна в некоторой топологии т. Пусть (4.5) Чтобы перейти к пределу в (4.1), надо перейти к пределу в ле. вой и правой частях этого соотношения.
Для того чтобы и было решением предельной задачи (4.8) Р(и) «'Р(в) чео ~ Х необходимо ввести следующее понятие сходимости: для каждого о енХ (!) еос е о Р(в) ««И111 п11Ре (ое) (И) Воое — '. с Иш зпр(Ре(во )) ~~~(~) е Тогда говорят, что Р— эпиграфический предел или, коротко, ер1-предел (относительно топологии т) последовательности (Р,.; е — е 0) и обозначают его (4.8) Р= т — !пп,Р,. (В терминологии Г-сходимости, см. Де Джорджи (2!), гово- рят, что Р есть Г(т)-предел последовательности (Р,) и записы- вают Р = Г(т) — 1ип Р,.) Термин ер1-предел имеет следующую геометрическую интерпретацию Р = !пп, Р, оп ер1 Р = !пп (ер1 Р,), где ер1 Р = ((и, Л) ~ Х Х (»: Л ~ Р (иИ есть надграфик Р н С= Ип1Се е.+о означает, что С вЂ” топологический предел последовательности множеств (С,) в смысле Куратовского — Пенлеве,(С = = 1пп !п1 С, = 1пп знр С„где 1ип 1п1 С, — множество пределов последовательностей (х,), х, ~ С, при всех е, а 1ппзпр С,— множество предельных точек таких последовательностей).
Следующий результат отражает вариационные свойства ер1-сходи- мости. Теорема 4.1. Пусть (Р,: Х вЂ” ~ Р; г -~0) — последовательность функций. (!) Пусть для каждого г ) 0 и, минимизирует Р, в Х: Р,(и,) 'Р,(о) чв ен Х. Предположим, что последовательность (и,; е — О) является т-относительно компактной в топологии т в Х. Тогда имеет место следующая импликация а) о- Ь) а) Р=т — Ип1Ре Ф Ь) 1п1 Р, — ш!пР и все т-предельные точеьо ки последовательности (и;, е-ь 0) минимизируют Р в Х. Э. Аттуш Усреднение Ряс.
о. П ри каждом е ~ 0 функция Р, достигает своего минимума при и, = е/2 и Р,(и,) = — 1. В результате 1пп (ер! Р,) = )ч Х )ч' () ((О, Л): 0 ~( Л ~( — Ц = ер! Р, О, если хФ О, Р(х) = — 1, если х=О и Р(х) достигает своего минимума в точке и =О, пределе и„ когда з-+.О. Более того, Р(и) =1пп Р,(и,). о+о где Рассмотрим теперь, как введенные выше понятия применяются в примере 2 (то же можно сделать и в примере 2.1, см. (1]). Согласно (4.4) последовательность является равномерно коэрцитивной в Но((г), поэтому в качестве т можно выбрать сильную топологию в Ео(Я). Возмущение ~ (и является непрерывным в топологии т, следовательно по теореме 4.1, (й), можно без ограничения общности положить ! = О.
В итоге имеем Р,(и)= 2 ~ !Йи !'+ 6с (и). В частности, вся последовательность (и,;е- О) сходится к ре- шению и задачи Р(и) Р(о) Чо ен Х, если зта задача имеет единственное решение. (й) Для каждой О:Х-~Р, непрерывной в топологии т, * — 1пп, (Р, + 6) = — 1пп, Р, + 6 (устойчивость при непрерывном возмущении).
Можно показать, что в определенном смысле ер!-сходимость является наименее сильной сходимостью, обладающей вариа- ционными свойствами (!) и (й). Следующий простой пример, в котором Х=Я, а т — обыч- ная топология, уже показателен: . П Н= 3, и пусть размер дырок есть величина Теорема 4.2. усть 4.4 к итипорядка г,. Тогда предельное поведение задачи ( . , р го . чески зависит от отношения —,: Го а) если 1пп — о =О, то е-~о о йш Р, = Р, где Р (и) = $ ! Ои !' Ых Чи е= Но( ) го Ь) если 1пп.—;=+ оо. то о.ьо!в' 1ппР =6<о! — индикаторной функции тождественного нуля, е= с) если Го — а, то 1ппР,=Р, где Уи ен Но(И) е Р(и) = 2 ) !хти! ах+ 2 ~ и (х) х Я Я Константа С равна гармонической емкости дьорки 8 ки Т в !чз: с-ы(! ~а ~ч,: и'[оо, а~1 ° ь ду т~.
Следствие 4.3. В зависимости от поведения — ', последователь- ность и, сходится к решению и одной из следующих задач: ( — йи=( на (1, а) если г, «еь~ Ь) если г ~ зо и†= 0 на ьг, с) если гжаа 1 — Ли+Си=( на !г, 1 и=О на д(1. Замечание 4.4. а) При использовании подхода, основанного на ос и функционалов, дополнительный член Си, ственн к> появляющийся в предельном уравнении, получает есте т у интерпретацию: запишем Р,(и) в виде: и) 2 ~!Ви! ах+ ~ ао(х)и (х)дх о Я где О, если хФТ„ ~+ оо в противном случае.
З. Аттуш Усреднение Функциональный предел г 1т! Рис. Б. Р(и) = — '~ !Ви!'с(х+ — ~ и'(х) с(х получается здесь так же, как в других случаях, причем условие и = 0 вне 1)е вводится здесь методом штрафа. Ь) Если г, е, то и,— 0 при е — О. Исследование главного члена асимптотики и, приводит здесь к закону Дарси. Наметим доказательство теоремы 4.2 с использованием метода ер1-сходимости. Основная идея его заключается в следующем. Предположим, что предел Р = — т — !пи, Р, существует. 'Тогда Р задается формулой (49) УисХ Р(и)=ш!п(!!шРе(и,): и,— '- и), что заставляет нас искать среди всех последовательностей .и, — ' и такую, которая доставляет минимум выражению 1!гп Р,(ие).
Учитывая локальный характер изучаемой задачи, введем для каждого е» 0 функцию Р,— объемный потенциал множества г,Т в шаре еВ диаметра е, продолжим эту функцию непрерывным образом в еУ, а затем е-периодическим на все (се. Введем далее ~е 1 Ре. Элементарные вычисления дают для любой открытой регулярной со с (с (4.10) ~ !.Ош, !ее(х ж Сар Т глез ео те Когда !пп зпр —, < + со, последовательность (ш„' е-е-0) ограничена в Н'((с) и, следовательно, относительно компактна в Т.о(е)). Введем функцию,"1„равную 1 на еУ'~еВ и 0 на еВ и е У-периодическую. Тогда (4.11) (1 — ту,)11,='0 всюду в е).
Заметим, что последовательность т, слабо сходится в, ) 2 к постоянной О» О, поэтому, переходя к пределу в (4.11)„ найдем (4.12) ие — 1 в Ео(ес) сильно. Взяв и~Но(Я) (которая с самого начала предполагается регулярной), положим ио =и ° ве. Тогда имеем иое — эи в Т.о(ес) н и„=0 в Т,.
Таким образом, Р,(и„) = — ~ !егио,!е((х= = — ~ (Пте! стао(и ! + 21ие Вще и ° ееи+ и ~ ВШе ~ ) иХ' Полагая г, — е', получим с помощью (4.10) 11п1 Ре(иое) = 2 ) ! Ви ~ с(х + 2 Сар Т . ) и с(х. 1 2 Я и Для завершения доказательства свойства '(В) ер1-сходимости. используются плотность регулярных функций и диагональный процесс. Справедливость свойства (!) ер1-сходимости проверяется сравнением Р,(и,) для произвольной и, — и и Р,(и„) для ранее построенной и„ вЂ ' и.
Неравенство выпуклости ~ ! Вие ! ~» 2 ~ ! Виое ( ~1х+ ~ (Виое В(ие иое))~1х и а и сводит все к проверке соотношения 11ш ~ (етио 0 (ие иое)) с х = 0 ° Новизна задачи заключается в способе перехода к пределу в произведении двух слабо сходящихся последовательностей.. Э. Атташ После интегрирования по частям мы приходим к исследованию предела последовательности /е = ( Аше ие)т -1 ю но/ ,который можно найти благодаря результату Чаронеск, Мю а [15); заметим, что ску, юра Аще 1ае те где 1а,— положительная мера, сосредоточенная на сфере дВ и е 1хе — ьСарТах В Н сильнО! и Т, — положительная мера, сосредоточенная на дТ, (где и, = О) и, следовательно, не участвующая в предельном переходе.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
