Труды семинара Бурбаки за 1988 г (947402), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Рассматривая сверхточное асимптотическое разложение функции 1)~(1), 1» 2, надо вводить вспомогательные переменные, которые по определению являются экспонентами от формальных рядов. В этом случае надо начинать с пересуммировання именно этих рядов с помощью обычной техники. 9. ЗАМЕЧАНИЕ Доказательство, кратко восстановленное выше, максимально использует аналитические свойства отображений соответствия и по возможности избегает проведения полных формальных вычислений.
Другой способ доказательства можно было бы получить,. в основном опираясь на формальные выкладки и пытаясь понять, в какой степени асимптотические разложения отображений соответствия могут сокращаться при суперпозиции. Развивая этот подход, Экаль, Мартине, Мусею и Рампе получили следующий результат (3): если преобразование монодромин аналитическое, полугнперболические особые точки сложного цикла разбиваются на пары растягивающая — сжимающая„ изоморфные друг другу при обращении ориентации с точностью до замен координат с ветвлением конечного порядка. Ж.-К.
Локков Ненаколлелве лредвльмьи Чиклов Дополнение переводчика В настоящее время в виде рукописей существуют два полных решения проблемы Дюлака, основывающиеся на различных подходах. Одно из них, содержащее разработку идей, обсуждаемых в этой статье, принадлежит Экалю. Второе получено Ю. С. Ильяшенко. Первая часть доказательства Ю. С. Илья.шенко выходит в виде статьи [27ь]. ЛИТЕРАТУРА [!] Мопзвп К.— 1е ргоЫеше де 1а ПпИпде дп пошЬге де сус!ез Ипп1е, Яеш. ВопгЬаш, ехрозй п, 655 (!985), Ав(йг!вйпе 145 — 146 (1987), р. 89 — 101.
[2], [3] Есапе Л., Магппе1 Л., Мопмп К., Каппа Л. Р.— Нопассппш!апоп де сус1ез !ЬпИез. С. й. А. Я. 1. 304, зег!е, 1, п. !4 (1987), (1) р. 375— 378, (Ц) р. 431 — 434. 4] Дюлак А.— О предельных циклах: — Мл Наука, !980, 5] Ильяшенко Ю. С.— Предельные циклы полнномиальных векторных полей с невырожденными особыми точкамн на плоскости. Функц.
анализ. 1984. т. 18. вып. 3. с. 32 — 42. [6] Вапюп К.— Яо1пиоп о1 !)п!ас'з ргоЫегп 1ог чпадгапс чеыог Ие!дз, Ап. Асад. Вгаь. С!епс. 1985, 57, п. 3, р. 265 — 266. [7] Пуанкаре А.— О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. — МЛ Лл Гостехнздат, 1947. [8] Яо1оша!ог Л.— Спгчав дп!пшаз рог ейпачоев дбегепс!а1в по р1апо, !Зе Соп. Вгаз. Ма(Ь., рпЫ. 1МРА (1981), [9] ХешепЬегя А.
— Кедпспоп о1 з!пкп!аг]пеь о! дп!егеппа! ейпапоп Аду Вдх. Ашег. Л. Ма(Ь. 1968. ч. 90. п. 1, р. 248 — 269. [10] Впшогпег Р.— Яшки!аппез о1 чесгог !!е!дь оп 1Ье р!апк Л. В(П, ЕЧ. 1977. ч. 23, п. 1. р. 55 — 106. [!!] МаИе! Л.— Р., Мопмп К.— Но!опоппе е1!п1екга!ев ргеппегез. Апп. вс(еп(. Ес. Ногш. Яир. !980. 4 вйпе ч. 13. р. 469 — 523. 12] Ильяшенко Ю.
С.— Успехи Мат. Наук, 1987. т. 42, вын. 3, с. 223. 13~ МагИпе1 Л.— Труды конференции 1МРА (Рио-де-Жанейро), 1985. 14 Магппе1 Л., Каппа Л.-Р.— РгоЫеиюь де шодп!ез ропг дев ейпапопз ЙИегеппе!!ез поп Ипеакев дп ргеппег огдге. РпЫ. Мапь 1НЕЯ, 1982, и. 55, р.
63 — 164. [15] Магппе1 Л., Кагп(в Л.-Р. — С!азвп!сапоп 1па1у1ьйпе дез ейпа1юпв д!Иегепиепез поп Ипеа1гез гйзоппап1еь дн ргеш1ег огдге. Апп. Яс. Е. )Ч. 8., !983, 4е ьег!е, 1. !6, р. 625 — 671. '[16] МагИпе1 Л., Каппа Л.-й.— Апа1упс с1аззп!са1юп о( гезопап1 задд1еь апд !ос1, 1п в)пкп!агшев апд дупапнса! зув1егпь. Я. )Ч. РпешпаИйоь — Едпог, Ногй Нопапд 1985, р. 109 — 136. [17] Ма18гапке В.— Тгачанх д'Есайе е1 де Магппе1 — Каппз впг !ез вуьгегпеь дупак!янез. Яет. ВопгЬайй ехроье п. 582 (1981), Аьмгмйпе п.
92 — 93 (1982), р. 59 — 73. [!8] Есапе Л.— 1.ез !опс(юпь гевпгдеп(м (Ц, (П), (!П), РпЫ. ()п!четв. Раг!в Х!. [!9] Воронин С. М.— Аналитическая классификация ростков конформных отображений (С, О) - (С, О) с тождественной линейной частью. Функцион. анализ. 1981. т. 15. вып. 1. с. 1 — 17. [20] Каш!в Л.-Р.— 1ез зйт!ев Ь-вопнпаЫев е1 1епгв аррисапопе 1.. Н, ш РЬувюв 126, Ярг!пиег (!980).
[21] Каш1в Л.-Р. — ТЬеогешев <Г1пйсе Оечгеу ропг 1ев ейпаИопв ЙИЬ- геппепев огжпа!гев. Меню!гв Агп. Ма1Ь. Яос., 1984, п. 48, р 296. [22] Еса!1е Л., Магипе1 Л., Мопььп К., Каппа Л. Р.— Ье ргоЫеше де )Лп!ас: зо!п(юп е1 сошр!егпеп1ь, В стадии подготовки. 231 Всапе Л.— 1.'ассе1ега1юп деь 1опспопз геьпгиеп(ез, рукопись (1987). 24~ Моими К.— 1.е ргоЫеше де ()п1ас. Лопгпееь Х вЂ” (]РЯ (1987). 25 Каш|з Л. Р. — Рбйпошепе де 8(ойеь е1 гевопппапоп, С. К. А.
Я.„ 1985, 1. 301, зйпе 1, п. 4, р. 99 — 102. [26] Магппе1 Л.— ).е ргоЫеше де Пп1ас ропг пп роисус!е согпрог1ап1 депх со1ь зеш1-ЬурегЬоичпеь. Рукопись (1986). [27'] Ильяшенко Ю. С.— Теоремы конечности для предельных циклов. Успехи Мат. Наук, 1990, вып.
2. РАБОТЫ ЛОМОНА Н. Катц А. Гротекдику к его бО-летию В этом докладе мы попытаемся объяснить разработанный Ломовом «приицип стационарной фазы» для 1-адического преобразования Фурье: откуда он возник, что он из себя представ.ляет и где его можно применять. ОБОСНОВАНИЕ: ФОРМАЛИЗМ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ Мы начнем с того, что напомним, как определяется классическое преобразование Фурье для конечной абелевой группы 6, .записываемой аддитивно; обозначим через 6~ двойственную по Понтрягину группу. Для функции / на 6 ее преобразование Фурье РТ(/) †э функция на 6~, задаваемая формулой д-ь Х /(х)Х(х).
Используя канонический изоморфизм 6 = г У!У = (6 ),задаваемый равенством х(т):=т(х), имеем формулу обращения РТ(РТ(/)) (х) =Ф(6)/( — х). Обычно функция / считается комплекснозначной, однако мы можем предполагать, что она принимает значения в любом подполе поля ! (или даже в любом поле, в котором число ЧВ6 обратимо), содержащем все корни из единицы порядков, делящих показатель 6. Нас будет интересовать следующий частный случай: й— конечное поле, Š— конечномерное векторное пространство над Ч к, Š— двойственное пространство, (х,у) — каноническое спаривание Е и Е и ф: (/г, +) — ь.С' — нетривиальный аддитивный Ч характер /г.
Тогда спаривание ф((х, у)) устанавливает двойственность по Понтрягину между Е и Е и мы можем говорить о преобразовании Фурье РТэ (/) функции / на Е, задаваемой равенством у — >' Х / (х) ф ((х У)). Ка1х !Ч!со!аз М. Тгауапх бе 1,аппюп.— Бйпг. Вопгьаж, 1987 — 88, »Е 891 Аз1ег!зйпе !81 — 182, 1988, р. !05 — 132. Щ перевод на русский язык, С. И.
Гельфанд, 1990 Работы»томова Простейшим примером является случай Е=й; в этом случае мы можем отождествить Е с Й таким образом, что <х, у) становится равным ху и мы имеем РТе(/)(у)= Х /(х) чз(ху). е В случае, когда й есть простое поле Г», стандартным выбором для ф является хь — »ехр(2гых/р) и при таком выборе формула для РТ(/) приобретает вид у ~ 2 /(х)ехр(2гиху/р). Напомним коротко определение одного класса комплекснозначных функций на [Р», которыми обычно интересуются в теории преобразования Фурье. Пусть задан многочлен Р(х,, ... ..., х„)ее л', [хь ..., х„[; зададимся вопросом о том, для каких Л! уравнение Р(х)=Л! имеет целочисленные решения, и «сколь много» таких решений.
Изучение этого вопроса приводит к аналогичному вопросу «по модулю р», т. е. к вопросу о том, сколько решений в Г» имеет уравнение Р(х)=!у' для каждого Атее Г . Если определить целочисленную функцию / на Г» формулой /(/у):=(число К»-решений уравнения Р(х) = Л!), то РТ(/) будет функцией на Г», задаваемой экспоненциальной суммой у» 2, ехр(2пЕУР (х„..., х„)/р). хг ...,х„ Именно систематическое исследование таких экспоненциальных сумм вместе с изобретением 1-адическнх когомологий с необходимостью привело к понятию 1-адического преобразования Фурье. Теперь нам нужно суммировать, хотя бы и в очень грубой форме, те аспекты теории 1-адических когомологий Гротендика„ без которых наш рассказ ие может двигаться дальше.
По техническим причинам нам нужно зафиксировать простое число 1 и алгебраическое замыкание Ог поля 1-адических чисел и прн обсуждении классического преобразования Фурье на конечных абелевыхгруппахрассматривать ()г-значные (а не комплекснозначные) функции. Пусть Х вЂ” схема конечного типа над 7 [1/1[. Тогда для любого конечного поля /г множество Х(/г) й-значных точек Х конечно. Если схема Х связана, то, выбрав в качестве базисной точки некоторую геометрическую точку $ в Х, мы можем рассмотреть проконечную фундаментальную группу Гротендика п!; и!(Х, Б). Гладкий (31- пучок У на Х вЂ” это просто непрерывное представление и! в конечиомерном векторном пространстве над ьгь которое определено над локально компактным подполем ()г.
Мы будем использовать, не давая точного »т. Катя Работы «»омона определения, более общее понятие конструктивного (.)»-пучка д~ (называя его просто пучком, если вероятность недоразумения не слишком велика) на Х, и понятие объекта К (называя его «комплексом») соответствующей производной категории «1,(Х, (К). Ключевой факт состоит в том, что пучок У" на Х задает для каждого конечного поля Й ь)»-значную функцию Тгасек «- на конечном множестве Х(й), называемую «функцией следак Эта функция определяется следующим образом. Точка хан Х(й) может тавтологически рассматриваться как морфизм »1»,, «. прес(й)-+-Х; обратный образ У относительно этого морфизма является пучком на прес(а), т. е.
непрерывным представлением Оа!(б/й) в конечномерном векторном пространстве над Ц, которое определено над некоторым локально компактным подполем Яь Обозначая через Р, элемент группы Галуа Оа!(а/й), который обратен стандартнойобразующей х~-»х«, «1= =Ф(Й), этой группы, мы можем рассмотреть след действия Р«на (»р„,а) "(д ) и определить Тгасе»,.«как функцию на Х(а), задаваемую равенством Тгасеа, в- (х): = Тгасе (Ра 1(«р., ») (У )). (Если У вЂ” гладкий пучок на связной схеме Х, то мы можем говорить о классе сопряженности элемента Фробениуса Р„,ы в я»(Х, $), являющегося образом Р«при отображении групп я», иидуцируемом «р„„, и Тгасе - определяется как след представления вь «совпадающего» с У, на этом классе.) Аналогично, если задан комплекс К, то у него имеется конечное число нетривиальных пучков когомологий Зо»:=М»(К) и мы положим Тгасе к.= Т ( — 1)' Тгасе Ясно, что функция следа прямой суммы (соответственио тензор- ного произведения) комплексов является суммой (соответствен- но произведением) функций следов отдельных слагаемых (или сомножителей).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
