Труды семинара Бурбаки за 1988 г (947402), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Мавьеранас В) Пусть У какая-нибудь локальная система векторных пространств над С на 5. Структура Стокса на У определяется заданием занумерованного системой Г семейства подпучков Уа в У, обладающего следующим свойством: (5.1). Для каждого бен5 существует разложение (не обязательно единственное) Уо =Ю У,о, такое, что для каждого (У, близкого к б, имеем Уо = ч1о Уз,о. З<оа Отсюда вытекает, что условие а ( ор влечет за собой Уо с: Уо. Следует иметь в виду, что У" являются подпучками а У в обычном смысле лишь локально (оии занумерованы локальной системой, а не множеством).
Если Š— расслоение в окрестности бесконечности на Е, снабженное мероморфной связностью с полюсом в бесконечности, мы можем сопоставить ему структуру Стокса следующим образом: У есть пучок на 5, образованный горизонтальными сечениями Е в секторах ~„о „е мало (другими словами, =а.г [5, где г~ — пучок горизонтальныхсечений Е); сечение Л )я Уо принадлежит Уо, если е з Г имеет умеренный рост в окрестности направления О. Теория аснмптотнческого разложения показывает, что условие (5.1) выполнено, так что мы получаем структуру Стокса. Можно доказать, что получающийся таким образом функтор из категории мероморфных связностей в оо в категорию структур Стокса на 5 является эквивалентностью категории («обобщенное соответствие Римана»).
В рассматриваемом саучае положим 6 =Зо1М; в окрестности бесконечности компл кс 6 ацикличен всюду, кроме степени — 1, а ав — '6 есть пучок горизонтальных сечений связности, двойственной к (1„,Ж)ьь таким образом, а,Ж вЂ” '6[5 естественно снабжается структурой Стокса (которая ввиду только что сформулированного результата определяет (1„Х) '" в окрестности бесконечности).
Эту структуру Стокса можно определить также следующим образом: пусть Е'-»М — свободная резольвента М; тогда Ю вЂ” '6 есть ядро отображения азот»ты(Ы«У)— -»Моем»1а>(Е1,6з) (я пишу О вместо0аьа) и структура Стокса определяется условиями роста сечений в секторах Хо., Для упрощения обозначений будем писать 6 вместо й„6; исходными данными являются, таким образом, 6 вместе со структурой Стокса на У=:Уй-'6[5.
Заметим также, что авь6 = = О при й Ф О, — 1 и что мйчб,сосредоточено в конечном числе точек Е. Покажем, как эти данные определяют Зо! УМ. Обозначим, как и в 2 2, через т и т' две проекции ВХЕ' на сомножители. Пусть Ф такое же, как (2.5); пучок Мотня<в>(М, Ф) можно описать следующим образом: в точках (х, а)~Е ХЕ' он равен (Я вЂ” '6)„; в точке (О, а)~ 5х', Е' он совпадает с подмножеством (мв" — '6)о = Уо,образованным теми 1, которые обладают следующим свойством: для $, близкого к а, е-е1[ имеет умеренный рост (см.
замечание 2.8) в секторе вокруг направления О. Другими словами, для $, близких к а, должно выполняться условие ~~Уо1~~. По аналогии с (2.8) обозначим получающийся о <О таким образом пучок на В Х'Е' через (г'аб '6 ®е ') Отметим, что теорема Рами — Сибуйа [К вЂ” З], называемая «теоремой об аснмптотическом разложении с экспоненциальным убыванием», утверждает, что д'хф,а,(М, Ф) =О на 5 ХЕ' для й ) 1.
Наконец, В Моти»те> (М, Ф) [1[ обладает следующими свойствами: !) на Е ХЕ' он совпадает с г'6; В) на 5 ХЕ' он ацикличен в степенях, отличных от — 1; его <о когомологии в степени — 1 равны (г'ото 6®е Можно заметить, что эти два условия определяют комплекс однозначно с точностью до единственного изоморфизма в Вь(ВХ о <о ХЕ', С); обозначим этот комплекс через (г'68е-о)< . Из формулы (2.7) получаем следующий результат. Теорема (5.2). Имеем г'(г'6 Э е-') [1[. Таким образом, в данном случае исходная задача решена: мы вычислили 50!УМ через Зо!М и условия роста на бесконечности. (З.З).
Имеющиеся у нас исходные данные не достаточны для определения структуры Стокса на бесконечности в ав — '(Зо19 М); она зависит также от поведения решений М в окрестностях особых точек., В [Ма — 4[ можно найти исследование этого вопроса, которое требует введения пространств, аналогичных введенным в (4.1): для получения точных результатов об асимптотическом разложении и о структурах Стокса необходимо привлечь рассуждения типа «метода стационарной фазы». Кроме того, в указанной статье можно найти исследование «обобщенного соответствия Римана» для голономных модулей от одной переменной, а также обсуждение следующего вопроса: как непосредственно описать геометрические данные, отвечающие при этом соответствии У М, через данные, отвечающие Мт Я хочу ограничиться здесь исследованием частного случая, о котором я упоминал во введении, а именно случаем, когда все решения М имеют не более чем экспоненцнальный рост.
143 Б, Мйльеранж 142 Геометрическое преобразование Фурье Легко видеть, что условие инвариантно относительно У, используя для этого либо алгебраические, либо аналитические методь) [с помощью предельных случаев в (4.!)). Вне компакта в Е' можно использовать аргументы типа «все или ничего», как в $3, получая с их помощью, что вне компакта 30]УМ =У=ьгх, где 9+6 задается формулой (3.!). Эта формула может быть уточнена следующим образом: для а ~ Е', а Ф О, обозначим через Я, семейство носителей, введенное в конце $4, и через Ж; семейство замкнутых множеств, полученных из Ж, сдвигами. Положим %",=с[!,, (Е, сУ); точнее, а одним элементом %', является голоморфная функция, на Š— 2, Я еп Я;, по модулю целых функций.
Полагая [т = Уй-' (Яо! У М) имеем для !а] >) 1 [г = Ногпвт (е) (М, % и) Эту формулу можно еще уточнить. Пусть Л вЂ” полупрямая с началом в точке О, целиком принадлежащая Ж,; для Ь ~Е положим Л» — — Ь+ Л; положим также %»' = Нд»(Е, сУ). Пусть, с другой стороны, Ьь ., ܄— особые точки М, т. е. те точки, в которых )Ряи не имеет конечного типа над О. Можно показать, что если полупрямые Л»г не пересекаются, то имеет место разложение в прямую сумму (5.4) ри= 9 Ногпм(н(~М, %' ' ), (]а];в !). Элементы [[7» в естественно называть «гиперфуикциями» (в случае Ь = — О, Л = Р+ они являются обычными гиперфункциями в смысле Сато с носителями в Р+).
Мы получаем, что решения (в обычном смысле) У М соответствуют решениям в гиперфункциях М. Проводя разрезы вдоль Л,, мы получим и из обычных решений решения в гиперфункцнях, но не всегда все такие решения, что и является причиной замечания в п. В) во введении. »р а Элемент %' ' представляется голоморфной функцией в [7 — Л», по модулю функций, голоморфных в [7 (где [7 — открытая окрестность Л»,). Для вычисления [7, достаточно рассмотреть те функции, которые аналитически продолжаются на Л»! — (Ьг) «с двух сторон» (разность двух продолжений на Л», задает обычное решение).
Если [ представляет решение в и фу ц ях, то соответствующее решение У М имеет вид д(9) = фнки г пер[(х) е-л(г[х, где Т вЂ” путь, который выглядит следующим х е-"Ть[ ч (вбразом: ЛИТЕРАТУРА [ — М вЂ” Ч] Вгу!!пвЬу Л-1., Ма!кгапке В., 'Чегьйег дн1.. — Тгапмоппа11оп де Роог!ег квоте!тейпе 1, С. К. Асы. вс!. 294 (1983), р. 55— 58; Н, С. г. Асад. зс1. 303 (1986) р. 193 — 198. Вег1гапд О. — Тгачапх гесепй впг 1ев ро!пй в1пкп!!егз дев ецпаЦопв д!1(егеп1!е!!ев, Зепь ВопгЬаЫ, 1978 — 1979, по. 538, 1.ес!. )мо1ез Май., 770 (1980), р. 228 — 243.
В!ткиоц О. О.— ТЬе Кепега!1хед К(еюапп ргоЫет 1ог сицегепЦа( еь)па1!опв, Ргос. Атег. Агй Зс, 49 (1913), р, 531 — 568 (см. также «Оечгез сотр!е1ев»), Воге! А. е1 а!.— А!иеЬга!с м1-гподп!ез, Асадеппс Ргевв, 1987. Вгу!!пзьу Л-)..— (п: Оеогпебде е1 апа!узе гп!сто!оса!е, Ажег1ячпе, 140 †1 (1986). Еса!!е Л.— 1ез 1опсиопв тевпгпеп!ев, 1. 1 — 3, РпЫ. тпа!Ь. дОгвау (1981 †19). Еса11е Л вЂ” Е'асс»1ега!!оп дев (опс11опв гевпгяеп1ез, таппзсг!р(, (1987). ЕЬгепрге1в 1..— Роппег апа1ув!з тп вечега! сотр1ех чаг(аЫез, 'мг1- 1еу — 1п1егзс(енсе (1970) . Нома К., КавЬпиага М.
— ТЬе (пчапап1 Ьо!опопт1с вув!епт оп а зепнвппр1е Ые а!иеЬга, 1пчеп(. Май., 75 (1984), р. 327 — 358. Ногпчапдег 1., — Ап !п1годпс!юп 1о сотр!ех апа1уз!з 1ц вечега( чаг!аЫев. Чап Хов1гапд, Рппсе1оп (!966). [Имеется перевод: Хермандер Л. Введение в теорию функция нескольких комплексных переменных. — Мл Мир, !968.] Нбппапдег (..— ТЬе апа1уз!в о! !!пеаг рагца! гпцегеппа! орега!огв Н, Зрг!ппег-Чег!ак (1983). [Имеется перевод: Хермандер Л. [Ве] [в!] ~Во] [Š— Ц [Š— 2] [ЕЬ] [Н вЂ” К] [Но — Ц [Но 2] Отсюда легко выводится, что асимптотическое разложение Аь в бесконечности в направлениях ]агцЛ+ О] ( я/2 имеют экспоненциальный множитель е» с а = — Ь,я[9+ (члены низших порядков).
Таким образом, формула (5.4) разделяет на полукруге ]агцЛ+б]«я/2 формы а с различными главными частями — ЬЩ. Наконец, поворачивая Л, получаем «первый уровень» структуры Стокса на ]г; естественно считать, что такой анализ можно продолжить н дальше... Ввиду недостатка места я не могу говорить о всех темах, с которыми связан рассматриваемый круг идей. Я удовлетворюсь тем, что отошлю интересующихся к [Р]г — [], где можно найти обобщения на случай нескольких переменных, а также к работам Экаля (Š— [], в которых рассматриваются обобщения на нелинейные дифференциальные уравнения и на другие «локальные объекты». Б.
Мальаранж Алексис Мерен [1 п] [К] [К вЂ” К вЂ” Ц [К вЂ” К вЂ” 2] [К вЂ” З] [Ка — Ь] [Ко) [] [Ма — Ц [Ма — 2] [Ма — 3) [М вЂ” 4] [Ме — Ц ~Ме — 2) [РЬ вЂ” Ц [РЬ вЂ” 2] [й — 3] [З вЂ” К вЂ” К) [За) [Бс] © перевод на русский язык, Ю. П. Соловьев, !990 Анализ линейных дифференциальных операторов с частным' производными: Т. 2. — Мл Мир, !986.] Уогк !956 . !псе Е. ! . — Огд!лагу дп!егей!!а! ецпа1!опв 1926, П, Ы ( ).
[Имеется перевод: Айне Э. Л, Обыкновенные диф- ференциальные уравнения. — Харьков: ДНТВУ, !939.] Казымага М. — ТЬе К!ешапп — НИЬег1 ргоЫеш 1ог Ьо!опогп!с вув- 365. 1епы, РпЬ!. 1(ев. !пв1. Ма1Ь. Бс!., Куо1о ()п!ч., 20 (!984), . 3!9— Р. КавЬ11чага М., Катка! Т.— Зесопд гп!сто!осапвапоп апд авуш- р1о1!с ехрапзюпв, Брмпкег-Чег!аб Ьес1. Ыо1ез РЬуисв, 126 (1980) цавЬИиага М., Кача! Т.— Ммго!оса!.апа!упв, РпЫ. йез. 1пз1. Ма1Ь.
Бс!., Куо1о Пп!ч., !9 (!983), р. !003 — !032, Чое, !28 (!985). Кавычага М., ЗсЬар!га Р.— М!его!оса! вйду о! 1Ьеачез, Аз1' '- Ка1а Ы. М., 1.апгпоп б.— Тг!пв1оппапоп де Ропг!ег е1 гпа'ога- Иоп де зопппев ехропеп1!епезс РпЫ. Май. 1НЕЗ, 62 (!986), р. 36! — 4!8, Коша1зп Н. — !.ар!асс 1гапв1оппв о1 Ьурег1опсбопв. Апойег 1оппда1юп о! 1Ье НеашяЫе орега1!опа! са!сп1ов, ргерг!п1 (!987).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
