Труды семинара Бурбаки за 1988 г (947402), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Тогда Л'(К) = 2 Лк(1). П 4.5. Замечание. Предложение 4.4 является единственным местом в приведенной выше схеме, где соглашение об ориентации из 3.2 (~ Йф 1 чП ф л холлом оборотов l<1л) Ь Рис. 3. может повлиять на окончательный результат. Мы воспользуемся этой свободой в $5 и 6. 5. СКРУЧИВАНИЕ ДЕНА И ПРЕДСТАВЛЕНИЯ: ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ПРЕДЛОЖЕНИЯ 4Л Связь между разложениями Хегора из 2 3 и хирургией из 2 4 задается следующим утверждением. 5.1.
Лемма. Любой узел К в /т-сфере Н обладает незаузленной поверхностью Зейферта. Кроме того, если Š— некоторый узел, такой, что (Е,К) является ограничивающим защвплением, го. можно потребовать, чгобтл Е лежал на поверхности 5 и разделял ее. П Взяв в качестве (Р', двусторонний воротник 5 Х( — 1, 1] во- о круг 5, а в качестве !йх — дополнение Н вЂ” В'о мы получаем такое разложение Хегора сферы Н, в котором узел К разделяет поверхность Е на два экземпляра Е- и Е+ поверхности 5, Отождествляя Š— с Е+, мы получаем, что ф — /х', /т'=((р, Р ) ее ЕВН')(/т'(др =др+) и Я, Д вЂ” диагональное вложение.
Пусть О: Р/27 Х ! — 1, Ц-ч- Š— отображение ориентированного воротника вдоль кривой С в поверхность Е. Скручиванием Дена вдоль кривой С называется гомеоморфизм /гс. Е- Г '164 А. Марен Новьса инвариант для трехмерных гомологических сфер 166 (более точно, йв), тождественный вне образа 0 и такой, что йв(0(и, о))=0(и+ о+ 1, о). 5.2.
Лемма. Пусть й = йк — скручивание Дена вдоль узла К. Тогда йг~ []ь йт~= Фт1 [[ [р,Дд)р, = р й" (х) р — дйр,) .является разложением Хегора К„. С) Таким образом, мы имеем (К~) о ( ) (Й (!»!') е)йс1ьв щ,! воя. Так как узел К ограничен в г„, то скручивание й индуцирует тождественное отображение в гомологиях г„ и, следовательно, В СИЛУ ЛЕММЫ 22 ИМЕЕТ МЕСТО раВЕНСтВО (й. (йг1), 11е)я„=(! 1Ь ®я,. Действие й на Д можно записать так: й„(р-, р+) = (р —, р+ др — ) [отмеченная точка находится на г- и р х означает пре- с авление р, сопряженное с помощью х: у эх-'о(у)х].
Идея т д" доказательства предложения 4.1 состоит в том, чтобы перевести й (Я~) в 1,11 с помощью 50(3)-иивариантной изотопни Н,(1о, р )=(р, р< ехр(Тх)), где ген Я таково, что [г[( я и ехр(г) =-др-. Эта изотопия не определена на Дк.=(р~й[р(К)= — — Ц=Д';ге,й', где гт' = =(рея А'.[др= — Ц. Если Ф'=й»~50(3) и Ф' =Д'/50(3), то мы получаем 50 (3)-расслоение р: 1Т'" -» Ао Х Ф' . Обозначим через 6» прообраз диагонали относительно р. Используя <разрыв», получающийся при помощи изотопии Н, на 1,1, ПД», мы получаем следующее ут'верждение. 5.3. Лемма.
(Й" (()с) Й вЂ” (Й Й), ф= 2(бк, ()с) П Это завершает доказательство леммы 4.1. 5.4. 3 .. Замечание. В действительности цикл 6» определяется лишь узлом К, разделяющим г (без предположения ТР'1 — — г — Х ;ге', [ — 1, 1]). В самом деле, можно добиться того, чтобы Я~ стал трансверсальным к Д"; пусть (г, =ф ПД» и 6 — образ (г, ',н, Х50 (3) при отображении ((р-, р+),х) в (р —, р+.х). Лемма 5.3 остается справедливой, если взять 6» = 6»/50(3). Точно так'же, как и выше, можно показать, что для любого (Зд — 3)-мерного цикла а из Д имеет место равенство (й"+'(ф), а) — (Й" (0с), а) = 2(6», а).
6. ВЫХОД НА СЦЕНУ ТЕОРЕМЫ НЫЮСТЕДАс ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ПРЕДЛОЖЕНИЯ 4,2 Пусть (К, Т.) — ограничивающее зацепление. В силу рассуждений, приведенных во второй части п. 5.1, можно предположить, что Т. — разделяющая кривая в половине г+ поверхности г, построенной в $5. Из леммы 5.3 вытекает, что 2( — 1)в Ло(К, Е) =(Й„(6») — бк, ®-. Так как Йс (6») является прообразом относительно' р графика l l / отображения Йтл Д. — Д, то для того, чтобы получить 4.2, достаточно показать, что скручивание Дена йс индуцирует в гомологиях тождественное отображение. Ньюстед ([Х]) вычислил кольцо рациональных когомологий пространства Д'.
С этой целью ои использовал два нетривиальных результата. 1) ~' гомеоморфио пространству 5ио модулей стабильных расслоений ранга 2 с фиксированным детерминантом на кривой рода д, первый класс Чженя которых равен 1 ([Н вЂ”,'5] ). 2) 51ю является алгебраическим проективным многообразием ([М]). Атья н Ботт, призвав на помощь теорию Морса и уравнения Янга — Миллса, заново получили результаты Ньюстеда и вычислили целочисленные когомологии этих пространств модулей ([А — В]). Используя вид образующих, найденных Ньюстедом (теорема 1 из [6[] или 9.11 из [А — В] ), можно вывести следующую теорему.
6.1. Теорема Ньюетеда. Диффеоморфизм поверхности г+, индуКируюи(ий тождественное отображение в гомологиях г+, индуии- I рует тождественное отображение в гомологиях 1т 6.2. Замечание. Свойства ш) и !ч) из теоремы 1.1 доказываются непосредственно. Согласно схеме, приведенной в 2 4, свойство В) следует из формулы для Ао(К, Е), где (К, Б) — произвольное ограничивающее зацепление. Поэтому все результаты з 1 (разумеется, за исключением утверждения 1.!ч)!) можно получить„ не используя ничего, кроме этой формулы, которая доказы- л. марем вается элементарно (т. е.
без теоремы Ньюстеда и ее предположений), следующим вычислением 2( — 1) (ф, ссг)я„Ло(д, 1) = = ("с(йк (Ф)) 0г) (Йк (Ф) <Ю (Ьь (()с) Ю+ (Ф <Ы = =ЖКЯС), 7-С (Рг)) — (ГчгС ХЬ (СчСг)) ((ЬК(Г«ЧС) 1чСг) (Ф Ю) = =2счбк, Пь (Яг)) — 2(6к, Яг)= — 4(бк Ьь) (цикл Ьь определяется так же, как в 5.4). 7. кРАткий ОчеРк ГОмОлОГий ФлОеРА (см. (в]) Пусть лес — пространство связностей в главном тривиальном .Я-расслоении Р = Нм',5е над Ь-сферой Н.
Любая нетривиальная связность в этом расслоении неприводима и группа калибровочных преобразований У (=- С (Н, 5е)) действует на ,яг — 0 со стабилизаторами (~ 1); вне тривиального класса факторпространство М = .М/У является многообразием ([].гч], теорема 10.4) с фундаментальной группой л; (универсальным накрытием для М служит пространство,Ф вЂ” О/Уе, где Уе =(1: Н— — е. Зе] <]си(/) = О) Используя невырожденную билинейную форму Ь: й'(Н, Я)гс',й'(Н, Я) ]ч, Ь(х,-у)= ~ 1г(х А и) и тот факт, что касательное пространство к орбите У А совпападает с образом оператора йл.
йо(Н,О)-е-йс(Н,1с) (так как расслоение Р тривиально, то можно считать, что .яс — это аффинное пространство й'(Н, с',с)), отождествим касательное пространство к М в точке, отвечающей классу калибровочной эквивалентности связности А, с ядром оператора с(л, й'(Н, О)- -е- йг(Н, Я). Согласно тождеству Бьянки с]л(Рл) = О и кривизна определяет 1-форму на М. Эта форма является дифференциалом инварианта Чженя — Саймонса С5: М -с- Р/У ( [С вЂ” 8], 5 6 и [А — Р— $], П, с.
421 — 422). Следовательно, классы сопряженности плоских связностей суть не что иное, как критические точки функции СЗ. Предположим, что все критические точки невырожденны и что их конечное число (этого можнодобиться малым шевелением функции С5, поскольку в силу замечания, следующего за леммой 3.3, многообразие )с(пс(Н)) компактно). Флоер организовал эти точки в комплекс Виттена (см.
[Не], $3): он определил для каждой критической точки ее индекс сеоеый имеириамг для Гсехмермых еомояоеичесмия сфер 1ЕТ со значениями в с,/8с, и, кроме того, для свободного модуля С» порожденного критическими точками индекса с, построил граничный оператор 6: С; — Сс, «за счет» градиентных кривых, соединяющих две критические точки соседних индексов. Пусть []с — ранг группы НРс полученных таким образом гомологий. Флоер установил, что с-о а) Индексы. Оператор Ходжа определяет на М риманову метрику (, )=Ь(.,е.) (напомним, что согласно []л'], 10.4, касательное пространство к М в точке А отождествляется с ядром оператора Ьл= * ал ).
Значит, градиент функции С5 равен „Р, и, следовательно, гессиан С5 в какой-либо плоской связности А есть не что иное, как „с(л: ]сетбе — е-]сег Ьл. Оператор „йй самосопряжен и имеет дискретный спектр. Однако, поскольку этот спектр не ограничен ни снизу, ни сверху, мы не можем определить индекс критической точки А как в конечномерном случае. В то же время вариация индекса вдоль типичного пути Ас, соединяющего две критические точки, имеет смысл ([А— — Р— 8], 1П, 7): это алгебраическое число изменений знаков собственных значений семейства гессианов рг (]сег Ьл,) е * йл,, где рг(]сегбл,) — проекция иа подпространство ]сегбли В силу теоремы об индексе, примененной к многообразию Н.'г(5с (теорема 7,4 [А — Р— 8], 1П), получившийся таким образом спектральный поток вдоль замкнутого пути, представляющего взятую Ь раз образующую группы ис(М), равен 8Ь. Это позволило Флоеру определить индекс по модулю 8 критической точки, близкой к тривиальной связности, принимая во внимание знаки «трех маленьких собственных значений», которые вырождаются в нуль (т.
е. собственного значения кратности 3 оператора * ил,). Дальнейшие детали и, в частности, влияние на индексы изменения ориентации сферы Н, см. в обзоре [В], й 3. Ь) Граничный оператор: пространства связностей на градиентных кривых. Будем рассматривать градиентную кривую Ас, соединяюсцую две критические точки и и р соседних индексов как асимптотически плоскую связность А в тривиальном Зг-расас слоении на Н)ч', ]ч'. Кривизна связности А равна — — „Ас Л ис + + Рл и поэтому уравнение — А, = е Рл градиентных кривых с Ж А. Морен 188 (АЗР) гласно схемам ® и Е Мы имеем Н> (5*) = Н> (50) Ю 'хео 1 000...0> 0 0 Ко равносильно уравнению автодуальности для Пусть й'(а, р; !) — пространство модулей асимптотнчески плоских связностей А=(А>) в НХ>)ч с граничными значениями а и р, удовлетворяющими уравнению (АЗР) и такими, что спектральный поток Ае равен й Таубе доказал ( [Т2] ), что малым возмущением уравнения (АЗР) можно добиться того, что пространство .Х(а, [1; 1) будет ориентированным многообразием размерности Тс конечным числом связныхкомпонент.
При этом перенос вдоль градиентных кривых задает собственное свободное действие группы !ч'. Следовательно, факторпространство .е(е(а,р;1)/(ч представляет собой конечное число точек, снабженных знаками г = ~1. По определению сумма этих знаков есть коэффициент ннцидентности (а,б[1) граничного оператора 6: С; — С; >. Флоер показал, что, в то время как оператор 6 зависит от' возмущения уравнения (АЗР) (н, разумеется, от возмущения функционала Чженя — Саймонса С5), гомологии комплекса (Сь 6) зависят лишь от самой Ь-сферы Н.
ПРИЛОЖЕНИЕ. ПОЛИНОМ АЛЕКСАНДЕРА, ФОРМУЛА КОНВЕЯ И ИНВАРИАНТ РОБЕРТЕЛЛО Пусть 5 Х [ — 1, 1] — двусторонний воротник вокруг ориентированной поверхности 5, ограничивающей ориентированное зацепление Е в Ь-сфере Н, Формой Зейферта поверхности Зейферта 5 называется билинейная форма (т: Н> (5; х. ) Х Н> (5; .")-э-г„ сопоставляющая паре (х, у) число пересечения классов гомологий хХ 1 и у. Полинам ое1(йв)г — 1-че)е) зависит лишь от ориентированного зацепления Е; он называется нормализованным полиномом Александера и обозначается Аг(1). Заметим, что )г — '!l является формой пересечений поверхности.
Поэтому Аг(1) = 1, если Е состоит только из одной компоненты и Аг(1)=0 в противном случае. Для узла К полинам Александера Ак(1) не зависит ни от ориентации К, ни от ориентации Й-сферы Н и является симметричным (Ак(1-')=А»(!)). А.1, Лемма. Пусть К, Кв„К+ — три ориентированных зацепления, совпадающих вне шара В и пересекающих его согласно следующим схемам: Новый инваРиант длх трехмерных гомологических сфер 1ВВ Тогда имеет место формула Конвея Ак (!) — Ак (1) = (г'и — ! «') А» (1) Доказательство.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
