Труды семинара Бурбаки за 1988 г (947402), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Значит, мы получили Предложение (4.3). На 2'М есть расслоение спиноров, тогда и только тогда, когда рт(М) = О. Спинорное расслоение Л(Тм) на 2М автоматически будет модулем над клиффордовым расслоением Тем, так что можно определить формально оператор Дирака Я, действующий на сечениях Л, а также оператор Яг, действующий на сечениях Е Э Л для произвольного расслоения Е на 2'М. Предположим, что это все осмысленно, и применим механически теорему локализации (3.8) к вычислению индекса Яг для [Г-эквивариантного расслоения Е.
Неподвижные точки — это постоянные петли М«2'М, так, что (3.8) дает индекс Яе=п,"т((Е[М)Л (У )-') индекс 2)=ам 1с П 5 «(Тмс) т, ' .1«>о о 1 4. 4) (Обычно в Л(М„) включается множитель (бе1(9 д«Тмм)) которому нелегко придать смысл непосредственно. Это просто способ нормализации проективного представления. Так как бе1(Тм) тривиален, множитель можно интерпретировать просто как д-'~*~' мя«=д-чго!" ~ьом=дч о""м. При подстановке этого выражения в (4.4) последнее, как можно показать [28[, становится модулярной функцией для РБЕ«(л,), если рт(М) = = 0.) Слой нормального расслоения Ум в точке т ~ М вЂ” это .Ы'Тм, /Тм,, где Тм,~ — касательное пространство к М в т. Преобразование Фурье отождествляет Ум с ® у Тм, а Л !(Ум) с Л ! (©~ д Тм~~ =5(® 4 Тм) '.
Поэтому с!~ «ск л «сч-! «>о ) 'к«>о Кзк бы то ни было, в настоящий момент нас интересует не само Я, а Яд, т. е. Ж с коэффипиеитами в спинорном расслоении на,УМ. В конечномерном случае индекс этого оператора дает сигнатуру. Формула локализации дает индекс 2! =-пм(Л Тм) 7!А,«(Т';,!) 5 «(Т„=,)). Это выражение совпадает с универсальным эллиптическим родом, за исключением неинтересного множителя а(т)-" " (ср. (3.5) ). Для определения Ыд не обязательно располагать глобальным расслоением Л на 2)М. Достаточно иметь произведение ЛЭЛ, градуированное с помощью ЛЭЛ-, В коиечномериом случае Л (Е)Э Л(Е) — это просто Л (Е-), г грздуировка дается оператором -. Ходжа. Для его существования спинорная структура не нужна, хватает и ориентируемости.
Соответственно Ыд на ЫМ определяется (формально), если М спинорно, даже если р, (М) ~ О. Ниже я попробую придать некоторое обоснование использованию формулы локализации на 2'М, но сначала приведу объяснение Виттена жесткости эллиптического рода прп действии группы, Как мы знаем из 9 3, критическое место в этом рассуждении — продолжение Ф,(М)«с функции от т, е= Г до функции на торе С "/д при спйнорном М с действием Т. Для объяснения этого факта рассмотрим для каждого 7с ~ Г пространство подкрученных петель Г«М, состоящее из гладких отображений у: (к-ч-М со свойством т(8+ 2п) = Ау(8).
Мы предположим существованиесоответствующего семейства операторов Дирака Ыд,«. В то время как на ЫМ действует !ГХ'Г (вращениями петель и переносами их по М действием !Г), на подкрученном пространстве естественно действует тор Т« = Ро/2пА, где решетка Е«порождена (О, 1) и (1,— 1) при )о =е".
Характеры Тк образуют дискретное множество; каждый из них входит в индекс йлд,«с конечной кратностью. Гомотопическая инвариантность индекса позволяет надеяться, что кратность не должна зависеть от 1.. Но при обороте 7, вдоль !Г характер (д, !«) ьдо!«о тора Т;к', Т = Т! непрерывно переходит в (д, р) э уп" о!оо = ао (г7!«) ".
Поэтому Фо (М) и — — Фо (М) „, Идея введения оператора Дирака мотивирует определение эллиптического рода и объясняет его жесткость. Она не объясняет ни модулярности, ни роли И11(5!): в самом деле, Г!111(5!) действует на БУМ не изометриями, и уж определенно не коммутирует с Я. Для дальнейшего продвижения необходима уже конформная теория поля. !99 Эллиптическая когояология 198 Г. Сигал Один из подходов основан на функциональных интегралах. Напомним, что на конечномсрном многообразии индекс оператора Дирака — это суперслед оператора е' * при любом ! ) О.
Точнее говоря, В имеет степень 1 иа градуированном пространстве Г+9 à — спинорных полей. Значит, Вг — т. е. лапласиан— сохраняет градуировку и отрицательно полуопределен. Супер- след определяется как 3!Г(еом) = !Г(егю']Г+) — !Г(его*!Г ), след, а также суперслед, е'о' может вычисляться как интеграл по 2'М, хоть это и долгая история (]б], [8]). Если на М действует группа 6, то характернозначный индекс В дается в д ен 6 соответствующим интегралом по подкрученному пространству петель Ы М, упомянутому выше. Оптимисты хотят верить, что аналогичные рассуждения применимы к оператору Дирака Я на,ТМ.
Тут индекс должен быть интегралом по 2'ЫМ, т. е. по пространству отображений тора в М, аналогичным образом рассматривается и эквивариаитный индекс. Этим в общих чертах объясняется тот факт, что эллиптический род М есть модулярная форма, т. е. функция тора. Как бы то ин было математическое исследование теории с помощью функционального интегрирования кажется в настоящий момент вне пределов достигаемости, так что далее по этому пути я следовать не буду. Главная трудность при определении настоящего оператора Дирака Ы на 2'М вЂ” это выбор подходящего гильбертова пространства Я спинорных полей, на котором бы он действовал. Однако конформная теория поля предсказывает существование богатой структуры на пространстве ля, совершенно неожиданное для приземленного математического глаза. В хороших случаях естественное (проективное) действие РШ (5') на,Ж должно естественно расширяться до унитарного проективного действия РШ(5')Х РШ(5') (= РЛ!гХ РЛ!я), причем геометрическое РЛЛ(5') лежит в этом произведении диагонально.
Это приводит 'к сильным математическим упрощениям: во-первых, естественное действие группы ГЛЛ(5') на Я не соответствует ии положительной, ни отрицательной энергии, в то время как РЛ!с и Р!Пя действуют, соответственно с положительной и отрицательной энергиями. Более того, аэ' =Зб+9М суперсимметрично относительно действия Р1Пя в следующем смысле: напомним сперва (]18]), что алгебра Ли Чес!(5') группы РШ(5') — это четная часть супералгебры Ли, нечетная часть которой — это пространство Й ьа(5') гладких ( — '/т)-плоскостей на 51 (естественное поточечиое произведение двух элементов (е-'си в векторное поле). Фраза о суперсимметричности Я при действии РШя означает, что действие алгебры Ли этой группы включается как четная часть в действие супералгебры на Уи-градуированном пространстве оя!.
Значит, если В: аэ' — -ч-оэк — действие поля сс = сг(6) с(йцз, то В'„— действие на Ж векторного поля кг(8)гс(/с!8 с: Чес!я. Оператор Дирака — это просто .В при сг = = с(8 — нг. Поэтому он коммутирует с РЛ!и или с геометрическим действием Р!Л(5') на Ж. Существование М для общего многообразия М является проблематичным. Однако возможно построить хорошее приближение к этому пространству с правильными формальными свойствами, если ограничиться рассмотрением нормального расслоения Уле многообразия М в ЯМ.
Мы уже отметили, что слой нормального расслоения — это У'=2'1чп/Рп, так что рассмотрим сначала оператор Дирака на У. Мы можем определить гильбертово пространство Ег(У) функций, суммируемых с квадратом на У, задав, что оно содержит все функции вида о ! (о) е-'ь" ""', где А = ( — (с!/с(8)') ~, а !' — полипом на У. Можно поступить лучше и использовать с(/г(8 для поляризации пространства У, получив Ус= ИГ®ЯГ н рассмотрев два бозонных пространства Фока 5(Ю) и 5((г'), каждое из которых — унитарное представление РШ(5') (ср.
(22]). Теперь группа Гейзенберга (]20], с. 188) пространства У действует унитарно иа 5(15') операторзмн (О!) , удовлетворяющими соотношению Вейля (/ (/ егзн, и>(/! !и= ' !ч где 5(/, д) = ~ (!, с(д). Матричные элементы этого действия отождествляют 5()У)Э5((й) с пространством функций на У, которое и совпадает с Еэ(У). Это показывает, что Р)П(5') действуют унитарно на Ез(У), а также то, что это действие распространяется на РЛ!г Х РЛ!и.
Для того чтобы разобраться с оператором Дирака на У, заметим сначала, что при У1 — — ь)цг(5', Ип) пространство У 9 У1— это градуированный модуль для супералгебры Ли Чес!(5')9 9!е — '/'(5'). При этом элемент со~Я-'г' отображает У, в умножением на со, а У в У1 как /г-~сос(Е Косая форма 5 на У согласуется с естественной симметрической формой на Уь что определяет «суперкосую» форму на У9 Уь инвариантную относительно действия Уес! 9 йе 1гг. Поэтому У9 У, обладает алгеброй Вейля/Клиффорда А (У) 9 С(У1) с естественным неприводимым модулем 5(Я!т)ЭЛ(Ф',), где Уь с=У',!1-!)У1 — поляризация Уь Значит, супералгебра Чес(9 йг-цг действует на 5(Ф')Э Э Л((У,).
Г. Сигал 201 Эллиптическая когомологоя Получая (4.4), мы выбрали Л(Гго(5', Р»)) =Л((гг) в качестве слоя спинорного расслоения на ЫМ, но теперь должно быть ясно, что правильный слой — это Л(»гпг(5', Р»))=Л((уг,), Мы обращаем внимание читателя на то, что эти пространства не изоморфны своим комплексно сопряженным.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
