Труды семинара Бурбаки за 1988 г (947402), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Простейший пример — это спинорное расслоение на !~Х, которое можно определить, если Х— спинорное многообразие с р! =О. Я не могу привести об эллиптических объектах никаких точных утверждений, но, как мне кажется, объекты каждого уровня должны приводить к интересным теориям когомологий, причем теории для разных уровней должны быть связаны «отображениями Ботта». Это согласовывалось бы с теоремой (5.3), так как точно так же, как элементы К(В6) связаны с плоскими расслоениями, элементы В[1*(ВО) кажутся связанными с плоскимн эллиптическими объектами, т. е.
такими, что оператор, ассоциированный с (д,сг,о), зависит только от класса гомотопин о и, следовательно, определяет гомоморфизм п,(л.) — ~-6. Мне следует отметить, что категорию (й можно модифицировать так, чтобы римановы поверхности д были снабжены спинорной структурой. Это определенно необходимо для конструкции настоящих эллиптических когомологий. Наконец, вернемся к «свойству стягиваемости».
Оно мотивируется точкой зрения интегралов по путям. Если поверхность Х вЂ” морфизм из 5 в себя, то след ассоциированного с Х оператора Е(Е); Е(5)-+-Е(5) должен зависеть только от замкнутой поверхности Й, полученной прн склеивании двух кусков границы д между собой. В этом случае, если л,„ — кольцо (зев (:,г (егт)()з[(1), то Х, = 2„при т'= — 1/г, поэтому след Е(Х,) инвариантен при т -э- — 1/т. Аналогичный подход к эллиптическим когомологиям предложен Брылинскнм в [9). Постскриптум.
После окончания этого доклада я узнал о работе [29), дающей хорошее описание оператора Дирака на пространстве петель с позиций интегралов по путям. Эллиптическая когояология ЛИТЕРАТУРА Большая часть того, что известно об эллиптических когомологиях, собрана в книге 1. Ргосеей!пдь о( Соп1егепсе оп Е1йрйс Сигчез апй Мойийг Гоппв (п А1- деЬга!с Торо1оду. Рбпсе1оп.
Бер1ешЬег 1986. Ьес1иге (Чо1ев ш Ма(Ь., Брппдег Чег!ад (в печати). 2. Айашз Л. Г. Ош!!епв чгогх оп 1оппа! дгоирв апй сошр(ех соЬогшьш. 1п: 81аЫе Ьошо1ору апй депега1ьгей Ьопю!оду. СЫсадо Ьес1игеь !и Машегпайсв Оп!ч. о( СЫсадо Ргеьь, 1974. 3. А1!уаЬ М. Г. СЬагас1егь апй сойошо1оду о( йпйе дгоирз. РиЫ. Маш. !НЕБ, Уо1. 9 (1961), р. 23 — 64. 4. Айуай М, Г. К-1Ьеогу. Веп)аш!п, Г967. [Имеется перевод: Атья М, Лекции по К-теории. — М., Мир: 1967.) 5. АйуаЬ М.
Г. С(гси!аг вупппе1гу апй Ыайопагу рЬаве арргох!гпайоп. !п: Ргосеегйпдв о( Соп(егепсе !п Ьопоиг о( (.. Бсьгчаг1г. Аз1епвиие, чо1. 131, 1985, р. 43 — 59. 6. А11уаЬ М. Г., Вой )1., Ра1огй Н. К. Оп Ше Ьеа1 еяиа1!оп апй йк !пйех Шеогеш. !пчеп1, Маш. 19 (1973), р. 279 — 330. [Имеется перевод: Атья М., Ботт Р., Патоди В. К. Уравнение теплопроводности и теорема об индексе.
— Математика (сб. перев.). — 1973. — Т. 17, вып. 5. — С. 3— 56.[ 7. АйуаЬ М. Г., Беда! б. В. 1пйех о1 е!йргк орега(огв П. Апп. Л!а(Ь., 8! (1968), р. 531 — 541. [Имеется перевод: Атья М, Сигал Дж. Б. Индекс эллиптических операторов. — УМН. — 1968. — Т. 23, вып. б. — С. 135 — 149.) 8. В!япшг Л. М. 1.осайгайоп 1огпш1аь, вирегсоппесйопв, апй Ше !пйех Шеогеш (ог 1апийеь. Сонин. Ма%. РЬуь.. 103 (1986); р. 127 — 166.
9. Вгу1швм Л. Ь. йергезеп1айопз о1 !оор дгоирв. О!гас орега1огв оп !оор врасе, апй шойи1аг 1оппв. То арреаг. 10, Сорьоп Е Т. ТЬеогу о( Шпс1юпь о( а сошр1ех чаг!аЫе. Ох1огй 1)пис , Ргеьь, 1935. 11. Вуег Е. СоЬопю!оду Шеонев. Веп!аш!п, 1969. 12. бе1г!ег Е., Лопев Л. 1), Б. апй Ре1гас)г Б. В. Ьоор ьрасев, сусйс соЬошо1оду, апй Ше СЬегп сЬагас1ег. 1и: Ргос. Лош1 (78 — ()К Беш1паг оп Орега1ог А)деЬгаз. йгагь!с)г, 1987. Ьопйоп Маш. Бос.
Ьес1иге Но1ев, 1988. 13. боойж!!йе Т. б. Сусйс Ьошо!оду, йеычайопв, апй Фе (гее 1оор ьрасе. Торо!оду, 24 (1985), р. 187 — 215. 14. НорЫпв М. Л., КиЬп Н. Л. апй мачепе! В. С. Сошр!ех онеп1ей соЬопю!оду о1 с!аььйу(пд врасеь. То арреаг.. 15. Кириллов А. А. Орбиты группы диффеоморфиэмов окружности и локальные супералгебры Ли. — Функцион, анализ и его прил., —. 1981.— Т. 15, вып. 2. — С. 75 — 76. 16. ЬапйгчеЬег Р. Б. Ноша(одйса! ргорегйеь о1 сопюйшев очес М()чМ(! апй ВРчВР. Ашег. Л. Май., 98 (1976), р, 591 — 610. 17. ЬапйтчеЬег Р. Б., мачепе! В. С. апй 8(опд и. Е.
Реношс соЬошо1оду Шеог!ев йе(!гей Ьу еШр1!с сигчеь. То арреаг. 18. Миног Л. Г. апй 8(азйеП Л. О. СЬагас1ег1мк с)аваев. Аппа1ь о( Маш. 81ий1ез 76, Рг!псе1оп, 1974. [Имеется перевод: Милнор Дж,, Сташеф Дж. Характеристические классы. — М., Мир: 1979.) 19. Осйап!пе Б. Бит 1ев депгев ши)(гриса(1(в йег()п!в раг йев (пмдга!ез еШр. 1!чиев. То1о)оду, 26 (1987), р. 187 — 215. 20. Ргезь)еу А.
пей Беда! б. Есор бгоирь. Ох1огй ()п!ч. Ргеьь, 1986. 21. йачепе! В. С. Сошр!ех соЬогй!ып апй ь1аЫе Ьошо1ору дгоирв о1 зрЬегеь. Асайепис Ргевв, 1986. Г. Сжал П. Арну © перевод иа русский язык, Л. А. Бунимович, 1990 22. Б . Бек!1 С. В. 1)пйгу гергезеп(апопз о1 зоше !п1!п!(е йгпепьюпа( Втои з. Сопип. Ма(Ь. РЬуз., 80 (1981), р. 301 — 342.
23. Бека! Сг. В. Тье деппп!оп о1 соп(отша( !(е(6 йеогу. То а еаг. 24. Бетте й Р. Сопгз йабйппе1щпе. Ргеззез ()п!чегьИа1геь де Ргапсе, 1970. [Имеется перепад: Серр Ж.-П. Курс арифметики.— М„Мир: 1972.) (1989), Ео. 455 — 526. 25. ТапЬез С, Н. 51 аспопз ап6 е1!(р1!с Иепега. Сопки. Май. РЬ з., 122: 3 а . уз., 109 (1987), . 525 — 536. 26. %11!еп Е Е11!р1!с Еепега апд Чпап1шп Пе№ 1Ьеогу.
Сопки. Маис РЬ ь., 27. %1!(еп Е. Т1ге (паек о( йе Еигас орегпог оп !оор зрасе: 1п; (!).— Ргосеейпкз о1 Соп1егепсе оп Е!ирпс Сигчез ап6 Моби!аг Рогшз и1 А18еЬга!с Торо!оИу. Рг!псе1оп. Бер1ешЬег 1986. 1.ес1иге Ыо1еь !п Май., Б г1п. Вег Нег!ак (з печати). ез !п а ., рг1п. 28. 2а . 2ап!ег 11. А пйе оп йе Ьапйчеьег-3!пик е!ирпс Иепиь, 1п: (!). — РгосеейпИь о( Соп!егепсе оп Е!Ирпс Сигчез ап6 Моди(аг Рогшь 1п А1иеьга1с Торо!оиу. Рппсе1оп. Бер1ешЬег 1986.
1.ес!пге Ыо1еь 1и Ма1Ь., Б гшиег Уег!аи (а печати). е 1и а ., рг!и- ТИПИЧНОСТЬ ЭРГОДИЧНОСТИ ДЛЯ БИЛЛИАРДОВ В МНОГОУГОЛЬНИКАХ (по Керхофу, Мазуру, Смилли) й О. ВВЕДЕНИЕ ИСТОРИЯ ВОПРОСА, ФОРМУЛИРОВНА ТЕОРЕМЫ Пусть грг — поток на пространстве Х, а )з — инвариантная относительно него вероятностная мера. Говорят, что система (Х, грг, )г) эргодична, если для любого измеримого инвариантного относительно потока множества Е либо )з(Е)=0, либо р(Х— — Е) = О. Эквивалентное определение эргодичности состоит в . том, что для любой интегрируемой функции 1 на Х и для )г-почти т любой точки г ее Х предел выражения (/Т ~ 1(фг(а)) гг( существует о и равняется ~ Г !2)г (временнбе среднее равно пространственному среднему).
Рассмотрим на плоскости )чз область Р, ограниченную кусочно С'-гладкой кривой. Поток, отвечающий биллиарду в Р, порождается равномерным и прямолинейным движением точки внутри Р, упруго отражающейся от границы области. Более строго биллиард можно определить как геодезический поток на единичном касательном пучке к Р с отождествлением в касательной в любой точке границы плоскости симметричных относительно нее векторов. Этот поток обладает естественной инвариантной мерой, представляющей собой прямое произведение меры Лебега на Р и равномерной меры на единичной окружности. С этой системой связано несколько классических проблем, в том числе, много работ было посвящено изучению ее эргодических свойств.
Последние существенно зависят от формы границы. В частности, если граница строго выпукла (т. е. ее кривизна во всех точках строго положительна и имеет гладкость Агпопх Р!егге. Егиоб!с!14 84пег!чие 6еь Ь~11(агйь ро!уиопаих (йарг4з Кегс1гоН, Мазпг, Бгп!ще). — Беш.
ВошЬаы, 1987 — 88, № 696, Аз1ег1ьяие 16!в 162, 1988, р. 203 — 221 П. Арну класса Сь, й ~ 6, то система не эргодична, поскольку в этом случае существует большое число каустик, что доказывается с помощью техники малых знаменателей (см. [16] и [7, гл. 1Ч], где рассмотрены выпуклые биллиарды общего вида).
Просто выпуклости для этого недостаточно — существуют примеры выпуклых, ио не строго выпуклых биллиардов (например, биллиард в области, имеющей форму стадиона), которые являются эргодическими, а также и К-системами (см. [5] ). С другой стороны, если граница выпукла внутрь области, или более точно, если она состоит из конечного числа кривых класса С', имеющих строго отрицательную кривизну и пересекающихся трансверсально, то, используя методы эргодической теории, можно показать, что соответствующий биллиард является К-системой и, в частности, имеет положительную энтропию (см.
[!8], [15] ). Промежуточный случай, когда граница имеет нулевую кривизну, т. е. биллиарды в многоугольниках, менее изучен. В частности, нет конкретного примера эргодического биллиарда в многоугольнике, и мы продемонстрируем первый результат, который дает возможность утверждать, что подобный пример должен существовать. До настоящего времени имелся единственный общий результат, который утверждал, что для любой точки х многоугольника Р и для почти каждого направления траектория, выходящая нз х, вдоль этого направления подходит как угодно близко к какой-либо вершине многоугольника. Отсюда вытекает, что траектория почти наверное определяется последовательностью сторон многоугольника, от которых она отражается при положитедьных временах и, следовательно, поток имеет нулевую энтропию (см.
[22], [4], [19]). Техника доказательства этого факта использует теорию римановых поверхностей. Таким образом, исследование упомянутых трех типов биллиардов требует привлечения существенно различных методов. Для биллиардов в многоугольниках важную роль играет подгруппа Г группы О(2), порожденная отражениями относительно его сторон. Действительно, направления последовательных отрезков, из которых состоит траектория, согласно определению биллиарда, совпадают с орбитой начального направления относительно действия Г. В частности, если Г конечна, то поток неэргодичен, поскольку каждая траектория состоит из отрезков, имеющих только конечное число направлений.
Это очевидно для биллиарда в прямоугольнике, где траектория имеет не более четырех направлений. Говорят, что многоугольник является Рациональным, если группа Г конечна. Поскольку многоугольник односвязен, то это эквивалентно соизмеримости с л всех углов многоугольника. Типичность эргодичности для биллиардов в многоугольниках 209 В случае биллиарда в рациональном многоугольнике единичный касательный пучок естественным образом распадается на инвариантные относительно потока поверхности, отвечающие орбитам направлений относительно действия Г. Легко доказать, что для всех, за исключением счетного числа орбит иа соответствующей поверхности, поток является минимальным.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
