Труды семинара Бурбаки за 1991 г (947404), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Пусть У вЂ” замкнутая подсхема в Х с носителем коразмерности > р, и пусть [У] Е ИР(Х) — ассоциированный цикл. Пусть также ду — единственный цоток Грина для Б(гКО1 с нулевой гармонической составляющей, такой, что ~И'дг + б(т)(О1 Е гьр'"(Хн) (см. предложение 2.1 (3)). По определению фдндаиенгаальньиЗ класс [У]л схемы У в СН" (Х) равен классу арифметического цикла ([У], дг) (см. [Ра2]).
Пусть 1. — линейное зрмитово расслоение над Х, такое, что форма сг(ТО) и ее степени гармоничны на Х(С) . Тогда можно определить высоту схемы У по отношению к Ж как Ьг(У) = г(едх([У]л. сг(Ь)Р) и обобщить тем самым на Е определение, данное в п. 2.4. Примеры (см. [686, 1]). (1) Снабдим проективное пространство Р~ = Рго) 2[Хе,..., Хи] формой Фубини-Штуди юрх и обозначим — и полученное многообразие Аракелова через Р . Обозначим также через Р» подсхему в Р~, заданную уравнениями Х =...=Х =б Равенства 'ге ~(п) = [(Х,О)] = п[Р~]А, 1 ~(п 9 Л) = п[Р~ Р]л + а(Лю~~л ), гк.ьг = бебр» задают изоморфизмы ': СНе(Р )~Е, гр. .СНР(Р ) ~2®В., если 1 <р<)У, г'к+г, .СН +"(Р ) й Н.
Кроме того, в обозначениях последней части п. 2.5, при й = О,..., АГ мы имеем [Р ]А =сгЩ1))~ ь — а(2(аи — ггь)м~ " ') (0 < й < Дг). Жзн-Бон з Бюст Эти соотношения вместе с равенствами (2.4.3), (2.4.4) и ы([Рь]л) = м-ь — к ы полностью задают мультипликативную структуру в СН'(Р ) . (2) В более общем случае пусть Х вЂ” грассманиан над В, и пусть К вЂ” числовое поле. Тогда кольца СН'(Х), СН'(Хц) и Н*(Х(С), 2) канонически изоморфны: все они совпадают с кольцом срезанных многочленов от классов Чженя тавтологического расслоения над Х.
Обозначим его через М'(Х) . Пространство Х(С) обладает естественной структурой эрмитова симметрического пространства. Это позволяет определить и на Х, и на Хо„:= Х ооз Ярес Ок структуру многообрззкя Аракелова, и мы имеем изоморфизм градуированных збелевых групп СН*(Хо„) и М'(Х) ® СН (прес Ок) . 3. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ КЛАССЫ 3.1. Классы Ботта-с1женя. Пусть У вЂ” (гладкое) комплексно- аналитическое многообразие.
Пусть Е = (Е, Ь) — любое зрмитово векторное расслоение над У; тогда на Е существует единственная унитарная связность с7Л, такая, что ее антиголоморфнзл составляющая (7 ' совпадает с оператором Коши-Римана дй на расслоении од Е (см. [ВС, Ргор. 3.2] или [ОН, 1лпппа р. 73]). Обозначим через Кв кривизну 17Л~ этой связности; зта кривизна — (1, 1)-форма на И со значениями в расслоении Епб(Е) зндоморфиэмов расслоения Е.
Пусть <р Б С1[[Т1,..., То]] — симметрический формальный ряд от и переменных, и пусть оо ° — его однородная компонента степени (й) й для каждого й ) О. Обозначим через у<И такую единственную полиномиальную функцию на множестве комплексных п х п-матриц, которая инвариантна относительно сопряжения и равна в случае, когда М вЂ” диагональная матрица с диагональными коэффициентами Л1,..., Л„. В более общей ситуации для каждой коммутативной 14-алгебры А это полиномиальное отображение «продолжаетсяе до отображения р(И: М„(А) -о А .
Рассмотрим эрмитово векторное расслоение Й ранга п над У. Отождествляя локально Епс)(Е) с М„(С) при помощи какого-либо АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ПЕРЕСЕЧЕНИЙ 55 С -базиса в Е и применяя изложенное вьппе рассуждение к алгебре дифференциальных форм четной степени на Ъ', положим Фэ):= с'т~ ~ ( — — 'кь) е щА" (т). ь>о 2кт' ь>о Обозначим через с,(Е)(Е Нзт(У; Е)) т-й класс Чженя Е, а через гтг обозначим т-ю элементарную симметрическую функцию от Тт,..., Т„. По теории Чженя — Вейля ут(Е) — замкнутая форма, и, кроме того, если то = ттт(от,..., о„) для какого-либо тр Е ЕЕ[[Хт,..., Х„]], то класс когомологий де Рама формы ьо(Е) совпадает с характеристическим классом то(ЭЬ..., .ЭЭО Р от и те ~«; О)( С Щ Э те(т; Щ) .
ь>о ь>о В частности, класс когомологий формы р(Е) не зависит от метрики Ь. Более общим образом, пусть Е: О -+ 5 -+ Е -т Ч вЂ” т Π— короткая точная последовательность эрмитовых векторных расслоений над Ъ', т.е. набор из трех зрмитовых векторных расслоений Я, Е и (~ над 1т и короткой точной последовательности голоморфных векторных расслоений О -+ Я -т Е -+ Я -+ О, связывающей подлежащие расслоения, и пусть прн этом Š— расслоение ранга и. Тогда дифференциальные формы ьо(Я йт Я) и ут(Е) 1гогомологичны. Ботт и Чжень в своих работах по теории Неванлинны показали, что они на самом деле отличаются на форму из образа оператора ай' (см.
[ВС]). Более точно, можно доказать следующую теорему ([ВСВ1, Тттеогетп 1.2.9], [С66]; см. также [По]): Теорема 3.1. Пусть ьэ Е ьг[[Тт,...,Т„]] — симметпрический формальный рлд. Каждой коротпкой пючной последоватпельностпи Е: О -ь Е -т Е ь те ~ О эрмитповыя вектпорныз расслоений над комплексно-аналитпическим многообразием 1т, тпакой, чтпо гкЕ = и, можно сопостпавить, причем единственным образом, форму у(У) Е А(Ъ') тпак, чтпо (!) ййьу(Е) = ч,байт О) -~р(Е); (Н) длл каждого голоморфного отпображенил у: И' -ч 1т комплексно-аналиптическиз многообразий трУ" (б)) = 1'(Р(б)); Жан-Бспув Бост (ш) если Е расщепляется, т.е. имеет вид О -+ Б -'+ Я Е ф -"+ 71~ -+ О, еде 1(х) = к Е О, р(х Ю у) = уу то <р(Я) = О.
Опишем конструкцию класса у. Пусть су(1) — линейное расслоение степени 1 над Р'(С), пусть а — голоморфное сечение расслоения б(1) с единственным нулем в бесконечности, и пусть рс и рз — проекции многообразия Х х Рс(С) соответственно на Х и на Рь(С) . Обозначим также через Б, Е, ц и б(1) расслоения р,'Б, р~Е, рЯ и рзО(1) над Х х Р'(С). Рассмотрим расслоение Б(1) = БЭ О(1) и морфизм ЫЭс: Я-+ Я(1) на Х х Рг(С). Морфизм 1Ю(Ы®а): Б -+ ЕЮ Б(1) инъективен, и можно рассмотреть факторрасслоение Е = ЕВБ(1) (Б.
Ядро. проекции Е -+ Е(Б = 1',1 отождествляется с Б(1), и короткая точная иоследоватеяьность О -+ Я(1) -+ Е -+ Я -+ О, будучи ограничена на Х х (оо), отождествляется с О -+ Б -+ Я Э Я -+ б) -+ О. Пусть й — такая зрмитова метрика на Е, что изоморфизмы Е!хх(в1 ~ Е и Е~лх(,с) -и.Я® 9 являются изометриями. Из уравнения Пуанкаре-Лелона легко вывести, что у(Е):= — у(Е, Ь) 1об 14 лю удовлетворяет условиям (1), (й) и (ш). Помимо симметрических функций с; = а;(Ты ...,Т„) эта конструкция применима к полному классу Чженя с = ~ схвс;, к характеру Чженя сй(Ты..., Т„) = ~~~ ет' АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ПЕРЕСЕЧЕНИЙ 57 и к классу Тодда Тд(ть,,т„) =П, 1=1 3.2.
Арифметические характеристические классы. Следующая теорема — главный результат работы [СБ6, 1]. Она показывает, что для эрмитовых векторных 'расслоений над арифметическими многообразиями существует теория характеристических классов, совместимая и с теорией характеристических классов на схемах (см. [В1, СВ4]), и с теорией.Чженя-Вейля.
Это позволяет перенести конструкции и. 2.3 на эрмитовы расслоения ранга > 1. Теорема 3.2. Каждому эрмитову векторному расслоению Е ранга п над арифметическим многообразием Х и каждому симметрическому Ряду У Е С)[[Т1,..., Тя]] можно поставить в соответствие характеристический класс ДЕ) так, что выполнены следующие условия: 1. Функториальность. Пусть у: 1' -ь Х вЂ” морфизм арифмети- ' ческих многообразие, и пусть Š— эрмитово векторное расслоение над Х; тогда у*(~р(Е)) = Ду'(Е)) . 11. Нормализация.
Если Š— орпюгональнол прл ная сумма линеаных расслоений Гю..., 1„, то ДЕ) = ~а(с1 (Ь1),..., с1(Е„)) . 111. Тензорное произведение с линейным расслоением. Положим р(т, +т,...,т„+т) =~ рь(т„...,т„)т*'. ь>0 Пусть Й (гоств. Т) — эрмитово векторное расслоение (соотг. линейное эрмитово расслоение) над Х; тогда ДЕ ЭХ) = ~~~ Д(Е)с1(Ь)'.
1у. Совместимость с характеристическими классами. Пусть ю яь(о1, . оя) где Ф Е Се[[хю..., х„]]; тогда длл каждого эрмипюва векторного расслоения Е над Х имеем ыфр(Е)) = у(ЕО) в ® Ааг(Хя) (1У.а) р>о ЯДЕ)) = ф(с1(Е),..., с„(Е)) в СН'(Х)о. (1Ъ'.Ь) Жьн-Бе ь Боот Ч. Совместимость с короткими точными последовательностями. Длл казсдой короткой точной последовательности Е: О -+ Я -ь Е -+ 9 -+ О эрмитовых векторных расслоений над Х имеем ДЯ Е ь)) — ю(Е) = а(у(У)).
Более того, свойства (1), (П), (?П) и (И.а) однозначно задают это соответствие. Для доказательства этой теоремы используетсе вычисление арифметических групп Чжоу грассманианов (см, п. 2.5) и выводимый из него принцип расщепления (см. «СЗб, з з 3, 4]). Читатель может также обратиться к работам [Е1, Е2], в которых приведена конструкция, основанная на изучении расслоения на проективиые пространства Рн.
Итак, в арифметической ситуации мы располагаем классами Чженя ср(Е) и с(Е) = ',> , '>„с (Е), характером Чженя сЬ(Е) н классом Тодда Тй(Е) . Они удовлетворяют обычным тождествам (см. [086, 1, ТЬеогеп1 4.8; з4.9]): Теорема 3.3. Пусть Е и Р— два эрмитовмх векторных расслоения над арифметическим многообразием Х; тогда с(ЕВ7) =с(Е)сЯ, сЬ(ЕВР) =сЬ(Е)+сЬ(Р), Тй(Е го Г) = То(Е)ТО(Г), сЬ(Е 8 Р) = сЬ(Е) сЬ(Р), сЬ (Е) = с1(Е) = с1(де4Е)(Б СН (Х)). Кроме того, если р ) гбЯ, то с (Е) = О. Пример. Пусть |,> — универсальное фвкторрасслоение над Р~~ . Это расслоение ранга М; снабдим его эрмитовой метрикой так, чтобы отображение Орн?о1 гр См+1 -+ Яо было дяя обычной эрмитовой метрики на С"+1 частичной иэометрней.
Тогда с (Я) = [Рк Р]в+а(2(ок — ар 1 — ок-р)юД ) = с1(б(1))Р— а(2ор 1юг~~~) . 3.3. К-теорие. Пусть 'Х вЂ” арифметическое многообразие. Обозначим через Ко(Х) вбелеву группу, порожденную парами (Е,О), состоящими из эрмитова векторного расслоения Е над Х и элемента и й А(Хн), со следующими соотношениями: для любых АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ПЕРЕСЕЧЕНИЙ С, и Е А(хн) и любой короткой точной последовательности эрмитовых расслоений над Х У: О -+ 5 -т Е -т С -+ О мы требуем, чтобы (д, С) Е(С,п) = (Е, С+ и+сЬ(Е)). 11туппу Ко(Х) можно описать с помощью регулятора Бейлинсона (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
