Труды семинара Бурбаки за 1991 г (947404), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Жаи-Клод Сияорае 96 точных дифференциальных 1-форм). В этом случае кольцом коэффициентов соответствующего комплекса является подходящее пополнение кольца лорановских многочленов о [с, 1 '] (учитывающее различные поднятия критических точек в накрытие, заданное интегрированием этих 1-форм). Изложение Виттена открыло путь к обобщению этого комплекса аТома — Смейла — Виттенаэ на бесконечномерный случай для функционалов, критические точки которых имеют бесконечные индекс и коиндекс. Это и сделая Флер'э в 1986 — 87 гг. в двух интересных частных случаях: для функционала площадей (или деиствия) в симплектической геометрии [г2], который мы кратко обсудим в равд.
6 (хотя этот функционал заслуживает гораздо большего внимания), и для функционала Чженя-Саймонса, который дает начало виспэаивэоииым гомологплм [РЗ], наложению которых, в сущности, и посвящена статья. В обоих случаях индексы критических точек определяются с помощью разностной конструкции (грубо говоря, как разность еиндексовэ двух точек) с использованием понятия спекшрального поварка из работы [АРВ 1Щ. Отличие от конечномерного случая состоит в том, что разности зависят от гомотопического класса пути между двумя критическими точками (см. пп. 1.5 и 6.1).
Отсюда следует, что для функционала Чженя — Саймонса, который по существу принимает значения в У, рассматриваемый комплекс определен над л (в отличие от гомологий Новикова), но имеет 2/82-градуировку. Наверное, наиболее интересным моментом теории является интерпретация градиентных линий. Для функционала Чженя-Саймонса градиентные линии интерпретируются как автодуальные связности (по модулю калибровок) на произведении Н.х М (см.
п. 1.4). Градиентная ливия соединяет две критические точки, если ассоциированная с ней связность является асимптотически плоской. Функционал энергии — зто фУнкционал Янга — Миллса: Е(А) = ]„„м ]Р(А)[а. Напомним, что соответствующее уравнение автодуальности, рассматриваемое на четырехмерных замкнутых многообразиях И'4, составляет основу работ Дональдсона [01-ВЗ].
Его изучение на открытых многообразиях начато Таубсом [Та1]. Именно такое обобщение уравнения градиентных линий наделяет инстантонные гомологии интересными свойствами, а именно свонствами этопологической квантовой теории поляэ размерности (3+ 1); см'. [А11, А$2, %(2]. ПИиогда используется траискрипиия <Флоерэ. — Прим. иерее. ГОМОЛОГИИ, АССОЦИИРОВАННЫЕ С ФУНКЦИОНАЛОМ 97 В симплектическом случае уравнения градиентных линий интерпретируются как уравнения псевдоголоморфных кривых в смысле М.
Громова [Сг] (см. и. 6.1). Мы ограничимся здесь изложением нескольких результатов указанной теории и дадим идеи доказательств. Основной опубликованной работой, на которую мы ссылаемся, остается статья [РЗ], но мы использовали также препринты Джонса-Роунсли — Саламана [ЖВ] и Фукайи [Рп]. Заметим, что перечисленные работы дают обобщение результатов Флера на произвольные трехмерные многообразия. 1. ФУНКЦИОНАЛ ЧЖЕНЯ-САЙМОНСА 1.1. Связности и действие калибровочной группы [Г11, 11К]. Пусть М вЂ” многообразие и Р -~ М вЂ” главное О-расслоение, где Π— некоторая группа Ли. Пространство связностей А(Р) на расслоении Р является аффинным пространством, отвечающим пространству форм Й'(М, аб(Р)).
Пространство Й'(М, ад(Р)) дифференциальных форм со значениями в присоединенном векторном расслоении зг)(Р) обозначим через Й',в(М) или просто Й',в, если это не может привести к недоразумению. Связность а задает ковариантную производную б,: Й',в -+ Й',в . Композиция коварнантных производных а' о 4, является умножением (нспользуется умножение-скобка в алгебре Ли) на кривизну свлзносгаи Р(а) Е Й~д.
Группа автоморфизмов главного расслоения Р, т.е. калибровочная группа, обозначается через й(Р) . Она естественно действует на пространстве связностей А(Р) . Ее алгебра Ли отождествляется с Йов, и дифференциал действия а -+ д.а совпадает с ковариантной производной с(, на Й~~в (рассматривается правое действие).
Обозначим через Б(Р) = А(РМ)]й(Р) фактор по действию калибровочной группы: он является отделимым пространством и многообразием вблизи неприводимых свяэностей. Касательным пространством ТИ)Б'(М) является Й,'в/пп4,. Пусть о — риманова метрика на М. Используя естественное скалярное произведение на алгебре Ли ви(2), можно определить оператор Ходжа *в: Йвв -+ 11 ~ н В -сопряженнын оператор ~1в — — *до*, что позволяет произвести отождествление Т(,)Б" (М) = 1сегд' С Й,'в Расслоение Р чаще всего является тривиальным.
Выбор тривиализации позволяет отождествить А(Р) с Й'(М, д), где д есть алгебра Лн группы Ли С, а дифференциал принимает вид п,ю = Им + [а, ы]. Группа ЯР) = м(М) состоит из отображений многообразия М в С Жан-Клод Ськорав и действует на А(Р) = А(М) по формуле д.а = д 'Нд + д гад. Кроме того, мы предполагаем, что С = 5У(2) или 50(З), а тогда Справедливы следующие эквивалентные утверждения: связность а неприводима 4=» 0 = л(0) (где Д~ = (д Е Д(М) (д.
а = а) является группой изотропии и 5(С) — центр группы С) ч=» )сег(д,) = О. Замечание. Чтобы многообразия были банаховыми и можно было применять теорему о неявных функциях, следует работать с пространствами Соболева. Например, можно считать, что А(Р) состоит из форм класса г'.»г (первая производная принадлежит 1Р) и Я(Р) состоит из отображений класса Ц, где р > — 'бппМ, чтобы отображения из Я(Р) были непрерывны. В рззд. 2 нам придется взять р > бип М, чтобы А(Р) состояло из непрерывных отображений.
1.2. Функционал х1женя-Саймонса [СЯ, АРЗ). Предположим теперь, что М является ориентируемым трехмерным замкнутым многообразием и С = 5У(2) . В этом случае кривизна определяет 1-форму на А(М): а(а) . н = Д~ Гг(г'(а) Л и) . Эта форма является замкнутой, тек как йг(и,и) = Д, Гг(г( (иЛе)) = ) Н(сг(иЛе)) = О. Поскольку А(М) является векторным пространством, для нее существует предпочтительная первообрззная, которая по определению является функНноналол ззкекя-Сабмонса. Если расслоение тривиально, то, используя формулу для кривизны, получаем /1 1 С5(а) = $г ~ — а Л Иа + — а Л а Л а ,/,д ~,2 3 Используя формулу Стокса, можно получить первоначальное определение функционала Чженя — Саймонса, восходящее к теории вторичных характеристических классов: С5(а) = — / Гг(Р(А) Л Г(А)), 1 2 мхг где А е й~а(М х 1), причем А)М х (О) = О и А(М х (1) = а.
Кривизна, будучи эквивариантной относительно действия калибровочной группы, опускается до замкнутой 1-формы на пространстве В(М) . Она не является, вообще говоря, точной формой. Более определенно, рассмотрим подходящее расслоение над М х 5г; тогда интегрирование формы згт Фг(Г(А) Л Р(А)) дает второй класс Чженя, что приводит к формуле для действия калибровочной группы С5(д. а) = С5(а) + 4я~ г(ея(д) Следовательно, если об~значить через Де(М) компоненту связности ГОМОЛОГИИ, АССОЦИИРОВАННЫЕ С ФУНКЦИОНАЛОМ 99 единицы в ЯМ), образованную автоморфизмами степени О, и положить Б(М) = А(М)/Дг(М), то получим коммутативную диаграмму Б(М) — ~ В.
1 В(М) + К/4лзЕ Замечание. Пространства В(М) и Б'(М) имеют слабый гомотопический тип классифицирующего пространства В(6(М)/(х Ы)); следовательно, л~В(М) = ле(й(М)/(ж1)) = Е, где последний изоморфизм определяется степенью отображения, и В(М) — универсальное накрытие пространства В(М) . 1.3. Критические точки.
Как следует нз определения, критическими точками функционала Чженя-Саймонса СЯ на пространстве связностей А(М) являются плоские связности. Взятие голономии связности дает каноническое отождествление пространства плоских связностей, рассматриваемых по модулю калибровочных преобразований, и пространства Я(М) = Нощ(л~М, ЯУ(2))/(сопряжение). Последнее пространство изучалось многими авторами, в частности, оно фигурирует в определении инварианта Кассона [АМ, Ма]. Заметим, что это пространство является компактным, так как группа л~М имеет конечный тнп. Отметим также, что точки из Н" (М) — не- приводимые плоские связности, а это эквивалентно неприводимости соответствующих представлений голономии. 1.4. Градиентные линии.
Если многообразие М наделено рима- новой метрикой и, '4о можно рассмотреть форму в г'(а) е П~~(М) как ьз-градиента функционала Чженя-Саймонса на А(М) . Переходя к фактору, получим сечение у,СЯ: Б*(М) + ТБ'(М), где ТВ'(М) — подходящее пополнение касательного расслоения. Пусть 1-~ а(1) — путь в А(М). Пусть А — связность (а(1)) Е П,'„~(Н х М) (А рассматриваетсл во временнбй калибровке, т.е. не содержит члена й); ее кривизна имеет вид Г(А) = (г (а($) )) + да/дг А й . Отсюда вытекает, что уравнение нисходящих градиентных линий да/д1+ в г'(а($)) = О эквивалентно уравнению вешодуальиоств г (А) = — (Р(А) — *Р(А)) = О, 1 2 100 Жал-Клод Сидоров где А есть связность (а(1)) 0 й',д(В х М), а метрика является произведением Ю«х с.
Заметим, что любая связность на В. х М эквивалентна по модулю действия группы Д(В х М) связности А = 1а(1)1 без члена й, т.е. во временнбй калибровке. Предположим, что связность А имеет вид [а(1)) + (6(1) Л ссг) . Тогда чтобы найти требуемое калибровочное преобразование, достаточно решить обыкновенное дифференциальное уравнение д сдд/дг+ д 'Ьд = О. Это доказывает в действительности, что имеют место следующие естественные отождествления: В(В х М) = А(В. х М)/Я(В х М) = С' (В.,А(М))/Д(М). А Еог«1ог1 элемент из В(В х М) определяет путь в В(М) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
