Труды семинара Бурбаки за 1991 г (947404), страница 21
Текст из файла (страница 21)
е. оии порождаютсв двобствеиными комплексами. Значит, имеет место спаривание 1,(М) 8 1в- (М) -+ Е (Эта двойственность не совпадает с двойственностью Пуанкаре, но совпадает с двойственностью, отвечающей форме Киллинга на ВУ(2) .) В оставшейся части данного раздела мы дадим ряд указаний по доказательству теоремы 1. 3.2. Свойство быть многообразием. Для доказательства п, (а) теоремы 1 определим надлежащим образом пространства В(а, 6) . Выберем гладкие представители а, 6 и какую-нибудь гладкую связность Ав, которая дает а для $ < — 1 и Ь для 1 > 1. Положим А(а, Ь) = Ао + Ц(й,'в) (где й',в — — й'в(П х М)). Это пространство допускает гладкое действие группы д(В „М) ( Е св (ю „М и(2)) ~ В ~ е Х'г(й,в), такое, что д = ехр(с), если ф > Ц . Как в случае замкнутых пространств, фактор В(а, Ь) = А(а, 6)/й(К х М) является многообразием с касательным пространством Т(д) В = Кег дд (заметим, что А всегда неприводима).
Ясно, что так определенное пространство зависит лишь от выбора классов в Я(М) и является объединением подпространств В(а, Ь; 1) . Далее, отображение Г,„: А(а, Ь) -+ й~~ пропускается через фактор по группе м(К х М), чтобы определить сечение Г: В(а, 6) ~ ~(а, Ь) некоторого расслоения со слоем й,в . Ковариантная производная РГ(дй Т(л)  — > ь(л) отождествляется с ограничением на ядро йегдл дифференциала дР~,: й,'в -в й~~в 100 Жьи-Клод Сокорьь Предложение [АРЯ П1].
Оператор РР(л) лвдлетсл оператпором тРредгольма, и его индекс на компоненте В(а, Ь; т) равен ь. Предположим для простоты, что к = О. Тогда оператор РГ(д) имеет те же ядро и квадро, что и оператор д/де+ Р,тт1, на пространстве путей из а в Ь. Ввиду того что Р, и .Рь являются невы- рожденными операторами, соответствующий индекс равен Яг (Ро<т)) (очевидный факт). Для завершения доказательства п.
(а) теоремы (не касаясь ориентации) надо показать, что для возмущений общего положения к оператор Рг'(д) является сюръективным. Доказательство аналогично тому, которое проводилось в п. 2.2. Наконец, следует рассмотреть случай, когда связности а и Ь приводимые. Для этого используется развитая в [1М] теория для эллиптических операторов на некомпактных многообразиях. Эта теория вводкт в рассмотрение объекты, экспоненциально убывающие на концах. Тогда получаем Предлоисение. В общем случае М(а, 6; т) двлдетпсд ориентируеммм многообразием раэмерностпи дтшМ(а, Ь; ь) = — ддшбь, если а или Ь вЂ” неприводимал свлэностпь. Следствие. Если т — диполь < О, тпо М(а, Ь; т) = кт, эа исключением случая ь = О и а = Ь.
(Этот результат — следствие действия 1ъ.) Теперь фиксируем возмущение общего положения. Для простоты предположим, что я = О. Скажем несколько слов об ориентации. Ориентируемость доказывается точно так же, как в [РЦ: достаточно заметить, что детерминантное расслоение беФ(нег Рг'(л) Э сонет Р3'РО) тривиально на В(а, 6) . Рассматривая стабилизатор группы ЯУ(2) в ЯУ(3), видим, что указанное расслоение является ограничением некоторого расслоения иа В(ЯУ(3), а, 6) (анэлог В(а, 6), когда ВУ(2) заменяется на ЯУ(3)). Последнее пространство является односвязным, откуда следует доказываемое утверждение. Для ькогерентногоь выбора ориентаций на разных пространствах можно использовать конструкцию из определения склейки в п.
3.5. 3.3. Главной составной частью доказательства является компактификация пространства М(а, Ь; ь) . Здесь существенны следующие два обстоятельства: 1) Еслиинтерпретировать элементы какнепараметриэованныеградиентные линии, соединяющие а и Ь, то они могут проходить через гомологии, лссоциировянныу с функционалом 1ОУ промежуточные критические точки: последовательность таких линий может сходиться к конечному объединению линий «т,..., 1„, где «т соединяет точки с; и с«+т, причем св = а и с„= 6. В случае конечной размерности пространства это единственная возможность. Конструкция склеивания траекторий позволяет описать дополнение к компакту в М(а, 6) как несвязное объединение открытых множеств С(а, сы..., 6) = Я(а, ст) х К+ х М(ст, сэ) х ... х К+ х М(с т, 6) .
Частные случаи, когда разность индексов равна нулю или единице, позволяют определить комплекс, описанный во введении. Для эквивариантных функций аналогичный результат имеет место на факторе по группе иэотропии точки ст. 2) Если обратиться к М(а, 6) и интерпретировать его элементы как автодуальиые связности (точнее, их модули), то возникает феномен, состоящий в появлении «пузырей«, или размазанных инстантонов, открытых Уленбек [112]. Для замкнутых многообразий Таубе и Дональдсон доказали, что этого достаточно, чтобы описать компактификацию.
На открытых многообразиях речь идет о слабых компактификациях (сходимость на каждом компакте). Сначала мы уточним утверждение 2), а затем покажем, что оно не имеет места, если дппМ(а,6) < 8. Для этого рассмотрим пространство М С В(К х М) автодуальных связностей, энергия е(А) = [Р(А)[г которых ограничена. Равносильное усяовие: на соответствующей градиентной линии вариация функционала СЯ(а(т)) остается ограниченной (напомним, что [Р(А)]э = 2(д/«й)(СЯ(а(1))). Следовательно, М содержит М(а, 6).
Предложение. 1) Пустпь [А„] — втекая посяедоватаеяьностпь в М, чптв энергия е(А„) явяяетпся ограниченное. Тогда, с пточнвстлью дв перехода к некая«арой пвдпосяедовап«еяьноспти, сущестлвуетп конечное число тпочек хт, ..., хь б К к М, нвявжиптельные иеяыг числа ит,..., пь и элеменпт [В] иэ М, такие, апв при подходящих предстаавяениях справедливы следующие утверждения: (а) А„-+ В в С" на всех комаакптах из В. х М~(хт,...,хь); (1«) тавчка хт впредеяяетп на В« инстпантпан энергии 8«тгп ; (с) е(В) + 4яз 2,, и, < (ип вир„„е(А„) . 2) Имеет местпа разложение М = [] «М(а, Ь).
Кроме итого, «попа«огня каждого прастпранстпва М(а,Ь; «) впредеявептся сходимостлью на всех квмпактпах (слабая сходимвсть). Двхаэатаеяьстпва. 1) Лемма о плотности Уленбек [\12] утверждает сутцествование такого г > О, что если взять открытое множество 108 Жан-К»ов Си«ар»а У С К х М, лля которого ныполняе ся неравенство ] ]Р(А„)]з < г, тс (возможно, после перехода к подпоследовательности и взятия подходящей калибровки) последовательность А„ сходится в топологии пространства С на всех компактах из У. В частности, модуль кривизны ]Е(А„)[ равномерно ограничен на всех компактах из У.
Скажем, что х й К х М является плохой »почкой, если для всех г 1пп 1п1„«„]в1,, ]Г(Ао)]~ ) г. Ясно, что таких точек имеетсл, самое большее, [е/е], где е — ограничение на энергию. Пусть хы...,хь — плохие точки. Тогда на К х М 1 (хы...,хь) модуль кривизны [Р(А„)] равномерно ограничен на всех компактах; следовательно, из результатов работы [Ш] вытекает существование такой связности В й А(К х М ~ (хы..., хь )), что (а) выполняется. К тому же выполняется неравенство е(В) < е < со; значит, из работы [П2] вытекает, что В продолжается на К х М, и, очевидно, является автодуальной.
Наконец, выберем непересекающиеся пузыри Вы ..., Вь с центрами в хю..., хь. Кривизна ]Е(Ао)] ограничена на каждом крае дВу и М „= вир]Р(А„)] -+ +со, в, когда и -+ со. Пусть хб„б  — точка, где ]Е(А„)] имеет максимум; тогда подходяшвя «ренормвлизация» преобразует связность А„]н1«« „,,„1 в связность Сд „на В(0, Вд,„) С К«, причем Яу о -+ оо и ]Е(С»,„)] < ]Р(С.,о)(0)[ = 1.
Кроме того, С „автодувльна. Следовательно, из работ [П1] и [П2] вытекает п. (Ь). Пункт (с) очевиден. 2) Рассмотрим последовательность А+1„, где Фо -+ оо. Согласно п. 1), нз того, что энергия стремится к нулю на всех компактах, следует, что некоторая подпоследовательность слабо сходится к связности В,которая обязательно является плоской, а значит, дает путь в 1«(М) . Так как В(М) — дискретное пространство, то, согласно предположениям о невырожденности, этот путь является постоянным. Из этого выводится, что 1пп«о а(1) = а й Я(М). Свойства топологии устанайливаются с помошью эллиптического «бутстрапа» (см.
[РУ]). 3.4. Предложение. Предположим, ч«по а иви 6 неприввдима и «< 8. Тогда если [А„] — последова«пельность иэ М(а,6; «), «по она обладает следующими свойствами (после перехода при необходимости к подпоследовательнвсти). Су«лес«пвуютп критические точки св = а, сы..., с„= 6 и такие градиентные линии -ц й М(с«, с««.»), ч«по последовательность [а„(1)] равномерно сходив»сл к объединению градиентных линий 1ш(у«) в В1М). Если» < 4, тв «почки с« неприводимые длл 1 < 8 < и-1.
гомологии, ассоциировднныв с Функционалом 109 Доказательсшоо. Энергия является ограниченной, поскольку е(А„) = СЯ(а) -СЯ(Ь) при подходящих поднятиях в А(М), в поднятие можно считать фиксированным, так как» фиксировано. Значит, к последовательности можно применить п. 3.3, равно как и ко всем сдвинутым последовательностям [А„+ с„] . Рассмотрим все нетривиальные пределы [В] в М. Используя конечность числа критических точек в промежутке [СЯ(6), СЯ(а)], легко найти подпоследовательность, имеющую «максимальное» число таких пределов.
Более точно, для такой последовательности пределы пробегают конечную последовательность [Вс] Е М(сс, ос+»), 1 < 8 ~( и — 1, причем Ьо —— а и Ь„= 6. К тому же можно выбрать поднятия сс ток, что со = а и с„= дЬ для некоторого элемента д калибровочной группы й(М). Рассмотрим все инстантоны на 1С«, которые возникают при сдвинутых последовательностях: в силу ограниченности энергии имеется конечное число связностей с»,..., с» . Обозначим через и»,..., и» их «заряды». Подставляя все возможные пределы в формулу для энергии, получим равенство »»-1 СБ(а) — СЯ(6) = ~(СЯ(сс) — СЯ(сс-»)) + 4хг '» и с=о Используя формулы СЯ(да) — СЯ(а) = 4»гз «1е8(д), 1пд(да) — шб(а) = 88е8(а) и» = пн1(а) — ш«1(Ь) — дпп Д», приходим к формуле индекса »»-т »»-1 »с+ ~ с»ипД„+ 8~ и»„ с=» с=о »'=1 где»с = 1пс» (сс) — шб(сс+») — 81ш Я„.
Согласно п. 3.2, выполняются неравенства»с > 1; соодовательно, если» < 8, то й = О. Тогда последовательность а„(С) сходится в силу того, что взяты все возможные пределы (это устанавливается рассуждением от противного). Если» < 4, то неприводимость связностей сс есть следствие формулы индекса. Замечание. Отметим важную роль пропорциональности разности индексов и вариации функции («монотонности», на языке работы [Р4]).
Отсюда следует, что каждый пузырь «рзсходует» индекс; следовательно, от него можно избавиться при некоторых предположениях. 3 5. Положим» = О в предложении 3.4; тогда обязательно и = О. Следовательно, из предложения 3.3(2) вытекает компактность. Для доказательства п. (с) теоремы 1 и, более общим образом, для описания бесконечности пространства М(а, 6), подобно тому как это делалось в конечномерном случае, следует определить конструкцию склеивания Жал-Клод Слкораа 110 траекторий с помощью локального лиффеоморфизма (в случае двух траекторий) М(а, с; 1) х В.+ х М(с, Ь; у) а М(а, Ь; 1+,1) . (*) Это можно осуществить конструкцией, аналогичной конструкции Таубса из работ [Та1, Та2), определяя апочтна автодуальную связность, а затем используя теорему о неявной функции для превращения этой связности в автодувльную. З.О.
Д и. д). Д д вис о гомологий от выбора метрики и возмущения построим морфизм С(п, я) -+ С(гг', х'), рассматривая на произведении В х М метрику Е, которая совпадает с метрикой гг при г < О и с метрикой гг' при г > 1. Положим для простоты я = я' = О и определим пространство модулей Мг(а, а') автодуальных связностей, соединяющих а и а', где а, а' Е В'. Оно разлагается на пространства Мг.(а, а'; 1), где г обозначает вычет числа !пг)(а) — гпг)(а') . Рассуждения, аналогичные предыдущим, показывают, что в общем случае Мг. (а, а'; г) является ориентируемым многообразием размерности 1 и что оно компактно, если 1 = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
