Труды семинара Бурбаки за 1991 г (947404), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Значение параметра а Е 7(ав) называется п-ренормализуемым. Значение параметра а называется бесконечно ренормалиэуемым (это обозначается так: а Е В"), если оно является н-ренормелизуемым для сколь угодно больших целых и. Оно называется бесконечно ренормализуемым ностаолнного типа (обозначение: а Е В, ), если оно не-ренормалвзуемо для некоторой последовательности (не)ь>о целых чисел, таких, что вире>о иве тат, ~ < +со . По результатам работ Сулливана [12, 13[ при а Е В, динамика отображения Р, хорошо контролируется.
В частности, каждая точка вз В, примыкает к Я. С другой стороны, известно [14[, что 7тц В = у. Таким образом, чтобы доказать гипотезу п. 2.3, осталось показать, что все связные компоненты множества Во' суть точки. Представляют интерес следующие вопросы. Пусть А=,7- В О [ ) 1(а ). иаеп В силу теоремы 1 мера множества А положительна.
Верно ли, что для почти всякого а Е А существует инвариантная относительно отобра- Жаи-Кристоф Йоккоа 126 женка Р, мера, абсолютно непрерывная относительно меры Лебега, или что Нш1п?„,<., ]РР,"(х)]'7" > 1 для почти всех х? [Впрочем, имеется гипотеза, что В является множеством меры нуль. Ее справедливость, очевидно, влечет эа собой справедливость гипотезы 2.3.] 2.5. Теорема 1 распространяется на более общие семейства эндоморфизмов, чем квадратичное семейство [15]..
Проводя работу в другом направлении, М. Бенедикс и Л.-С. Янг доказали вариант теоремы 1 для итераций случайных возмущений квадратичного многочлена [16]. 3. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 3.1. Пусть д > 2 и В: С -+ С вЂ” (несократнмая) рациональная функция степени тт. 7тумохсвсптво Жюлиа Юя — это дополнение в С к наибольшему открытому множеству 77н, на котором семейство (В")„>о нормально. Это непустой вполне инвариантный (В т(.7я) = 7я) компакт, либо совпадающий с С, либо не имеющий внутренних точек. Множество отталкивающих периодических точек отображения В всюду плотно в нем. Для итераций отображения В множество Жюлиа играет роль предельного множества клейновой группы.
Напомним следующую гипотезу: Рнпотеэа 1. Если,7я ф С, тцо ул — миохсестпво меры нуль.Н 3.2. Рациональная функция В Е Ви называется гиперболичесиот1, если никакая ее критическая точка не принадлежит,7я. Тогда открытое множество 77я состоит из бассейнов притягивающих периодических орбит отображения В (число этих орбит конечно и отлично от нуля). Множество Жюлиа расталгиваешсл отображением В (ср. п. 2.1) и, следовательно, имеет в этом случае меру нуль. Об описании связных компонент множества 77н, когда В не обязательно гиперболична, см. [17, 18].
Рациональная функция Во называется старуктаурно усптот1чивот1, если в Вв существует ее окрестность И, такая, что всякая функция В из И топологически сопряжена с Во. Рациональная функция Во называется 7-устлот1чивоб (или П-устойчивой), если в ?си существует ее окрестность И, такая, что если ттВ начато 90-к е~ к ток вкп те»е Т. Новицким и С. ван Стриеном были построены полнномиальнме контрпримеры. — Прим. иерее. квядндтичныв многочлвны и дттояктор эно 127 В Е Ы, то Во и В топологически сопряжены в окрестностях своих множеств Жюлиа. Гиперболическая рациональноя функция являетса,У-устойчивой.
С этим связана следующая важная Гипотеза 2. Всякая Ю-устпобчиооя рациональная функция еипсрболиина. Известно, что для всякой 7-устойчивой рациональной функции В, не являющейся гиперболической, ол = С. 3.3. Предыдущая гипотеза интересна в связи со следующим фундаментальным результатом Манье-Сада-Сулливана [19]: структурно (или о-)устойчивые рациональные функции образуют открытое всюду плотное подмножество в Вл. Из теоремы М. Рис следует, что рациональные функции, нс являющиеся структурно устойчивыми, образуют в Я.л подмножество положительной меры. Можно рискнуть задать следующий (оптимистический) вопрос: верно ли, что почти всякая рациональная функция В Е Вл либо структурно устойчива, либо удовлетворяет утверждению (Ъ) теоремы 2? 3.4. На самом деле М.
Рис получила следующее более точное утверждение (существует также его версия, аналогичная теореме Манье- Сада — Сулливана). Пусть (Вя)лел — голоморфное семейство рациональных фУнкций. ПРеДположим, что сУществУет Ло Е Л, такое, что Вх, строго предпериодична и что семейство (Вл) удовлетворяет следующему условию трансверсальностн в Ло. Пусть с(Л) — семейство критических точек функции ВЛ и и, )с > 0 — целые числа, такие, что Вь~,(с(Ло)) = В~~+" (с(Ло)); тогда )Эл(Вл(с(Л)) — Вл+"(с(Л)))[я-хь ф О. В этом случае Ло — точка плотности подмножества А С Л положительной меры, состоящего из параметров Л Е Л, для которых В» удовлетворяет утверждению (Ъ) теоремы 2. 3.5. Форнесс и Снбони [20] доказали вариант теоремы 2 для итерации случайных возмущений рациональной функции.
4. СЕМЕЙСТВО ЭНО. ГОМОКЛИНИЧЕСКИЕ БИФУРКАЦИИ Мы показываем роль семейства Эно (и его обобщений) в изучении полиномиальных диффеоморфиэмов пространства В.з и объясняем, как результат Венедикса-Карлесона (обобщенный Марой-Пивной) вписывается в понимание динамики (диссипативных) диффеомовфнзмов поверхностей. 128 Жан-Крнстаф Йоккоь 4.1. Полиноыиаяьные диффеоморфнзмы пространства Вэ [21]. Обозначим через С группу полнномиальных диффеоморфиэмов пространства Вэ, через А — подгруппу его аффинных автоморфиэмов н через 5 — (рэзрешимую) подгруппу, состоящую иэ диффеоморфизмов вида (х, з) «-«(ох+ р(з), «за+ 7) где и, 13 Е К', 7 Е В., р Е К[х]. Группа 0 изоморфна амэльгамированному произведению групп А и 5 вдоль АО Я [22].
Обобщенным отображением Эно называется полиномиальный диффеоморфизм вида (х, р) «+ (р(х) + у, бх), где Ь Е К*, р Е К[х], бекр > 2. Теорема (Фридленд-Милнор). Всякий полиномиальнмй диффеомор- физм нрос1пранстаа Кз сопряжен а С ° либо с элементом из А О Я, ° либо с композицией Н1 ь ° о Н,„(т > 1) обобщеннь1х отобра- жений Эно Н;(х, р) = (у + р;(х), б;х) . Динамика диффеоморфиэмов нз А 1з Я элементарна и не предста- вляет большого интереса. Во втором случае композиция Н1 о. о Н по существу единственна: в частности, т и степени е(; многочленов р, определены однозначно. Изучение динамики семейства Эно доста- вляет, таким обрезом, первый нетривиальный случай динамики поли- номиальных диффеоморфизмов пространства Кэ; общий случай со- стоит в циклической итерации конечного числа обобщенных отобра- жений Эно.
4.2. Гнперболнчность [23, 24]. Пусть М" — компактное рима- ново многообразие класса С и 1: М -+ М вЂ” диффеоморфиэм класса С Компактное подмножество К С М, инвариантное относительно у, называется еиперболическим, если существуют с > О, О ( Л ( 1 и разложение ТМ]к = Е' Э Е" в прямую сумму подрасслоеннй, инварнантных относительно Т1, такие, что [[Ту'н[л. [] ( сЛ", []Т[ "[л ][ ( сЛ" для любого п > О. Тогда для всех х Е К устойчивые многообразия И" (х) = (р Е М, 11ш„«+ььа(уну,1"х) = О) и неустойчивые мно- гообРазиЯ И'"(х) = (Р Е М, 1ипн~ б(1""У,У'"х) = 01 ЯвлЯютсЯ образами пространств Е;, Е," соответственно при ннъективных иммерсиях. квядрятичныв многочлвны и яттвактор эно 129 Гиперболическое компактное инвариантное подмножество К С М называется базисным множестлвом, если у]«имеет всюду плотную орбиту и существует окрестность У множества К, такая, что К = П„ех у" (ст) .
Тогда пеРиодические точки диффеоморфизма у]«всюду плотны в К. Для базисного множества К положим И"(К) = (у 6 М, 1пп о(у"у, К) = О), Ю" (К) = [у 6 М, 1пп Щ"у, К) = О), Имеем Ит'(К) = О, «И™(х), И~"(К) = Ц, «И'"(х). Будем говорить, что К вЂ” гилгрболическит1 атлтлрактлор, если множество И" (К) открьгго. Ценно-рекуррентлное множесшво С(у) диффеоморфизма у состоит из точек х, для каждой из которых при любом г ) О существует конечная последовательность х = хе, хт,..., х„= х (тт ) 1) с о(у(хт), хт+т) < г для О < 1 < н. Это наименьшее компактное инвариантное множество, в котором имеют место все явления рекуррентности диффеоморфизма у .
Говорят, что т С-гилерболичен, если С(у) гиперболично. В этом случае С(у) допускает разбиение (называемое спектральным) на непересекающиеся базисные множества Ст,..., С„такие, что Ит'(Ст)т1 И'"(С ) = кт при т < у и Ит" (Ст) й Ит'(Ст) = Ст. С-гиперболический диффеоморфизм у обладает свойством сильнот1 лтрансеерсальностли, если И"(х) и Ит"(у) трансверсальны при всех х,у 6 С(р). Если у С-гиперболичен, то он С-устойчив в С'. для любого диффеоморфизма д, С'-близкого к у, существует гомеоморфизм /т: С(у) -+ С(д) С М, близкий к естественному вложению, сопрягающий До111 с д[о1рр Если, кроме того, у' обладает свойством сильной трансверсельности, то у С'-структурно устойчив: всякий диффеоморфизм, С'-близкий к у, топологически сопряжен с ним [25, 26]. Замечательный результат Манье [27] утверждает, что, обратно, С'-структурная устойчивость влечет за собой С-гиперболичность н сильную трансверсзльность.
Это было обобщена Палисом [28] (С'-С-устойчивость влечет за собой С-гиперболичность). Для С~-структурной устойчивости аналогичный вопрос открыт. 4 3. Гомоклнинческие бифуркации. Предположим, что М компактная поверхность. Уже в этом случае практически неизвестны методы, позволяющие изучать динамику более общего диффеоморФизма многообразия М. Например, неизвестно, является ли всюду 130 Ж»м-Кристоф Йькко» плотным в 111п~(Тг) множество диффеоморфизмов, имеющих хотя бы одну периодическую орбиту: в своей простейшей форме это задача, решаемая»леммой о замыкании»; единственные известные общие результаты относятся к С'-топологни (Пью [29]). Для решения этой задачи (и ряда других задач) имеется сведующий подход, представляющийся плодотворным.
Рассмотрим гладкие семейства (у»)[»е(» И диффеоморфизмов, таких, что ~» С-гинерболичен при с < О, а ув — нет. Изучение динамики диффеоморфизмов 1» при 0 < с тс, 1 позволило установить новые очень интересные явления. По-видимому, наиболее интересный способ прохождения границы открытого множества, образованного С-гиперболическими диффеоморфнзмами, состоит в прохождении гомоклиническо»1 бифуркации.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
