Труды семинара Бурбаки за 1991 г (947404), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Поскольку семейство Эно состоит из диффеоморфизмов, в условиях теоремы 3 такого определения а рг1ог1 нет: на самом деле Бенедикс и Карлесон не определили точно критических точек, за исключением случая, когда значения параметров удовлетворяют утверждению теоремы 3. На шаге индукции (по рассматриваемому номеру итераций и) имеется лишь аппроксимация этих критических точек: по предположению индукции, например, ЛРР,"ь(л)!) > 1 в рассматриваемых точках. Существует направление, сжимаемое отображением РР,"~(х) в < Щ" раз, так как якобиан отображения Р,д всюду равен -Ь. Точка х = (х, у) называется критической аяпроксииаииеб порядка и, если )х) < б « 1 и сжимаемое направление касается И~" (р, ь) в точке х.
Число критических аппроксимаций данного порядка конечно, но растет экспоненциально с ростом порядка. Следует найти новые критические аппроксимации, чтобы контролировать возвращения в область ((х) < о) старых критических аппроксимаций. Это делается с помощью довольно сложной конструкции. 6.2.2. Скяас)ки. Рисунок 4 показывает отправную точку конструкции. Несмотря на то что индукция не дает большой информации о глобальной геометрии многообразия Й'"(р,,ь), необходим минимальный контроль этой геометрии для того, чтобы индукция могла работать. Следует контролировать складки в складках ... (рис.
5). В сущности, предположение индукции гарантирует растяжение горизонтальных векторов, но возвращение в зону Цх~ < 3) преобразует горизонтальный вектор в ~косойэ вектор. Решение Бенедикса и Карлесона КВАДРАТИЧНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ И АТТРАКТОР ЭНО 139 состоит в разложении этого гкосогог вектора на вертикальную и горизонтальную компоненты с тем, чтобы их итерировать отдельно некоторое конечное число раэ (так, чтобы в конце гориэонтальнвз компонента увеличилась, в то время как вертикальная компонента сильно сжалась) и затем снова сложить, но в ходе этого процесса может иметь место другое возвращение .... ЛИТЕРАТУРА [1] Якобсон М. В.
Топозогнческне н метрические свойства одномерных эндоморфиэмоз. — ДАН СССР, 1978, т. 243, ЛЗ4 (1978), с. 866-869. [2] Ла1юЬяоп М., АЬяо!иге1у сонг!пиоия !пгы!апг шеаяигея (ог опе-рагашегет (зш!Нея о! опе-йшепвопа! пгаря, Сошш. МагЬ. РЬуз.
81 (1981), 39-88. [3] Вепейс!гз М., Саг1еяоп Ь., Оп !гегагЫпя о! 1 — азя оп (-1, 1), Апп. о! МагЬ. 122 (1985), 1-25. [4] КусЫ!Ь М., А ргоо( о! ЛаЬоЬяоп'з гЬеогегп, Егбойс ТЬеогу Оупаш. Яуягешз 8 (1988), 93-109. [5] В.сея М., Рошттзе пгеаяиге яетя о! егбойс гас!опа! шаря, Авп.
Яс!. Есо!е Хогш. Яир. 4 Ббпе 19 (1986), 383-407. [б] Нбпоп М., !чишег!са$ ясиг!у о! Визита!!с агеа-ргезетг!пб шарр!пбя, (Лиатт. Арр!. МаГЬ. 27 (1969), 291 — 312. [7] Нбиоп М., А 2-йпгепяюпа1 гоарршб н!гЬ а яггапбе а!!гас!от, Сошш. МаГЬ. РЬуз. 60 (1976), 69-77. [8] Вепейс(ш М., Саг!еяоп 1., ТЬе бупаш!ся о! ГЬе Непоп шар, Апп. о! МасЬ. (2) 133, 5!о. 1 (1991), 73-169. [9] Мота 1., Ч!апа Е., АЬипг!апсе о(яггзлбе асггзсгогя, Ртерппс 1МРА (1989).
[10] КиеНе О., КереНогя (ог геа1 аиа1убс шаря, Егбойс ТЬеогу Оупаш. БуяГешз 2 (1982), 99-107. [11] МЫ(игечбся М., АЬяо!ияе!у соп!!пиоия шеэзигея (аг сеггагп шаря о! ап !псегга1, РиЫ. Ма1Ь. 1.Н.Е.Я. 53 (1981), 17-51. [12] ЯиН1зял О., федаи-соп!оппа) ЬошеошогрЫяшя 1: яо!игюп о! гЬе рагоиЛиНа ргоЫеш оп юапбеппб бошйпя, Апп. о! МзГЬ.
122 (1985), 401-418. [13] ЯиН!гзл О., С3изя1-соп!отша! ЬошеошогрЫяшя 2, 3: соре!об!са! соп)ибзсу с!аяяш о! апа1уис епбогпогрЬВшя, РгерПпт 1.Н.Е.Я. (1983). [14] Уоссоя Л.-С., Яш 1а соппех!Г4 !аса1е йи епяешЫез г!е Лийа е! г!и Неи де соппешге Йев ро1упошся г!иагЬаг!г!иш, еп ргбрагаг!оп. [15) ТЬеиНеп Р., 'Тгеяяег С., Ь. Б. Уоипб 1. Я., Роя!Г!ге ехропеп! (ог ВепеПс опе-рагашесег (аппйш о( 1 — 4 ип!шоба! пгаря, С. К. Асаг!.
Бс!. Яег. 1 316, 1чо. 1 (1992), 69-72. [16] Вепейсйз М., Уоипб 1. Я., АЬяо1ите!у сопбпиоия !пты!апт шеззшея аш1 тазг!ош рег!игЬабопя !ог сеггйп опе-йшепяюпа1 шаря, Егбойс ТЬеогу Оупаш. Яузсетпв 42, Ыо. 1, (1992) 13-37. [17] ЯиН!тап О., Оп ГЬе я!гас!иге о! !пбп!Ге!у шалу г!упзш!са! зуясешя пеясег! шяЫе ог оигяЫе о! а В!геп опе, Ногая 1.Н.Е.Б. (1990). 140 Жаи-Кристоф Йоккоэ [18] Япйчап 13., Воппйей в|частые оГ !ай|псе!у тепотша!вяаЫе шарр!пбв, ш Р. Сч!|апач!с (ей.), %Лп!чехва!!су ш СЬаов, 2ш! ей!с!оп, Айаш НПВет, Втюзто! (1989).
[19] Майе К., Яай Р., БпП|чвл О., Оп |Ье йупавп!ся о! таПопа1 шаре, Апп. Яс!. Есо1е Хопа. Яор. 16 (1983), 193 — 217. [20] Ротааевя Е., Я!Ьопу Х., Квпйопв Кетатюпв оГ тат!опа! ЬшсПоы, ЕтЗосПс ТЬеоту !Лупа|а. Яув|ешв 11, Хо. 4 (1991), 687 — 708. [2Ц ЕйесПапй Б., М|1пот Л., Оупаш!са! рторет|йш о! р1апе ро!упо|п!в1 аптошотрЫяшв, Етбосйс ТЬеоту Оупаш. Яуя|ешв 9 (1989), 67-99. [22] ЯЬэуателйсЬ 1. К., Оп ваше !пйп!Се йппепвюпа1 Втопря, Кеш!. Ма|. Арр1. (Коша) 25 (1966), 208-212. [23] ЯЬпЬ М., БтаЬ!1Кб 81оЬа1е йев вув|ешея йупаш!с!пев, Автепвс!пе 56 (1978). [24] Бп|а1е Б., ЛЛП7етепт!аЫе йупапйса1 яуввепьв, ВпП.
Ашет. Ма|Ь. Бос. 78 (1967), 747-817. [Имеется перевод: Смейл С. Диффереицируемые динамические системы. — УМН, 1970, т. 25, вып, 1, с. 113 — 185.] [25] КоЬЫп Л., А в!тес!пса) вваЬП!ту |Ьеоте|п, Апп. ос МатЬ. 91 (1971), 447. [26] КоЬ!пвоп С., Б|тпс|пта1 в|аЫП|у о1 С'-й!ПеошотрЬ!впво, Л. 01йетепйа! Есрва|юы 22 (1976), 28. [27] Майе К., А ртоо! оГ С|-ятаЬП!|у сои|ее|псе, РпЫ.
Ма|Ь. 1.Н.Е.Б. 66 (1988), 161-210. [28] РаПя Л., Оп |Ье С|-я|аЬ|1!Су соп)естоте, РпЫ. Ма|Ь. 1.Н.Е.Б. 86 (1988), 211-215. [29] РпВЬ С., Ап !шрточей с!овшб !епппа апй Вепета1 йепв!|у еЬеотеш, Ашет. Л. Ма|Ь. 89 (1967), 1010. [30] ХевчЬопяе Я., ТЬе аЬш|йапсе оГчсв!й Ьуре|ЬоПс во|в апй попвшоотЬ втаЫе ее|я (от ййуеошотрЬЫшя, РпЫ. Ма|Ь. 1.Н.Е.Б. 60 (1979), 101-151. [31] Рейв Л., Та!сепо Р., НуретЬоПс!ту апй яепв|бче сЬаоПс йупаш|тя а| Ьошосйшс Ь|!отса!!опя. Ртастюпа1 йппепиоы влй шйп!|е1у шапу а|ство|ага, СашЬт!йбе !Лп! етя.
Ртеяя, СыпЬ|ЫВе, 1993. [32] ХевЬопве Я., Райя Л., Тайеы Р., В!!отса!!опя апй я|аЬ~1!|у о( !ашП!ев оГ йЫеошотрЫяпвя, РпЫ. Ма|Ь. 1.Н.Е.Я. 57 (1983), 5-71. [33] Райя Л., Тайеы Р., Нуре|ЬоПс1|у апй |Ье ссеа|юп оГ Ьошос!!шс отЫШ, Апп. о1 Ма|Ь. 126 (1987), 337-374. [34] Нлыкив Р. В., О геометрии гиперболических аттракторов гладких каскадов.
— УМН, 1984, т. 39, вып. 7, с. 76-113. [35] (уопайу А., НпЬЬатй Л, Оп |Ье йупаш!ся ов ро1упоппа1 ПЬе шарр!пбя, Апп. Бс(, Есо!е Хопа. Бпр. 18 (1985), 287-343. ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ПРЕДЕЛЫ11 Фрэнсис Комец Некоторые из уравнений механики жидкости можно получить, исходя из эволюции случайной системы частиц, задаваемой марковской динамикой с нетривиальными законами сохранения. После перенормнровки пространства и времени (перехода к гидродинамическому пределу) мера, ассоциированная с законами сохранения, сходится к решению нелинейного уравнения в частных производных. Недавно Гуо, Папаниколау и Варадан предложили общий метод доказательства сходимости с использованием априорных оценок, основанных на (вероятностной) энтропии и производстве энтропии. В настоюцей работе представлены общие идеи и схема нового метода.
1. ВВЕДЕНИЕ Мысль, что уравнения, описывающие движение жидкости на макроскопическом уровне, могут быть получены из микроскопической динамики, не нова. Например, в случае детерминистской динамики Морри сделал попытку вывести уравнения Эйлера из статистической механики и Синай сформулировал условиев~, при выполнении которого возможен такой вывод.
Мы будем рассматривать здесь случайную динамику. Среди случайных динамических систем наиболее изученными являются системы частиц, расположенных на решетке, эволюционирующие в соответствии с правилами обмена между соседними ячейками, для которых существуют законы сохранения (решетчатые газы, модели Гинзбурга-Ландау, ...). Эти системы частиц были введены Спитцером в начале семидесятых годов. Добрушин несколькими годами позже заметил, что они позволяют воспроизвести гидродинамические явления и изучить процедуру перехода к пределу.
На микроскопическом уровне система находится в локальном равновесии в силу закона больших чисел; множество равновесных состояний параметризуетсн средними значениями сохраняющихся (экстенсивных) величин. Вообще говоря, эти параметры меняются от одной '1Согоегв рвана!в. Гйппеев Ьубгобупапг10оев. — 56кбпыге Воогьаы, 1990-91; п'733, Аввбг1вчне, 201-202-203, 1991, р. 107-192. 1Двв одномерной жн„цностн. — 77ром.перев.
142 Френсис Копен микроскопической точки к другой, и в хорошо подобранной макроскопической временнбй шкапе они эволюционируют в соответствии с некоторым нелинейным уравнением в частных производных; это уравнение будет уравнением первого порядка для системы в поле внешней силы (которая может соответствовать источнику или стоку) и уравнением второго порядка для системы, инвариантной относительно обращения времени. Даже если система допускает автономное описание на макроскопическом уровне, эти два уровня не явапотся независимыми: указанные уравнения иногда имеют много решений, и микроскопический подход указывает нам, какое из решений следует выбрать.
'1рудность заключается в том, что взаимодействие (обмен между ячейками) локального характера приводит не непосредственно к замкнутым уравнениям, а к иерархии уравнений (иерархической цепочке уравнений ББГКИ по начальным буквам фамилий Боголюбова, .Бориа, Грина, Кирквуда, Ивона): типично, что уравнение для моментов порядка 1 содержит момент порядка 2, уравнение для моментов порядка 2 содержит момент порядка 3 и т.д. В равд.
2 мы дадим формальный вывод уравнений гидродннамики, начав с понятия локального равновесия, используемого как анзатц для замыкания иерархической цепочки уравнений. Этот раздел, который носит эвристический н общий характер, нам кажется необходимым для краткого обзора материала. Затем мы дадим примеры систем с притяжением; потом мы представим метод доказательства с использованием функционала производствазнтропии для модели ГннэбургаЛандау (равд. 4)и, наконец, другие примеры и результаты (равд.
5). Мы не отвечаем здесь полностью на вопрос, что такое неравновесная динамика, оставляя в стороне другие важные аспекты, такие, как равновесные флуктуации и неравновесные флуктуации, теорема о флуктуационно-диссипативных соотношениях, .... Достаточно полное и завершенное изложение этой темы имеется в обширной статье Де Мази, Яниро, Пелегринотти и Презутти [В1РР] и, кроме того, в совсем недавнем препринте Шпона [Бр]г1, посвященном стохастическим решетчатым газам. Автор благодарит К.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
