Труды семинара Бурбаки за 1991 г (947404), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Это содержательное утверждение получается с помощью техники больших уклонений (теорема 3.5 в (СРЪ~). Двухблоковая оценка: средние для двух больших микроскопических блоков, разделенных небольшим макроскопическим расстоянием, близки: 1("' !пп 1пп 1пп зир зпр — 2 (р(у, г, !) ««ег ~«он ~~ ~е! и«и«1, уел!о и ) ц!>г1ан>ы Р(у г+пг,!)(1ш«е =О. (27) 1 „я («)= « — ««гч «(«К«(«)). н Ж" (29) На этот раз интеграл выражается с помощью скользящего среднего совместного распределения двух групп, состоящих из 2(Й+ !) + 1 последовательных переменных, разнесенных на расстояние пг.
При этом следует отметить две дополнительные особенности по сравнению с выводом соотношения (26): контроль взаимодействия двух групп с помощью (21Ь) и введение для них фиктивного генератора (см. теоремы 4.3 и 4.6 в [СРУ)). Из непрерывности функционала р «г ) Фея и иэ соотношений (26) и (27) следует соотношение (25). 4.4. Гиббсовские модели Гинзбурга — Ландау. Теперь рассмотрим на «1-мерном торе (Е/ХЕ)Я генератор' вида (12), где суммирование ведется лишь по ближайшим соседям и где И„=-~ (ф+К).7' (26) с ограниченной локальной регулярной функцией Р.
Экстремальные инвариантные меры являются выпуклыми комбинациями мер Гиббса с конечным радиусом взаимодействия: «'(««) «( «( «(«) Г «( ) «««(«)) !««(«) ' ' «««««!) \ с А, выбранным согласно (1); в противоположность модели (12) переменные будут зависимыми случайными величинами относительно равновесной меры. Система является градиентной с У = -'зИзе)'Нл« (и не зависит от Ф при достаточно больших Ф).
Положим в этом случае 158 Фрэнсмс камея и пусть, кроме того, Л вЂ” двойственная к функции а функция. Резаханлу [ВеЦ доказал с помощью метода производства энтропии сходимость 1",и к решению уравнения (17) и, таким образом, его получил. Модель интересна в силу существования фазового перехода или, иначе говоря, существования нескольких мер Гиббса ир, б М1'(Гък ) в бесконечном объеме, соответствующих одному и тому же химическому потенциалу Л.
В этом случае функция Л не является строго выпуклой и эволюция описывается предельным уравнением диффузии, которое вырождено в критической области. В случае фазового перехода справедливость соотношения (25) установлена не для всех пробных функций ф, а только для 15 = (7, где (7 вводится аналогично тому, как это делалось в п. 4.1. Фритц [Рг1] изучил гнббсовские гауссовские модели Гинзбурга- Ландау. В [1 г2] он применил метод производства энтропии для случая бесконечного объема вместо тора.
Трудность заключается в необходимости контроля производства энтропии на границе фиксированного объема. Наконец, отметим еще самый старый метод резольвенты, предложенный Напаниколау и Вараданом [РЧ]: Фритц использовал его в [Рг1] при отсутствии фазового перехода. Только недавно Яу предложил в [У] упрощенный метод производства энтропии, вычисляя относительную энтропию меры Д~й е~ не относительно глобального равновесия из~~, как в п.
4.2, а прямо относительно локального равновесия, профиль которого меняется во времени и пространстве: Яу заметил, что когда этот профиль есть решение гидродинамического уравнения, энтропия остается величиной о(Ж) в каждый момент времени, и это позволяет установить сходимость 3;~, как и выше, с тем преимуществом, что не надо прибегать к двухблоковым оценкам. Существенным ограничением этого упрощения является то обстоятельство, что оно работает только тогда, когда гидродинамическое уравнение имеет регулярное решение. 5.
ЙРУГИЕ НАПРАВЛЕНИЯ 5.1. Модели в непрерывном пространстве. Олла и Варадан [ОЧ] изучали в фазовом пространстве (с координатным пространством В.и) системы большого числа частиц, у которых скорости являются процессами Орнштейна-уленбека, связанными через отталкивающую силу; эта система необратима. В предельном переходе используется канонический формализм статистической механики. См. также статью Варадана [Ч] для броуновских частиц на торе с укаэанным вьппе ГИДРОДИНДМИЧ5СКИП ПР5Д5ЛЫ 159 взаимодействием и статью Роста [Во2] для стохастической модели одномерных сфер. Фунаки непосредственно изучал модель Гинзбурга — Ландау на вещественной прямой — она задается стохастическим уравнением в частных производных [г1~].
5.2. Другие модели на решетке. Модель голосования не имеет сохраняющейся величины, но ее поведение очень похоже на изучаемое здесь; иерархическая цепочка замкнута, и зто приводит к линейным уравнениям (о > 3) [РЯ]. Другие модели без законов сохранения приводят к уравнениям реакция-диффузия или к кинетическим уравнениям, и при этом к уравнениям (5) или (7) добавляется нелинейный член степени 0; генератор этих моделей имеет вид ь = С~ + а(с) ьз, где ь1 того же типа, что и выше, а Ге — генератор процесса скачков без сохраняющейся величины.
Динамика ьз замедлена множителем а(е). Система еще находится в локальном равновесии согласно югидродинамическойэ динамике, задаваемой ь1, между скачками, разделенными во времени, задаваемыми Ез . Здесь еще применимы гидродинамические методы. Де Мази, Феррари и Лебовиц [ВРЬ] в случае, когда Е1 есть генератор симметрического процесса с запретами, а ьз — генератор глауберовской динамики, доказали, что предельный профиль удовлетворяет уравнению др/д1 = др/дх + Р(р), где Р(р) есть полипом.
Каприно, Де Мази, Пульвиренти и Презутти получили уравнение Карлемана (уравнение Вольцмана с дискретными скоростями) как предельное уравнение [СПРР]. 5.3. Неградиентный диффузионный случай. Единственная не- градиентная система, для которой был установлен предел (7Ь), — это процесс с запретами„симметричный в среднем.
Он был изучен Виком [%2], причем динамический вклад в коэффициент диффузии был вычислен точно. Инк, Лебовиц и Шпон рассмотрели одномерный случай, когда ток есть сумма производной по пространству и производной по времени [ЕЬВ]. 5.4. Большие уклонения. Поскольку гидродинамическое поведение сводится к закону больших чисел, изучение больших отклонений в гидродинамическом пределе может быть, в общих чертах, проведено аналогичным образом. Донскер и Варадан [ПЧ] для модели Гинзбурга — Ландау, а Кипнис, Ола, Варадан [КОЧ] для симметричного процесса с запретами указали зкспоненциальную перестройку меры У; с помощью слабого медленно меняющегося в пространстве и времени возмущения генератора процесса.
В первом случае интеграл действия есть интеграл по времени от нормы др/д1 — (1/2) дзй'(р)/дх~ 160 Фр»зевс Ком»и в пространстве Н г(Т). Во втором случае возмущение интерпретируется как слабая асимметрия процесса с запретами. Заметим, что вероятность большого уклонения экспоненциально мала относительно меры 1';, ассоциированной с сохраняющейся величиной, не сверхзкспоненциально мала относительно других мер, когда эти уклонения не являются следствиями уклонений меры т'» . Это явление напоминает различие временных шкал флуктуаций [01РР]. Заметим, наконец,что Ландим [1 а2] смог полностью решить задачу о больших уклонениях для чисел заполнения в случае симметричного процесса с запретами в размерности 1, построив»мостик» от этого вопроса к другому (более простому) вопросу относительно меры чисел заполнения У» . ЛИТЕРАТУРА [АЧА) Апй)е! Е.
11., Чвтев М. Е., Нуйгойупаппс е9иаг»опв Гог а!Ство!!че рагС!с1е вуввешв 'ш Е, 1. ЯСаС. РЬув. 47 (1987), 265-288. [АВЦ Апй)е! Е. 11.. Вгашвоп М. О., аббе! Т. М., БЬосЬв ш СЬе ввупипеСПс ехс!ивюп ргоссзв, РгоЬаЪ. ТЬеогу Ве!атей Р»е1йв 78 (1988), 231-247. [АК] Апй!е1 Е. Г!., К!ршв С., 1»ег!чаС!оп оГ СЬе Ьуйгойупашка1 ециаС!оп Гог СЬе вето-гапбе шсегвсгюп ргосезз, Апп. РгоЪ.
15 (1987), 546 — 560. [ВР1] Вепаш! А., Роиггие 1.-Р., Нуйгойупапис Вши Гог СЬе ввупппегг!с в1шр!е ехс!из!оп ргосеш, Апп. РгоЪ. 15 (1987), 546 — 560. [ВР2] Вепвзз! А., Рошрте 1.-Р., Нуйтойупапйс!ппц Гог СЬе взуп»шегпс вето твлбе ргосеж, Апп. 1пвг. Ро!псагб 24 (1988), 184-200. [ВВ.] Вгох Т., Вовв Н., Е»Си!1!Ъпиш бисСиабопв оГ в»осЬвзвк рагбс!е вуввешз; ТЬе го!е оГ сопвегчей »1иаппг!ев, Апп. РгоЪ. 12 (1984), 742-759.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
