Труды семинара Бурбаки за 1991 г (947404), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Ь) [Ки2] Если многвчлен фь является в Р[Х] произведением двух взаимно простых свмнвэсигпелей, степени которых больше 1 (тогда говорят, чта стрит расщепился), то представление х не является каспидальным. Теорема 2 доказывается (в значительной степени) путем обращения к нефундаментальному страту ([Е], г, т — 1, Ь), содержащемуся в к, н модификации цепочки решеток в направлении, указываемом флагом ядер итераций некоторого нильпотентного элемента из Ь+ Р' отсюда также следует утверждение относительно уровня в теореме 3а), Дла доказательства УтвеРждениЯ теоРемы ЗЬ) Разложение много- члена фь поднимается до разложения /д в Н[Х] характеристического многочлена элемента у = Ь'/й, после чего с помощью разложения пространства У в сумму Кег/(у) ьи Кегд(у) доказывается, что один из матричных коэффициентов представления т имеет некомпактный по модулю Е носитель.
Фактически можно доказать, что и инду- првдстлвлвния рвдуктивных р-ядичвских групп )тЗ цироеано с гладкого неприводимого представления подгруппы Леви в б', отвечающей указанному разложению и. Замечание. Таким же образом, и даже легче, разбирается случай Ъ) теоремы 2. 2.4. Теперь необходимо улучшить понятие фундаментального страта. Определение. Говорят, что страт (Д, т, т — 1, а) имеет тип эльфа') [КМ1], если т ) 1 и ()) ФР~ ", (й) расширение Е = Е[а] является полем и Нс содержит Е", ()й) элемент а минимален, т.е. значение и(а) нормализованного нормирования элемента а в Е взаимно просто с индексом ветвления е(Е]г") н поле вычетов поля Е порождается над Р классом „н(Е/р) — н(м) Страт называется суперкаспидальным (см.
[Са]), если он имеет тнп альфа, а поле Е имеет степень и над Р. Отметим, что страт типа альфа обязательно фундаментальный и нерасщепляющийся. Теорема 4. а) Пусть сп)рап) з = ([Т], т, т — 1, а) лвлвеп)ае суперкаспидальиыль а р — представление группы Нс, содержащее в.
Тогда предстпавлвпие, индуцированиое иа С с р, иеприводимо и каспид . Ъ) Пустое С вЂ” цепочка решеток периода 1, а р — представление группы Нс, тривиальное на Нс) и отвечающее некоторому каспидальному представлению группы Нсе]Нс) (изаморфиоб СТ„(Е)). Тогда предстпавление, ипдуцировамиое на С с р, иеприводимо и каспидальиа. с) Пустаь х — каспидальное предстпавлеиие группы 6, полученное с помощью процедур а) или Ь).
Тогда пара (Нс, р) определена однозначно с тпочнастпью до сопряжения. Этот результат вытекает иэ критерия неприводимости из р'. 1.4. Например, в случае а), если р не является неприводимым, то существует элемент д Е С вЂ” Нс, для которого характеры )Р и ф имеют одно и то же ограничение на Нс () д 'Нсд. Но для суперкаспидального страта отсюда легко следует, что д принадлежит Нс. Утверждения Ь) и с) доказываются аналогичным способом.
Предста аления р, упоминаемые в а) и Ь), легко описать явно. Их можно эанумеровать парами, состоящими из кондуктора и центрального характера, а прямое вычисление приводит к такому следствию: 1) )В аригиньее нее( дие ь)(е)(а". — Прим. иерее. 174 Гя Эяньяр Следствие. Предположим, чтпо число и просто. Пусть л — каспидальнос прсдстпавление группы С. Тогда сущсстпвустп тпакой гарактпср Х группы Е", чтпо предстпавлсние л З (Х ь беь) пвлучаетпсл с помощью квнстпрукций а) или Ь) тпеорсмы 4. 2.5.
Для числа и, не являющегося простым, зто, увы, не конец. Предложение 1 [Кп2]. Пустпь з = ([ь".],т,т — 1,6) — фундаментпальный нерасщвпллющийся стпрат. Тогда сущсствустп стпратп тпипа аль|а ([ь], г, г — 1, а), принадлсжатций каждому гладкому неприввдимому предстпавлснию группы С, содержатцему з. Поскольку страт з является нерасщепляющимся, многочлен фь есть степень неприводимого многочлена из Р[Х]; идея состоит в том, чтобы подыскать такой полупростой элемент а, что фь = фь. Итак, мы приходим, по крайней мере если интересуемся каспидальной двойственной к С, к необходимости изучить гладкие неприводимые представления группы С, содержащие страт типа альфа. Предположим временно, что и является простым, а гладкое не- приводимое представление я группы С содержит страт типа альфа з = ([ь], г, г — 1, а) .
В таком случае либо ст Е Р и тогда существует такой характер Х группы г", что а(тт Э (Х ь деь)) ( а(я), либо расширение г'[и] имеет степень и и тогда страт является суперкаспидгльным, а я каспидально и индуцировано с Нс. Воспользовавшись возрастанием значений кондукторов, получаем локальное доказательство предыдущего следствия. (Доказательство из [Вп1] использует понятие фундаментального страта и функциональное уравнение для дзета-функции, ассоциированной с л.) 2,6.
Ситуация резко усложняется, когда и является произведением р и некоторого простого числа [КМ2, Со2]. В то же время ситуация становится более благоприятной в умеренном случае, когда и взаимно просто с р. Опишем кратко на нашем языке реаультаты Хауза и Моя [НМ2]. Пусть з = ([Е],г,т — 1,а) — страт типа альфа в У. Положим Е = Р[ст] и обозначим через С' центраяизатор элемента и в С, так что группа С' изоморфна группе СЕ (Е) с тп[Е: Е] = и.
Тогда можно найти компактную открытую подгруппу Н в С, содержащую Нс, и характер ф„' подгруппы Н, продолжающий ф„, такой, что, с одной стороны, каждое гладкое представление группы С, содержащее з, содержит (при ограничении на Н) также и характер ф', а с другой стороны, алгебра Гекке Я(С,ф') (см. 3.1), представления которой описывают гладкие представления группы С, содержащие ф', нзоморфна алгебре Гекке 74(С', 1), представления которой описывают гладкие представления группы С', содержащие тривиальное ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕДУКТИВНЫХ р-АДИЧЕСКИХ ГРУПП 175 представление группы Нс Г1 Н.
Поскольку в этом умеренном случае группа Нс ОН имеет вид Н~~, где С' — некоторая цепочка Нн решеток в векторном пространстве 6' над полем Е, можно действовать по индукции, которая позволит описать каспидэльную двойственную к С. (Таким же образом разбирается случай Ь) теоремы 2.) 2.7. Рассмотрим случай, когда и является произведением двух простых чисел [КМ2], следуя изложению [ВК, р. 15-1б]. Мы начнем с гладкого неприводимого представления группы С, содержащего страт типа альфа ([С], г, г — 1, а) . Мы выберем этот страт так, чтобы я содержало страт ([ь], г, т, а) с мйнпмальным отношением т/е(С). Предположим для ясности, что т > [т/2] (для т = [т/2] рассуждения надо подправить). Тогда ограничение представления я на Нс содержит характер ф, переходящий прн ограничении на Нс+ в ф,, т.е.
а' = а+ Ь с Ь Е Р ~ . Отметим, что страт ([С], г, гп — 1, а+ Ь) не является стратом типа альфа. Положим Е = В[а] и В = Епдн(К) с А; тогда С есть некоторая цепочка Нн-решеток в векторном пространстве Р над Е. Обозначим через Нс стабилизатор цепочки решеток ь" в В"; имеем Нс' = НсГ1В" для 1 > О. Ограничение Фь на Н~ определяет страт ([С], т, т — 1, 6') в В.
Утверждение (трудное), доказанное в [КМ2], гласит, что можно добиться, чтобы этот страт был фундаментальиьья в В. Если он окажется расщепляющимся, то я не будет каспидальным (ср. с теоремой ЗЬ)); в противном случае можно предположить, что этот страт имеет тип альфа и тогда элемент а+ Ь порождает поле. Если это поле имеет степень п над Р, то ситуация становится похожей на суперкаспидальный случай: я непременно каспидзльно и индуцировано с Нс. Поскольку и является произведением двух простых чисел, получаем [У[а + 6]: Г] > [В[а]: Р] > 1.
Можно было бы надеяться, что зта процедура останется в силе и для произвольного и, т.е. что можно работать со стратом ([С], гп, т — 1, Ь') в В. Но это, к сожалению, не так: нужно вернуться к г' как к основному полю и работать со стратом ([С], т, ш — 1, а + 6) в А. Похожий феномен представлен также в [Со4], что объясняет, почему прямой подход из [Со4] оказывается сложнее, чем из [Со2]. 3. ОБЩИЙ СЛУЧАЙ: ПРОСТЫЕ СТРАТЫ И АЛГЕБРЫ ГЕККЕ З.1. Обратимся теперь к случаю СЬ„с произвольным и, следуя [ВК]. Изучаются алгебры Генке, связанные с представлениями компактных открытьпс подгрупп в С = 01.„(Г), и, в частности, сплетающие операторы для таких представлений; это приводит к сплетающим операторам между стратами, а простые страты (это фундаментальное понятие введено в [ВК]) суть те, сплетающве операторы между кото- 176 Гн Энньяр рыми, весьма легко описываемые, позволяют провести анализ, слож- ность которого подчеркивалась в п.
2.7. Начнем с определения подходящих алгебр Генке. Зафиксируем меру Хаара ф на С (С является унимодулярной). Обозначим через Я(С) алгебру локально постоянных функций на С с компактным носителем относительно операции свертки: фФ(д) = ф(й) ф(й '«) «й. Если я — гладкое представление группы С в пространстве Ъ', то алгебра Я(С) действует на и' по формуле (фи ) = )' ф(а) (а)( )дй, уа где ф е Н(С) и е е 1 . Зафиксируем открытую компактную подгруппу Н в С и неко- торое гладкое неприводимое представление (рззумеется, конечномер- ное) р: и -1 сь(и').
(имеется вариант последующих рассуждений для случая подгрупп, компактных по модулю л .) Рассмотрим идем- потент ер в Я(С), определенный равенством )' чо)(К) 1с(цп(р)Тгр(х ') для х б Н, '(о для х 1с Н. Тогда ерус(С)ер есть подзлгебра в Я(С) с элементом ер в качестве единицы. Если представление я такое, как указано выше, его огра- ничение на Н полупросто и я(ер) есть проектор на изотипическую компоненту н' (р), которая, конечно, является модулем над еяН(С) ер . Имеется естественная биекция, отвечающая компоненте н'(р) в н', между классами изоморфизма гладких неприводимых представлений я: С -1 СЬ( н'), удовлетворяющих условию $'(р) ф О, и классами изо- морфизма простых модулей над ер'Н(С) ер .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
