Труды семинара Бурбаки за 1991 г (947404), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Зос. 37 (1988), 265-274. Кпсз1то РЬ., МапйегесЬеЫ П» Оп !псегм!и!п8 орегасогз Еог СЬ,ч(Р), Р а поп-АгсЬцпейеап !оса! йе!й, Пп!ге МасЬ. Л. 5Т (1988), 275 — 293. Кпсз!то РЬ., МапйегвсЬеЫ Пн Оп СЬе впрегспврЫа1 гергевепсаС!опз оЕ СЪтч, ЕЧ ргойпсс оЕ Смо рпшев, Апп. Зс!. Есо!е Ь(опп. Япр. 23 (1990), 39-88.
КосзЬо РЬ., Зайу А, Ог.), АИ впретспврЫа1 Еот ЯЬр очет а р-ай!с йе!й аге тпйпсей, Ргобгеез ш Маей. 40 (1983), 185-196. Ьап81апйв К. Р., РгоЫешв !п СЬе СЬеогу оЕ апсошогрЬ!с Еогшв, тп »Ьес- Спгез ш Мойегп Апа!уиз 1П", 1есС. Еьсосев ш МасЬ., чо!. 170, 1970, 18-86. МасйопаЫ 1., Зуптшеспс Еппсс!опв апй Най ро!упош!а)е, ОкЕогй, 1979.
[Имеется перевод: Макдональд И. Симметрические функции и мно- гочлены Холла. — Мс Мир, 1985.] Могпв Ь., Р-спер(йас гергевепСайопв, Ргос. Ьопйоп МасЬ. Зос. 57 (1988), 329 — 356; Р-спер!йа1 гертезепеаеюпв оЕ !ече! опе, Ргос. Ьопйоп МаСЬ. Зос. 58 (1989), 550-558. прбдстлвлбния рбдуктивных Р-Адичвских групп 185 [Мо2[ Мотив Ь., Таше1у гаш!Яей впрегспврЫа1 тергевепзаг!опв о1 поше с!мвка1 Зтопрв, ргернп!. Таше!у гзьпгдей впрегспврЫа! гертезепзаиопв о( гЬе с!ззз!са! Згопрв 1, 11, ргерт!пгв. [Моб] Могт!в 1 ., Рппйаьпепза! С-в!та!а 1ог г1азв!са! Згопрв, ргерппг 1Ая, 1990.
[МуЦ Моу А., Ьоса! сове!а!пзв апй !Ье !пыле Ьапб!апйв соггевропйепсе, Ашег. Л. МайЕ 108 (1986), 862-930. [Му2] Моу А., А соп)ее!иге оп пишша1 К-!урм 1ог СЛ о стет а р-айк бе!й, Сопгеьпр. МазЬ. 86 (1989), 249-254. [МуЗ] Моу А., Вергезеьиадопв о1 У(2, 1) обжег а Р-айьс беЫ, Л. Веьпе Апбеьт. МаФЬ. 373 (1987), 178 — 208. Вергевемадопв о( СЯрз отет а Р-ай!с бе1й 1, 11, Сошр. МаьЬ.
66 (1988), 237-328. Мш!ьпа! К-!урез Еог Сз отег а Р-айьс бе1й, Тгзпв. Апьег. Ма!Ь. Яос. 305 (1988), 517-529. [РВ] Ргмай С., ВаЗЬппазЬап М. Я., Торо!оЬбса! сепзта! ехьепвюпв оЕ зепи'- вьшр1е Згопрв отег !оса1 бе!йв 1, Апп. оГ Ма!Ь. 119 (1988), 143-201. [Ве] Вешег 1., Мах!пьа1 огйегв, Асайеш!с Ргевв, Ьопйоп, 1976. [Во] В.ой!ег Р., Вергбяеп!а!!опв йе СЛа(Р) ой Р евз ьш согрв р-ай!ь!пе, Ябш. ВоптЬаЬ1, ехровб и' 587, 14чг!ег 1982, Авыт!вь1пе 92-93 (1982), 201-219. [Вб] ВобазьзЬ! Л., Вергезешаиопв о1 СХ,(ть) апй йьпз!оп а18еЬгм стет а р-айк бе1й, 1упЬе МагЬ. Л. 50 (1983), 161-196.
[Тп] Тпппе!1 Л. В., Оп зЬе !осз! 1апб!апйз соп)ее!иге (ог СЪ(2), 1пчепс Ма!Ь. 46 (1978), 179-200. [Чо] Чобап ЛЛ., Вергезепьа!!опв оГ геа1 гейпсиче Ые Згопрз, В!тЬЬапвег, 1981. [Жа] %аЫврпгбег Л.-Ь., А!ЗЬЬгев йе НесЬе е! !пйп!Зев йе гергевепгадопв спзрнЫм ропг СЪ(ьЧ), Л. Ве!пе Апбезь. Ма!Ь. 370 (1986), 127 — 191. [Ее] Яе!ет!пвЬу А., 1пйпсей гергеаепзаь!опз о( гейпсггве р-ай!с Згопрв ЬЬ Оп !ггейпсьые гергевеп!адопв о1 СЦп), Апп. Яс!.
Есо!е !ь!отш. Япр. 13 (1980), 165-210. [2!] ЯшЬ Е. %., Вергезепгаз!оп !Ьеогу о( !оса1 йийвюп а18еЬгав 1, 11, ргерппз Кат)-%е!етзтгаб 1пвзип! 1бт МагЬ., Вег!!п, 1990. РАССЛОЕНИЯ ХИГГСА И ЛОКАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ'> Жозеф Ле Потье В 1965 г. Нарасимхан и Сешадри установили [28] взаимно однозначное соответствие между множеством классов эквивалентности унитарных неприводимых представлений фундаментальной группы я компактной римановой поверхности Х и множеством классов изоморфизма стабильных векторных расслоений степени О на Х: представлению р: а -+ Щг) они ставят в соответствие голоморфное векторное расслоение Ер — — Х х, С", где Х -+ Х есть универсальное накрытие поверхности Х; произведение над л означает факторпространство пространства Х х С' по следующему действию группы гг: у.
(х, 0) = (ху 1, уи), где 7 Е л, (х, п) Е Х х С". Недавно Дональдсон [6, 7, 9] распространил это соответствие на случай любого гладкого проективного многообразия, а Уленбек и Яу [36, 22] — на случай любого компактного кэлерова многообразия; существенное место доказательства составляет тот факт, что на любом стабильном векторном расслоении существует хорошая зрмитова метрика, которую некоторые авторы называют метрикой Янга-Миллса, а некоторые— метрикой Эрмита — Эйнштейна. Предмет работ К. Симпсона, которым посвящен этот доклад,— аналогичное соответствие для любых линейных представлений фундаментальной группы.
При этом, чтобы получить соответствие того же типа, что и у Нарасимхана и Сешадри, необходимо рассматривать голоморфные векторные расслоения с некоторыми дополнительными данными — так называемые расслоения Хиггса. Это понятие, введенное впервые Хитчином для алгебраических кривьпг [19], будет разъяснено в равд. 2. Построить алгебраическое векторное расслоение, снабженное структурой Хиггса, по представлению х -+ Сй(г, С) не так просто, как зто было сделано выше для унитарных представлений,— для этого нужно вводить хорошие метрики.
В основе пешего изложения — понятие гармонического расслоения (см. равд. 1), введенное в близкой форме Симпсоном [32]. Основной результат Симпсона [29-31], базирующийся частично на результатах Корлетта [4] и особенно Дональдсона [6-8], — эквива- '!1е Роиег зоверЬ. г!Ьгев г!е й!90в е! вуввагоев !осаох. — 00го!пыге ВоогваЫ, 1990-91, о'737, Авмпвоое, 201-202-203, 1991, р.
221-268. РАССЛОЕНИЯ ХИГГСА И ЛОКАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ 187 лентность трех категорий: категории линейных представлений фундаментальной группы гладкого проективного многообразия, категории плоских расслоений и категории полустабильных расслоений Хиггса с нулевыми классами Черна Это выражается при фиксированном ранге г в существовании трех грубых пространств модулей Мн(г), Мол(Г) и Мпм(Г), соответствующих таким объектам; эти алгебраические многообразия имеют одинаковые множества замкнутых точек, но разные алгебраические структуры. В то же время первые два пространства имеют одну и ту же подлежащую аналитическую структуру: уже для г = 1 мы приходим к классическим примерам Серра неиэоморфных алгебраических многообразий, которые аналитически изоморфны.
Конструкция этих многообразий модулей, намеченная в равд. 5, использует, как это теперь принято, теорию Мамфорда, которую мы вкратце напомним. На многообразии Мпм (г) естественным образом действует группа С*; неподвижные точки этого действия соответствуют представлениям определенного типа — так называемым вариациям структур Ходжа. Неподвижные точки очень полезны для получения информации о топологии пространства модулей: мы увидим это на примере кривых в разд. 7. Мы совсем не касаемся части работ Симпсона, относящейся к не- компактным кэлеровым многообразиям [29, 34].
В этом случае нужно преодолевать дополнительные трудности, в то время как для проективных многообразий работает метод Дональдсона, существенно использующий индукцию по размерности при наличии соответствующего обобщения теоремы Мехты-Раманатхана (см. равд. 4). В дальнейшем алгебраическое многообразие означает схему конечного типа над С; точки — это замкнутые точки. Пусть Х— проективное гладков многообразие размерности и, снабженное очень обильным линейным расслоением О(1) . 1.
ГАРМОНИЧЕСКИЕ РАССЛОЕНИЯ Рассмотрим комплексное векторное расслоение Е ранга Г класса С на Х, снабженное эрмитовой метрикой (, ); обозначим через А'(Е) пространство дифференциальных 1-форм класса С" со значениями в Е. По определению С -связность на Е есть С-линейный оператор Х): Ав(Е) -+ А'(Е), удовлетворяющий правилу Лейбница О(Ув) = (4)в+ 10в для в Е Ав(Е), у Е С '(Х). Каждой такой связности )2 можно сопоставить другую связность Й по формуле 188 Жозеф Ле Потье где в, 1 — сечения класса С' расслоения Е, а (, ) в правой части означает продолжение эрмитовой метрики на дифференциальные формы.
Связности образуют аффинное пространство А над векторным пространством А'(Епй(Е)) дифференциальных 1-форм со.значениями в расслоении эндоморфизмов расслоения Е, и отображение Р е-е Р есть аффинная инволюция пространства А, причем соответствующее линейное касательное отображение — зто ы ье -оз', где ы' — сопряженная к ы е А (Епй(Е)) дифференциальная форма. Связность Р называется эрмитовоз1, если она инвариантна относительно этой инволюции. Любая связность однозначно представляется в виде Р = 17 + а, где 17 — эрмнтова связность, о Е А'(Епд(Е)), а = а'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
