Труды семинара Бурбаки за 1991 г (947404), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Тогда второй двойственный пучок Р" локально свободен и /я-стабилен, так что для него выполнено неравенство Богомолова и Любке (следствие предложения 1) сг — сг(г — 1)/2г > О, а также равенство с! . Ь = О. Так как форма пересечения отрицательна на ортогональном дополнении к Ь, получаем сг — стг/2 > — сгт/2т > О, что вместе с предположением теоремы влечет за собой равенство сг — сг/2 =О для расслоения Р". Согласно теореме 1, ему отвечает гармоническое расслоение; в частности, его классы Черна равны нулю. Следовательно, Р Р" и Р локально свободен.
Для когерентного пучка Р с классами Черна с! положим, как обычно, сЬг(Р) = сгт/2 — сг, если Р есть р-стабильный пучок Хиггса с наклоном р = О, то, как мы видели, сЬг(Р) ( О. Если Р лишь р-полустабилен, у него имеется фильтрация подпучками Хиггса Р;, такая, что дт! = Р;/Р! ! является р-стабильным пучком наклона р! = О, и тогда О = сЬг(Р) = ~сйа(дг!). Жозеф Ле Потье Следовательно, сЛз(дг<) = О и из первой части вытекает, что де<в расслоение Хвттса с классами Черна с< = О. 3. В общем случае применяем индукцию по размерности. Согласно предложению 3, можно предполагать, что для подходящей гладкой гиперповерхности У б )бх(д)) ограничение (Р(у,ду) есть р-полустабнльный пучок Хиггса и что Р"'~у (Р)у)".
По предположению индукции С = (Р~у)*' обладает фильтрацией, присоединенные градуированные факторы которой являются прямыми суммамн р-стабильных расслоений Хиггса с классами Черна с; = О, и канонический морфнзм Р)у -+ (Р~у)"' является изоморфизмом вне замкнутого подмножества коразмерности > 3. Пусть д — точка гиперповерхностя У; по теореме 3 с< отвечает некоторому представлению фундаментальной группы я<(У, д); так как дипХ > 3, то по теореме Лефшеца включение У ь Х индуцирует изоморфизм тт<(У, д) тг<(Х, д), что позволяет продолжить расслоение Хиггса б до расслоения Хнггса Н на Х. Семейство р-полустабильных пучков Хиггса с фиксированными рангом и классами Черна ограничено (см.
следующий раздел); из леммы 5 тогда следует, что при подходящем выборе д изоморфизм Р")у Н)у продолжается до изоморфизма Р" Н. Лемма Накаямы показывает, что носитель коядра канонического морфизма Р— ь Р*' пересекает У по замкнутому подмножеству коразмерности > 3; поэтому он также имеет коразмерность > 3. Теорема доказана. Следствие 1. Пустиь Р естпь р-полдсп<абильное расслоение Хиггса с к юссами Черна с<, <какими, чтпо — — сг .
Л" = О. с .Л вЂ” О Тогда Р происходитп из плоского расслоения. Следствие 2. Нустпь Р естпь р-полдстабильныб пучок Хиггса с классами Черна с< = О. Тогда Р локально свободен и происходитп из плоского расслоения. Действительно, из предположения следует, что Р и Р'" имеют один и тот же полинам 1ильберта; поэтому канонический морфизм Р ~ Р*', инъективный в силу отсутствия кручения у Р, является иэоморфизмом. 5. ПРОСТРАНСТВА МОДУЛЕЙ Мв, Мп.<, Мпн Пространство модулей Бетти.
Пусть х Е Х; фундаментальная группа х = тт<(Х, х) есть группа конечного типа; поэтому на про- РАССЛОЕНИЯ ХИГГСА И ЛОКАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ 205 странстве представлений ть = Нот(я, СВ(т, С)) имеется естественная структура аффинного алгебраического многообразия. Действительно, пусть ( уь,..., Ть) — система образующих группы я „тогда я представляется в виде ь/Л/, где .С вЂ” свободная группа с й образующими, а Л/ — подгруппа соотношений между ними, которая сама порождена ! образующими. Отображение Н -+ СБ(т, С)ь: р ~+ (Аь = р(. я))1=к...,ь отождествляет Н с замкнутым подмногообразяем в Ж(Г,С)" — прообразом единичного элемента при морфиэме СВ(т, С)" -+ Щт, С)', отвечающем этим соотношениям.
Можно проверить, что так определенная структура не зависит от выбора представления группы я образующими и соотношениями. Па многообразии Н действует сопряжениями группа СВ(т, С), и поскольку она редуктнвна, по теореме Гяльберта алгебра инвариантов О(Н)пь(" О1 имеет конечный тип, так что определено аффинное многообразие И (т) = В/~аЦт, С). Множество замкнутых точек из Мв(т) соответствует множеству замкнутых орбит группы СВ(т, С): проверяется, что замкнутые орбиты — это в точности орбиты полупростых представлений. Включение О(Н)ОЦ'О1 ь О(Н) определяет морфиэм Н -~ Мв(т), который описывается следующим образом: любое представление р обладает возрастающей фильтрацией р1 С С рь = р, такой, что дт<(р) = р;/р; 1 неприводимы; р переходит в точку, отвечающую полупростому представлению дт(р) = Щ, дт;(р), ь Заметим, что зто пространство модулей, называемое пространством модулей Бетти, можно определить для любого топологического пространства с фундаментальной группой конечного типа.
Геометрическая теория ииварнантов (27). Пусть С вЂ” редуктивная группа, действующая линейно на векторном пространстве Ит, Р(рт') — проективное пространство прямых в Ит, а А с Р(И')— его С-инвариантная замкнутая подсхема. Точка х Е А называется полустлабяльяоб относительно действия группы С, если существует однородный С-инвариантный полянам на И', не обращающийся в нуль в точке х. Точки х Е А, полустабнльные относительно действия группы С, образуют открьпое подмножество А". Точка х Е А" называется с~вабкльяоб, если она полустабильна и, кроме того, морфием д ~+ дх: С ~ А" является собственным. Можно построить проективное многообразие В н С-эквивариантный морфием я: А" -ь В (действие С на В тривиально), удовлетворяющие следующему свойству универсальности: для любого С-эквивариантного морфизма /: А" -+ Жозеф Ле Петье С в многообразие С с тривиазьными С-действием существует единственный морфизм д: В -+ С, такой, что д е х = у; более того, зто свойство сохраняется при замене базы.
Морфизм и сюръективен, аффинен и переводит два непересекающихся 6-инвариантных замкнутых подмножества в два непересекающихся замкнутых множества. Множество стабильных точек А' есть прообраз некоторого открытого подмножества В' С В. Имеется следующий удобный критерий полустабильности и стабильности точек относительно действия О. Пусть А: С' -+ С— некоторая однопараметрическая подгруппа в С; тогда имеется разложение $Ф' = Щ„ах И~„, где И'„= (и Е И' ~ А(з).
и = 1"и). Любая точка х Е Р(И~) представляетсл некоторым вектором и = ~„„ие, и пусть д(А, х) = Ы(н, и„ф О) . Тогда имеет место эквивалентность х позустабильна (соотз. стабильна) е=ь р(А, х) < 0 (сеато. < О) длз любой А, Используя этот результат, можно, например, найти полустабильные точки грассманиана Сг = Сгазз(Н Э С", з) факторпространств К пространства НЭС" размерности з относительно действия 31 (Н) — это такие факторпространства К, что для любого подпространства Н' С Н дйщ К' дпп К бппН' йыН' где К' обозначает образ пространства Н'З С" в К.
Пространство модулей когерентиых пучков. Мы говорим, что алгебраический когерентный пучок Р на Х имеет размерность б, если такова размерность его носителя. Пучок размерности д называется разноразмерным, если у него нет когерентных подмодулей размерности < Ы. Для Ы = н мы получаем пучки без кручения, для «з = 1 — пучки Коэна-Маколея размерности 1. Полинам ГЪльберта когерентного алгебраического пучка Р размерности д записывается в виде з Рг(т) = Х(г'(и)) = ~~ С, +; Хе, з=о где Хе = Х(г1у,.) — эйлерова характеристика ограниченна пучка г' на пересечение з гиперплоскостей общего положения У».
Козффипи- ент т = уз называется кратностью. Если Š— пучок без кручеюы, то т = ганя(Г) . бея(Х); число Хз з . Йеб(Х)/г есть не что иное, как РАССЛОЕНИЯ ХИГГСА И ЛОКАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ 207 наклон, определенный в равд. 2, с точностью до константы, не зависящей от Р. Говорят, что когерентный алгебраический пучок Р размерности д и кратности т полустпабилен (соотв. стпабилен), если выполнены следующие два условия: (а) пучок Р разноразмерный; (б) для любого ненулевого когерентного подмодуля Р' С Р кратности т' < т справедливо неравенство Рр РР / ВР РР 1 — < — (соотв.
—, < — ). т-т (, 'т т) В этом неравенстве считается, что полнномы упорядочены лексикографически по коэффициентам, начиная с членов более высокой степени. Аналогично определяется понятие д-полустабнльного (соотв. р-стабильного) пучка — надо заменить поливом Гильберта на коэффициент Хе ь. Очевидны следующие импликации: р-стабильность =~ стабильность Ф д-полустабильность ~ полустабильность Для когерентных пучков без кручения получаются классические определения Гнзекера [12] и Маруямы (24]. Лемма 6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
