Труды семинара Бурбаки за 1991 г (947404), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Эти две операции взаимно обратны 117, упр. 5.17]; полиномы Гильберта пучков Р и С одинаковы, и подмодули Хиггса в Р отвечают когерентным подмодулям в С. Следовательно, понятия полустабильности и стабильности согласованы. Лемма доказана. Когерентные модули на Т' с носителем, собственным над Х, можно рассматривать как когерентные модули на Х, носитель которых не пересекается с дивизором на бесконечности Р. Поэтому 212 Жозеф Ле Потье если рассмотреть открытое подмножество (р' С Мх(Р) классов эквивалентности полустабильных пучков с полиномом Гильберта Р, носитель которых не пересекает Р, то мы получим квззипроективное алгебраическое многообразие, которое удовлетворяет.
свойству универсальности грубого многообразия модулей. Положим тогда Михее (Р) = (е'. Обозначим через Ро полипом Гильберта для Ол . Пусть т — целое число; пространство модулей Мщрре(гРо) содержит открыто-замкнутую подсхему классов Я-эквивалентности полустабильных пучков ранга г с нулевыми классами Черна. Следуя Симпсону, обозначим эту компоненту через Мпм(г) . Как мы знаем нз следствия 2 теоремы 4, точки этой компоненты представляются прямыми суммамн д-стабильных расслоений Хиггса с классами Черна с; = О.
Пространство модулей де Рама, Мы хотим построить алгебраическое многообразие, параметризующее плоские расслоения на Х. Задать такое расслоение — это значит задать пару (Е, Р), состоящую иэ алгебраического векторного расслоения Е и регулярной связности Р: Е -+ П' Э Е, удовлетворяющей условию интегрируемости Рз = О. Регулярная связность — это то же самое, что расщепление точной последовательности О -+ П' З Е -+ р'Е -+ Е -+ О, где 1Я Е вЂ” расслоение струй первого порядка. Для фиксированного Е пространство интегрируемых сюрностей можно рассматривать как замкнутую подсхему векторного пространства Нощ(,71Е, Пз В Е): уравнения, которыми она определяется, выражают условия расзцецления и интегрируемости.
Лемма 9. Семейство алгебраических векторных расслоений, ноолехсащих плоским расслоениям ранга г, ограничено. Доказательство. Достаточно показать, что семейство неприводимых плоских расслоений ограничено. Пусть (Е, Р) — такое расслоение; рассмотрим фильтрацию Хардера-Нарасимхаиа (Р;),-к.,,я для Е и обозначим через др наклон присоединенного фактора дгр = Рр/Рр з . Связность индуцирует Ох-линейный оператор Рр -+ П' ез Е/Рр, который является ненулевым для 1 ( з ( Й, так как в противном случае Р; был'бы Р-инвариантным подмодулем, локально свободным, согласно результатам Делиня [5, я)зеогеще 2.23], т.е. определял РАССЛОЕНИЯ ХИГГСА И ЛОКАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ 213 бы плоское подрасслоение, что противоречит нашему предположению о неприводимости.
Поэтому твваь(Рт) < п,„(й') + р,„(Е(Рт), т.е. оч-1в;~т ( р~,„(й'). Следовательно, р,„(Е) — д„,,(Е) ( тр,„,„(й'). Поскольку полинам Гильберта фиксирован, вариант уже использовавшейся леммы 6 позволяет заключить, что семейство расслоений Е ограничено. Любое плоское расслоение Е на Х имеет возрастаюшую фильтрацию Р; плоскими подрасслоеннями, такую, что дт; = Р;/Рт т неприводимы; градуированное расслоение дт(Е) = Щтдт; не зависит от фильтрации с точностью до изоморфизма. Два плоских расслоения Е и Р нззываютсе Я-эквивалентными, если дт(Е) дт(Р) .
Пусть т — целое число. Для любого алгебраического многообразия Н рассмотрим множество 2тл рн(т)(5) алгебраических когерентных пучков Р на Нх Х, снабженных относительной свЯзностью Ю: Р -ь й~~„х1ЛЗР, удовлетворяющей условию интегрируемости 11~ = О, таких, что Р, имеет ранг т для любой точки в Е 5. Теорема 7. 1. Длл функтпора Мрп(т) сушестпвуетп грубое простпранстпво модулей Мрл(т), тпочки котпорого суть классы В-эквиваленптностпи плоских расслоений.
2. Многообразие Мрл(т) квазипроекптивно. 3. Классы изоморфизма неприводимыя плоскит расслоений отлвечаютп отпкрьппому подмножестпву в Мрп(т) . Набросок докаэатлельства. Пусть, как и вьппе, Р = тРо, Лт — достаточно большое целое чясло и Н вЂ” комплексное векторное пространство размерности Р(Н) . Рассмотрим множество троек (Е, о, В), где Š— алгебраическое векторное расслоение, ат Н -ь Нв(Е(Н)) — изоморфиэм и,0 — интегрируемая связность на Е. Можно определить алгебраическое кведипроективное многообразие А ь ЯПЪ(Н З 0( — дт), Р), параметризующее такие тройки.
Мы объясним, как снабдить это многообразие А поляризацией. Обозначим через П алгебру скалярных дифференциальных опера торов на Х; на ней есть две очевидные структуры Стх-модуле. Интегрируемая связность на локально свободном пучке Š— это то же самое, что структура ьт-модуля на нем: если задана такая структура, то связность Р задается формулой (Юв, С) = С . в, где С вЂ” локальное векторное поле, а в — локальное сечение расслоения Е; согласованность со скобкой обеспечивает правило Лейбница и интегрируемость. Рассмотрим О-подмодуль Зт дифференциальных операторов порядка < т.
Если Е есть Э-модуль, то имеется морфизм Э, ЗО„Е-ьЕ, Жозеф Ле Пьтье 214 где в тензорном произведении рассматривается правая Ох-структура на П»; его композиции с морфизмом вычисления сопоставляет любой точке (Е, а, Ю) из А некоторый фактормодуль модуля ь» Эсз„(Н Э Ох(-»з')) . Таким образом получается погружение А -+ Н» = НИЬ(Э» Эс»„(Н Э Ох( — Ф)), Р) . Группа Я1(Н) действует на Н», и А есть локально замкнутая ЯЦН)-инвариантная подсхема в Н;. Лемма 7 позволяет определить (для подходящей поляризации) открытое подмножество Н полустабильных точек относительно действия ЯЬ(Н): Симпсон показывает что А» Нзл для достаточно большого Н и з > г (31, 1ешша 4.5]. Таким образом, получаем морфием А -+ Н;з/Ы(Н). В тех же предположениях доказывается, что А есть прообраз локально замкнутой подсхемы в Н»7' Я1 (Н): зта подсхема и есть грубое пространство модулей Мпя(г) . Сравнение трех пространств модулей.
Три алгебраических многообразия Мв(г), Мпь»(г) и Мря(г) имеют одинаковые множества замкнутых точек; однако они различаются как алгебраические многообразия. Тем не менее К. Симпсон доказал следующий результат: Теорема 8. (1) Пусть Мя™(г) и Мочи(г) — подлежащие комплексные аналитические простпранства длл Мв(г) и Моя(г) соответсп»венно. Имеет место изоморфиэм Мпь" (г) Мь"я(г), (2) Подлежащие тополоеические пространства (с обычной топологией) длл Мв(г) и Мпь»(г). еомеоморфны. Пример: случай г = 1. Изучим случай расслоений ранга г гл 1 на римановой поверхности Х.
Тогда Мв = Н'(Х, С') = С'зв — аффинное многообразие размерности 2д. Естественная проекция Моя -+ дас(Х) многообразия модулей Моя на лкобиан дас(Х) линейных расслоений степени 0 является аффинным расслоением со слоем й» (Х), которое можно описать следующим образом: рассмотрим точную после»(овательность абелевых групп б- а'(Х)- Н'(Х,С )- Н»(Х,О.). РАССЛОЕНИЯ ХИГГСА И ЛОКАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ 215 Образ последней стрелки — якобиан; таким образом, Н'(Х, С') является тотальным пространством комплексно-аналитического расслоения на аффинные пространства над,7ас(Х) со структурной группой й'(Х) .
Многообразие Уас(Х) проективно, так что по теореме сравнения Серра это расслоение в действительности алгебраическое; таким образом тотальное пространство Н'(Х, С') наследует структуру алгебраического многообразия — это и есть Мол. Как заметил Серр, это алгебраическое многообразие не является аффинным, хотя оно аналитически изоморфно С'зе; итак, Мв ф Мол. Наконец, запишем С' = ТУ х К+, где 11 — группа комплексных чисел модуля 1; включение Н'(Х, С) > Н'(Х, С') индуцирует изоморфизм Н'(Х, У) Уас(Х) и, следовательно, расщепление Н'(Х, С') Уас(Х) х й'(Х) . Многообразие Мр,1 есть произведение Уас(Х) х й'(Х); таким образом, Мй",~ ф Мв" = МЯ: действительно, Мо", содержит компактные аналитические подмногообраэия положительной размерности, а следовательно, не является многообразием Штейна.
Замечание, Можно построить плоский морфизм алгебраического многообразия УР в аффинную прямую А', такой, что его слой над любой точкой Л ~ О кэоморфен Мод(г), а его слой над О изоморфен Мом(г). Для этого нужно, следуя Делиню, ввести понятие Л-связности на алгебраическом векторном расслоении Е: это такой С-линейный оператор Р: Š— > й' Э Е, что Е(уя) = Л ф ® я + у Ве и Пз = О, где у — локальная регулярная функция, а я — локальное сечение расслоения Е; другими словами, это дифференциальный оператор й первого порядка с символом Лм(о1ин, такой, что йэ = О. Таким образом, многообразие модулей Мом (т) можно рассматривать как специализацию многообразия модулей Мол(г) . б.
ДЕЙСТВИЕ С' Каждому семейству (Р„д,),ея полустабильных пучков Хиггса с полиномом Гильберта Р на алгебраическом многообразии 5 отвечает семейство (Р„ФО,)1ьбеО. „я полустабильных пучков Хиггса на С' х Š— эта конструкция определяет морфизм С' х Е -+ Мн,, (Р) . Многообразие Мн;,(Р) получается факторизацией по действию группы Я,(Н) открытого подмножества У схемы Гильберта, на котором имеется универсальный пучок Хиггса (Р, д); таким образом, можно взять о' = У и получить эквивариантный морфизм С' х У ~ Мним(Р), который пропускается через некоторый морфием С х Мним (Р) "+ Мним(Р) . Жозеф Лв Потьь Можно проверить, что так получается действие группы С" на Мнчдде (Р) ° Неподвижные точки. Для простоты мы ограничимся изучением неподвижных относительно действия С' точек на многообразии Мпм (г) ° Предложение 4.
Точка р к Мрм(г) лвллетсв менодвилсноб одлносительмо действия С' тогда и только двогда, когда она соответствует расслоению Хиггса вида Е =.®д+ г), где г'; — алгебраичеь скис подрасслоенив расслоения Е и Доказательство, Напомним, что каждая точка р ч Мп 1(г) представляет некоторую прямую сумму (Е, В) = гну (Е>., В ) стабнльных расслоений Хиггса с нулевыми классами Черна. Если точка р неподвижна относительно С', то (Е, В) (Е, дд) для любого 1 б С"; выберем й, не являющееся корнем из единицы, и обозначим через д такой изоморфизм. Для любого векторного полл ( над открытым подмножеством У рассмотрим морфизм Вд = (с, В).
Тогда имеется коммутативная диаграмма Š— ' — ь ŠŠ— ' — ~ Е Характеристический полинам нзоморфизма д, очевидно, имеет постоянные коэффициенты; пусть Л вЂ” собственное значение изоморфизма д кратности р. Тогда $~1 = Кег(д — ЛЫн)д — подрасслоение ранга р в Е и Вг(Ъь) С уы. Следовательно, если 1Л не является собственным значением для д, то Вс(Ъ~) = 0 для любого с. Пусть Л вЂ” множество собственных значений изоморфизма д, а Л; С Л вЂ” подмножество таких собственных значений Л, что 1Л,..., Фд 'Л б Л, ИЛ ф Л. Таким образом, получается разбиение множества Л; положим Ро = 0 и для д>О Аел; Тогда В(г)) С й1 Э Гд 1.
Обратно, если задано разложение Е Щ, 1г),такое,что В(г)) С й'®гд 1,положим дд)р,. = ьь 'Ыр, Ясно, что дд определяет изоморфизм (Е,В) (Е,1В). РАССЛОЕНИЯ ХИГГСА И ЛОКАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ 217 Вариации структур Ходжа. Назовем (комплексной) вариацией структур Ходжа (веса т) на Х набор данных, состоящий из прямой суммы У = ® +, УРв векторных С~-расслоений, плоской связности Р на 1'. 4о(ур в) > 41(ур в) е, 4кв(ур-ко+1) т ~од(ур+цв-1) в ~р Рв = (7в, дв, О'в), и эрмитовой формы й на У, удовлетворяющих следующим условиям: (1) разложение расслоения У в прямую сумму являетсяортогональным относительно Л; (2) зрмитова форма ( — 1)РЬ положительна н невырожденна на УР в; (3) связность Р согласована с А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
