Труды семинара Бурбаки за 1991 г (947404), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Понятие вариации структур Ходжа было впервые введено ф. А. Гриффитсом (14], который рассматривал такие наборы данных с дополнительным ограничением: на У должно существовать сопряжение. Основной пример связан с изучением структур Ходжа семейств гладких проектнвных многообразий, вложенных в Р~. Более точно, пусть 7': У -> Х вЂ” гладкий морфизм проективных многообразий, вложенный в относительное проективное пространство Х х Р~~; рассмотрим С~-расслоение У, отвечающее локальной системе вс~7,(С)в — примитивной части высшего прямого образа; разложение Ходжа дает изоморфизм 1 = Н-У.(С)о Е Сх = ® Н'У.(ПР, )о Эоя Сх р+в=ю (индекс 0 означает примитивную часть, а Сх — зто пучок С' -функций на Х).
Обозначим через ю относительную кэлерову форму, индуцированную вложением в относительное проективное пространство над Х. Эрмитова форма 6 на У определяется на слое У, формулой А(а, Л) =1"' / ОА ЛАю" "' ву. для а, )3 из Напп (У )о, пространства гармонических примитивных форм степени т на У„которое отождествляется со слоем локальной системы Н 7,(С)в над х. Связность Р, называемая связностью Гаусса-Манина, задается локальной системой, а дифференциальная форма у возникает в силу теоремы трансверсальности Гриффитса. Теорема 9. Нсподвижныв точки действия С' на Мпы(г) отвечают расслоениям Хигвса, которые происходят из вариаций структур Ходжа. 218 Жозеф яо Потьо Доказательство (набросок).
Рассмотрим вариацию структур Ходжа (У = ® Уоо, О, Л) и зрмитову метрику К, равную ( — 1)зЛ на Уо о. Связность У эрмитова относительно К, а дифференциальная форма В' сопряжена к В относительно этой метрики. Условие интегрируемости Ю~ = 0 с учетом разложения Аз(у) = ® Атл(ужь) т-~-т=э о+д=т приводит к тому, что оператор Ро = 17од + В определяет структуру Хиггса на У, н, поскольку В(Уо о) С П~(Ут 1 о+'), точка (У, В) неподвижна относительно действия С'.
Чтобы доказать обратное, заметим, что все сводится к случаю стабильной точки (Е, В), неподвижной относительно С'; тогда надо доказать существование метрики Янга — Миллса, для которой разложение Е = 9,, В) из предложения 4 ортогонально. Для этого достато що ь заметить, что если зто разложение ортогонэльно для начальной метрики К в уравнении теплопроводности (7) Н вЂ” = — ВЛР , ВН Вт н~ то зто же верно и для решения Ф ь+ Нс, и для предела Н, . Таким образом, получаем гармоническое расслоение. Остается поменять знак метрики на факторах Р1ч чтобы получить вариацию структур Ходжа веса Й вЂ” 1.
Морфизм Хитчина. Пусть Р— полипом степени и. Следуя Хит- чину [19, 20], рассмотрим морфизм 'у: Мн1з . (Р) -+ ® Н~(ВуоГЩ)), сопоставляющий пучку Хиггса (Е, В) коэффициенты з<(В) характеРистического полинома т'+2 ',ы, з;(В) 1" ' опеРатоРа В. Э самом деле, Е без кручения и вне замкнутого подмножества коразмерности > 2 В локально представляется матрнцей регулярных дифференциальннк 1-форм, так что можно вычислить коэффициенты з;(В) характеристического полинома и продолжить их до регулярных сечений на Х. Предложение б. Мору4изм ~ является себе~военным.
Доназатиельствво. Рассмотрим гладкую кривую С с отмеченной точкой О и положим Н = С '1 (О). Надо показать, что если з ь+ а(з) оь РАССЛОйНИЯ ХНГГСЯ И ДОКЯЛЬНЫй СИСтнЫЫ 219 (Е„й,): У -+ Мнтзз,,л(Р) — такой морфиэм, что у о о продолжается на С, то и а продолжается на С. Положим ат = зт(а); это сечение продолжается на С; рассмотрим функцию а: С х Т' -т Яутп'(й)т), определенную формулой а(з, 1) = 1" + 2 '; т' тот. По теореме Гамильтона-Коли а(з, й,) = О для з ~ О.
Рассмотрим в обозначениях равд. 5 полустабильный пучок Р, на Е, отвечающий а(з) = (Е„а,); эти пучки образуют плоское семейство на Ст х 2, причем их носитель содержится в замкнутом множестве 1т(а) С С х Т" нулей функции а (так как соответствующий морфием Р, -+ Еупт'(Птх) чт Р, равен нулю). Ио мы знаем, что пространство модулей Мх(Р) собственно; поэтому существует предел Ро = 1пп,- оР,. Из плоскости следует, что носитель пучка Ро также содержится в т'(а), в частности, он не пересекается с дивиэором на бесконечности Р.
Таким образом, морфизм а продолжается на С. Следствие 1. Пустпь (Р, й) — полустпабильный пучок Хигзса с поли- номом Гильберта Р; тпозда 1ттт- о(Р, сй) сущестпзуетп е Мн'зт,(Р) и яеллетпсз неподзижной тпочкой отпноситпельно дейстпзил С'. Следствие 2. Пюбое линейное предстпазление фундаменптальной ~руины мноеообразия Х можно непрерыено проде4ормирозапть е предстпаеление, происходящее из вариации стпруктпур Ходжа. Докаэаптельсптео. Имеется гомеоморфизм (для обычной топологии) Мн(г) Мо,т(т); таким образом, любая связная компонента пространства Мн(г) содержит точку, происходящую иэ вариации структур Ходжа.
В пространстве представлений ть связные компоненты замкнуты по Зарисскому и не пересекаются; поэтому их образы в Мв(г) — непересекающиеся замкнутые подмножества, которые, следовательно, являются компонентами связности. Таким образом, в любой компоненте связности пространства Е найдутся точки, отвечающие вариациям структур Ходжа. 7. РАССЛОЕНИЯ ХИГГСА НА КРИВЫХ Для расслоений Хиггса ранга 2 нечетной степени на кривой Хитчин вычислил в [19) числа Бетти соответствующего пространства модулей Мш, (Р) . В этом случае все точки стабильны, а пространство модулей гладко, Это вычисление следует классической идее использования С'-действия; Симпсон использует это действие для доказатазьства неприводимости пространс'гва модулей Мпьт (г) (в случае, когда это многообразие может быть и особым).
Жозеф Ль Пьтье 220 Теорема 10. Пустпь Х вЂ” кривая рода д > 2. Тогда простпранстпво модулеб Мрм(т) лвляепьсл неприводимым многообразием и имеет размерноспьь 2 (тз(д — 1) + 1) . Аналогичный факт имеет место и для' Мв(т) и Мря(т) . Нам потребуется следующий результат, который справедлив для многообразия Х размерности и. Пусть (Е, д) — расслоение Хиггса ранга т, а (.Е', — 9) — двойственное расслоение Хиггса, где д — регулярная дифференциальная 1-форма со значениями в Епй(Е'), полученная из д транспонировзнием.
Тогда (а) Нрвм(Ох) = С; спаривание Е х Е' -ь Ох согласовано со структурами Хиггса и индуцирует двойственность Пуанкаре-Серра Нрм(Е) — Нзрм '(Е')"; (о) эйлерова характеристика расслоения Е, заданная формулой том(Е) = ~ (-1)' й(та Нр„(Е), связана с классической эйлеровой характеристикой Ь,р(Х) формулой Хрм(Е) = тХыр(Х). Доказательство теоремы 10 разбивается на две части: локальная неприводимость и связность, которым посвящены приведенные ниже предложения 6 и 7. Предложение 6.
Если Х вЂ” кривая, пьо аналипьическое проспьранство Мр"„(т) локально неприводимо. Это утверждение следует из локального описания пространства Мр'",,(т) . Пусть (Е, д) — расслоение Хиггса на кривой Х, являющееся прямой суммой стабильных расслоений Хиггса степени О, Епй(Е) — расслоение Хиггса эндоморфизмов расслоения Е и Епйв(Е) расслоение эндоморфизмов с нулевым следом. Имеется квадратичная форма д: а ь+ а Л а = -' [р, а], Нрм(Епй(Е)) -ь Нр ~(Епйо(Е)) ° Рассмотрим конус Г С Нр~м(Епй(Е)), заданный уравнением д(а) = О.
Группа АпФ(Е) автоморфизмов Хиггса действует на Г сопряжениями; с аналитической точки зрения в окрестности точки Р 6 Мр~ы(т), отвечающей расслоению (Е, д), имеется изоморфнзм ростков анаяитических пространств ~р: (Г/Аиг(Е), 0) и — (Мрм(т), р) . РАССЛОЕНИЯ ХИГГСА И ЛОКАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ 221 Это — результат общей теории деформаций, развитой Шлессингером и Сташефом, Делинем, Гольдманом и Миллсоном [13]. По двойственности Пуанкаре-Серра пространство Нпэ,1 (Епйв(Е)) дуально пространству эндоморфизмов Хиггса с нулевым следом расслоения Е; в частности, если (Е, д) стабильно, то это пространство равно нулю, а группа автоморфизмов есть С* и действует тривиально.
Это дает гладкость Мом(т) в окрестности стабильной точки, причем размерность в окрестности такой точки равна йшН~пм(ЕпЫ(Е)) = — ком(Епй(Е)) + 2 = 2т~(д — 1) + 2. Если Š— прямая сумма стабильных расслоений Хиггса степени О, Е=®Е]', Ф то морфизм о можно явно вычислить, выбрав базисы в пространстве Нр~м(Нот(Е;, Е;)) и представляя элемент вз Нр',1(Епй(Е)) набором матриц.
Тогда утверждение сведется к доказательству результата такого типа: если а1,..., аь, бю..., Еь — квадратные матрицы, то многообразие, определенное уравнением [а;,Ь;] = О, ьм неприводимо [31]. Предложение Т. Если Х вЂ” криввл, тв многообразие Мпм(г) свлэио. Здесь подключается действие С'. Напомним (см. равд. 5), что М = Мо,~(т) вкладывается в проективное пространство Р(И') (проективное пространство прямых в некотором векторном пространстве И') н действие С продолжается до линейного действия С' -~ СЦИ').
Зэпишем разложение И' = Щ И', где И' — собственное подпространство характера $ ~+ $ . Множество неподвижных точек этого действия есть несвязноеобъединениелинейных многообразий Р(Ив). Для г Е Р(И') обозначим через хе (соотв. г ) предел $г при Ф -1 О (соотв. Ф -~ оо), а через ае(г) (соотв. авв(г)) единственное целое число и, такое, что ге Е Р(И'в) (соотв. г, Е Р(И' )) . Тогда ае(г) ( о,(г), причем равенство имеет место, только если г — неподвижная точка. Согласно теореме собственности (предложение 5), если г Е М, то и ге Е М. С другой стороны, рассмотрим замкнутую подсхему Жозеф Ле Пезее Л с М, отвечающую классам расслоений Хиггса (Е, 0), где Е— полустабильное расслоение степени 0; она отождествляется с многообразием Нарасимхана и Сешадри (28] и является, таким образом, собственной и неприводимой.
Очевидно, что все ее точки неподвижны относительно С'. Лемма 10. Пусть у к М вЂ” неподвижная я»очка. Если у у Лl, пзо набдетсл тпочка з ЕМ, я фу, к»акал, чпзо г =у. Из этого утверждения сразу следует связность: допустим, что существует компонента связности М' С М,которая не пересекает ЛГ. Пусть а' — наименьшее из чисел е»о(х') для х' е М'. Эта нижняя грань достигается в некоторой неподвижной точке у ч М', у ф ЛГ.
Согласно лемме, найдется точка х е М, такая, что х ф у и х = у. Тогда х Е М' и ао(х) < о,е(я) = сз' — противоречие. Следовательно, М связно. Докаэапзельспзво леммы 10. Пусть (Е, В) — представитель точки у; можно предполагать, что это стабильное расслоение Хиггса. Согласно предложению 4, имеется разложение Е = Щ, Е», где Р; — подрас» слоения в Е, такие, что В(Рз) С й» Э Рз 1. По предположению у ф ЛГ, так что В ~ 0; тогда й > 2. Так как (Е, В) стабильно, то бек (г'» ) < О, бей(Е») > О. Следовательно, расслоение йопз(гы г1) имеет степень с О, поэтому существует ненулевой элемент з1 Е Ех»~ (Р», Гз) . Рассмотрим расширение Се, определяемое элементом 1»з1; таким образом, имеется точная последовательность 0-»Рз-»С»-»Г»-»0 Расслоение Ез — — Сз Ю (®,<з< Г;) снабжается структурой Хнггса Вз.
Ез -+ й' Э Ез, определяемой следующими условиями: Вз(п, есть композиция Сз -+ Р» -+ й' Э К»-» е й' Э Ез и Вз)р;. = В~к,. для 1 < з < й. Заметим, что для $ = О получается исходное расслоение Хиггца (Е, В) . Так как свойство стабильности — открытое свойство, то расе слоение Хиггса (Ез, Ве) стабильно. С другой стороны, если 1 ф О, то имеетсЯ изомоРфизм 1оз .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
