Труды семинара Бурбаки за 1991 г (947404), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Песина [Рее). ' Вопрос эргодичности геодезического потока привел В. Вгллмана к следующему предположению. Определение. Пусть )т — многообразие неположительной кривизны. Рангом геодезической с называется размерность векторного пространства полей Якоби, параллельных вдоль с. Ранг многообразия т' — это верхняя грань рангов геодезических на «т. Предположение о том, что ранг многообразия равен 1, влечет за собой, вероятно, эргодичность геодезического потока. К сожалению, 238 Пьер Пьвсю этот момент еше до копна не прояснен Тем не менее мы имеем такой результат: Теорема (Виллман, Брин [ВВ]).
Пусть т' — многообразие неположитсльиоа кривизны ранга один. Если объем многообразия тт конечен, то в Тт'тт естпь опжрьапое инвариантное миожестпво, иа котором поток эргодичсн. Вот два класса многообразий ранга, болыпего или равного 2: ° римановы произведения: ранг произведения равен сумме рангов сомножителей; ° симметрические пространства ранга, большего или равного 2; симметрическое пространство — это фактор полупростой группы Ли по наибольшей компактной подгруппе; ранг есть размерность максимальных плоских вполне геодезических надпространств и не равен единице только для короткого списка примеров, описанных в следующем разделе. Геодезический поток на произведении (соотв. на локально симметрическом пространстве ранга более 2) имеет первые интегралы, инвариантные относительно изометрий. А именно, это — углы, которые касательный вектор составляет с сомножителями (соотв.
со стенками камеры Вейля). Благодаря совместным усилиям В. Баллмана, М. Брина, К. Бернса, П. Эберлейна и Р. Спатцера мы знаем теперь, что компактные многообразия неположительной кривизны, имеющие ранг, больший или равный двум, являются по существу локально симметрическими пространствами ранга, большего или равного двум. Теорема [Ва), ВВЕ, ВВБ, ВЯ].
Пустив т' — компактное многообразие отприцатпсльной кривизны ранга, большего или равного 2. Тогда уиивсрсальнал накрывающая многообразия T лвллстсв либо произведением, лабо саммстпричсским простраистпвом ранга, большего и а равного 2. Доказательство состоит в построении одного за другим элементов геометрии симметрического пространства: максимальных плМ- ких вполне геодезических подпространств,камер Вейля, первых интегралов.
В. Бадлман показал, что первые интегралы инвариантны относительно голономии, и с помощью знаменитой теоремы М. Берже закончил доказательство. К. Бернс и Р. Спатцер предпочли использовать жесткость сферических основ Титов. Теорема сейчас доказана при следующем поедположении: каждая точка в Тт1' является возвращающейся [ЕН]. ГЕОДЕЗИЧЕСКИЙ ПОТОК НА РИМАНОВЫХ МНОГООБРАЗИЯХ 239 8, СИММЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА РАНГА 1 Это симметрические пространства, кривизна которых строго отрицательна.
Такова гиперболическая плоскость, описанная в равд. 3, и некоторые ее обобщения. Существует пример, обозначаемый через КН'Я, над каждым из полей К = В., С, Н, Са для каждой размерности Гп (для октав Кэпи Са только для ш = 2). Например, гиперболическая плоскость — это случай В,Нз и СН'. В симметрическом пространстве тензор кривизны параллелен и уравнение Якоби имеет постоянные коэффициенты. В ранге один группа иэометрий транэитивна на Единичном расслоении и ненулевые собственные числа оператора и + Н(с,п)с, не зависят от с. Они равняются — 1 в действительном случае, — 1 и — 4 в остальных случаях с кратностями (п1 — 1)й и Š— 1 соответственно (й = йппК).
Вот почему зто так: КН вЂ” это открытое подмножество проективного пространства КР . Каждая геодезическая содержится в единственной К-прямой, которая является вполне геодезической с кривизной -4 и отвечает за я — 1 собственных значений -4. Каждый собственный вектор, отвечающий собственному значению -1, касателен к В.Рз С ВР~, вполне геодезическому многообразию с кривизной -1, которое содержит геодезическую. Ясно, что в этих симметрических примерах устойчивые распределения Е*, которые определяются тенэором кривизны, дифференцируемы. Как мы видели в равд.
5, регулярность устойчивых опоений является деликатным вопросом. Д. В. Аносов показал, что в размерностях, больших трех, слоения не всегда принадлежат классу С'. Мы приходим к С', только сделав дополнительное предположение о равномерной ограниченности показателя сжатия потока (М. Хирш и Ч. Пью [НР], Б. Хассельблат [Нав]), соответствующее т-ущемлению секционной кривизны. В размерности 2 С. Хердер и А. Каток [НК] пошли дальше: они получили достаточно регулярности (производная в классе Зигмунда) для определения и вычисления инварианта Годбийона-Вея (что удачно, так как зти слоения являются основным примером, когда инвариант Годбийона-Вея нетривиален, см.
[Сп2]). Фактически их результат Распространяется на ковшяктные потоки Аносова в размерности 3. Поток Аносова является контактным, если поле плоскостей Е' Ю Е" образует контактную структуру класса С'ч; это автоматически выполнено для геодезического потока. 240 Пьер Пансю Вполне вероятно, что устойчивые слоения будут принадлежать классу С ' только для локально симметрических пространств ранга 1.
В этом направлении И. Бенуа, П. Фулон и Ф. Лабури получили следующий результат, представляющий другую сторону характеризации симметрических пространств ранга больше 1, упомянутых в предыдущем разделе. Теорема (Бенуа, Фулон, Лзбури [ВеЬ]). Всякий контактнмб по»пок Аносова на компактном многообразии, устойчивые и неустойчивые распределение которого принадлеэеат классу С", получается из геодезического по»пока на локально симметрическом пространстве ранга 1 следуюи»ими операииами: переход к конечному накрм»пию или к фактору, изменение парометра клссса С '.
На самом деле единственные возможные изменения параметра имеют следующий вид: Х заменяется на Х/(1+ а(Х)), где а — замкнутая 1-форма, причем имеет значение только ее класс когомологий. Замечания. Этот результат в размерности 3 принадлежит Гису [СЫ]. Вероятно, зта теорема остается в силе, если слоения предполагаютсл только принадлежащими классу С . В размерности 3 это установлено С. Хердером н А. Катком [НК). Доказательство. Первоначальная идея принадлежит М. Канаи [Кан]. Пусть А — контактная форма. На ядре А снмплектическая форма »1А и лагранжевы надпространства Е' и Е" определяют квадратическую форму сигнатуры нуль, инвариантную относительно потока. Следовательно, о + Аг является псевдоримановой метрикой,инварнантной относительно потока.
Это образует жесткую геометрическую структуру. Бенуа, Фулон н Лабури испольэовали результат М. Громова [Сг3) о псевдогруппахлокальньпспсевдоримановых изометрий:плотная орбита такой псевдогруппы автоматически будет открыта. Они получили алгебру Ли 6 локальных иэометрий. Условие Аносова влечет за собой полупростоту 6; тогда открытая и плотная орбита несет на себе структуру, моделированную на однородном пространстве С/Н. Динамические соображения показывают, что эта структура полна; следовательно, У является фактором, У = Г ~ С/Н. Осталось отобрать возможные пары С/Н. Мы изучим »обобщенную бесконечно удаленную сферу» (С/Н)(оо) = С/Р, где Р— максимальная параболическая подгруппа.
Условие Аносова утверждает, что хотя бы один элемент из Г действует на 'С/Р как при отрицательной кривизн, т.е. с одним источником и стоком. ГЕОДЕЗИЧЕСКИЙ ПОТОК НА РИМАНОВЫХ МНОГООБРАЗИЯХ 241 Это приводит к следующему ограничению на группу Лн С: если Р— противоположная к Р параболическая подгруппа (относительно геодезического потока Х Е 6), то Р имеет в точности две орбиты в 6(Р, из которых одна сводится к одной точке. Теория алгебраических групп показывает в этом случае, что О имеет ранг 1.
Замечания. Остается открытой более общая проблема, когда поток не предполагается контактным. Исходя из геодезического потока на $~, мы найдем днффеоморфнзм Т1 7 на расслоение единичных векторов Т1Ъ" некоторого локально симметрического пространства Г, который переставляет потоки (изменение параметра сейчас исключается). Задает ли этот диффеоморфизм иэометрию И на У'? Ответ положителен, когда дпп И = 2 [Каь] (см. также равд. 10), но вопрос остается открытым в старших размерностях.
9. ЭНТРОПИИ Это числа, которые измеряют экспоненциальную неустойчивость траекторий преобразования. Они были введены А. Н. Колмогоровым [К]. 9.1. Топологическая энтропия. Но данному разрешению е надо посчитать количество траекторий длины и, которые можно различить. Иначе говоря, пусть ф — преобразование компактного пространства М. Обозначим через О„с М" множество орбит длины и, снабженное метрикой епр. Наибольшее число попарно непересекающихся шаров радиуса е/2 в метрическом пространстве О„обозначим через г1(п,е).
Топологическая эншропия А(ф) — это предел 6(ф) = 1пп 1пп — 1оЕР1(п, е) . 1 с-~0 в-+оо п Число Ь(ф) не зависит от выбора метрики на компактном пространстве М. Энтропию потока (фь) определим как энтропию преобразования фь. Для геодезического потока топологическая энтропия связана с экспонентой роста объема шаров. Теорема (Мэннинг [Мап]). Прспьь фь — геодезический иовьок на компактаном многообразии И. Для Г > 0 и гьочки й универсальной накрываюи4еб Р обозначим через В(я, Г) шар радиуса Г с иенпьром й 242 Пьер Пьнсю в У. Тогда при всех х Л(ф1) ) 1пп -1ок(чо1В(х,г)) 1 и равенство имеет место только при отрицательной кривизне.
В частности, энтропия геодезического потока на многообразии У зависит только от универсальной накрывающей У этого многообразия,и можно говорить об энтропии У..Например, энтропия симметрического пространства КН'" будет равна Лт + Л вЂ” 2. Фактически при отрицательной кривизне имеется следующее асимптотическое разложение: Теорема (Маргулис [Мгх]). Если У вЂ” компактное многообразие отрицательной кривизны, тпо длл любой точки х Е У чо1 В(х, г) с(х) е~'. Можно думать об энтропии как о размерности Хаусдорфа бесконечно удаленной сферы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
