Труды семинара Бурбаки за 1991 г (947404), страница 51
Текст из файла (страница 51)
В случае отрицательной кривизны зто множество определяется спектром лапласнана, см. об этом [Вег]. В противоположность спектру лапласиана спектр длин может быть обогащен дополнительной информацией: каждая геодезическая имеет свой гомотопический класс. Это будет онанечгнныб снектнр длин, т. е. функция, которая классу свободной гомотопии ставит в соответствие наименьшую длину замкнутой геодезической в этом классе, который инвариантен относительно сопряжения. Зная, что существуют нензометрические поверхности, имеющие один и тот же спектр лапласнана, мы хотели бы узнать, определяют лн более богатые данные отмеченного спектра метрику. Эта проблема решена в размерности два независимо Ч. Кроуком и Ж.
П. Отелем (обобщение их результата можно найти в [Сг г]). Теорема (Кроук [С], Оталь [0]). Пусть У, У' — двумернь«г римаковы многообразие отрииашеланоб кривизны. Если гомотпоническан эквивалгнтнносша многообразия У на У' сохранлети оп«меченный снеитар длин, шо она гомотонна изометприи.
Доказательство очень элегантно. Гомотопическая эквивалентность задает соответствие между геодезическими'> (равд. 6). Нужно показать, что отношение пересеченияэ) сохраняетсв. Если это не так, то отклонение измеряется угловым дефектом в треугольнике — всегда положительным числом по теореме Гаусса-Бонне, среднее которого дает два образа меры Лиувиллл многообразий У и У' в С(У) = С(У') . Доказывается, что эти меры равны, для чего используется понятие пересечения, принадлежащее Ф. Бонаону [Воц]. Это спаривание мер на С(У), обладающее следующими свойствами: ° на плотном подпространстве мер Дирака вдоль замкнутых геодезическях оно совпадает с обычным пересечением замкнутых кривых; ° оно «невырожденно», т.е.
положительная мера определяется своими пересечениями с замкнутыми геодезическими; ПЭанннутымн. — Прим. перев. »уВ орнгнна«е 'Че соосоитапсе". — Прим. перев. ГЕОДЕЗИЧЕСКИЙ ПОТОК НА РИМДНОВЫХ МНОГООБРАЗИЯХ 247 ° пересечение меры Лиувилля с замкнутой геодезической дает ее длину. В высших размерностях имеется инфинитеэнмальный результат. Метод, предложенный В. !1тйемином и Д. Кажданом в размерности два, был обобщен Мин О. Теорема (Гийемин, Каждан [СК], Мин 00 [М!и]).
Если И имеетп отприиашельиыд операшор криеиэим, тпо есе иэоспектпральиые инфииитпеэимальиые деформации тприеиальны. Инфинитезимальная деформация — это квадратичная форма, т.е. функция А на ТтУ, квадратичная на слоях. Условие изоспектральности означает, что интеграл от Й по каждой периодической траектории потока Х будет равен нулю. Согласно результату А. Н.
Лившица [Ь], уравнение Ь = Ьха имеет решение. Соображения, подсказанные гармоническим анализом на ЕЬ(2, Н), показывают, что а линейно на слоях, т.е. Ь является производной Ли метрики по векторному полю. ЛИТЕРАТУРА [А1] Аносов Д. В. 1'рубость геодезических потоков иа компактных римавовых многообразиях отрвцательной крвввэвы.
— ДАН СССР, 1962, т. 145, Дт4, с. 707-709. [А2) Аносов Д. В. Геодезические потоки на замкнутых рнмановых многообразиях отрицательной крнввэяы. — Труды МИАН, 1967, т. 90. [Ва!] ВаПшапп ЪЧ., !топ роз!т!те!у сштед шапио!дз о1 Ывйет гапЬ, Апп. о! МатЬ. 112 (1985), 597-609. [ВВ] ВаПшапп Ч!т., Впп М., Ов тЬе ет8ойс!ту о! 8еоднис Потея, Ег8ойс ТЬеогу !Зуваш. Буз!ешз 2 (1982), 311-315. [ВВЕ) Вавшавп Чт., Впп М., ЕЬег!е!в Р., Бтпгстиге оЕ шелиа!дз о! воп розидте сштатеге, 1, Апв. о! МатЬ.
112 (1985), 171-203. [ВВБ] ВаПшапп ЪЧ., Втш М., Зраийег 11., Бтпгстпге о! шап!!о!дз о! поп рознп е сигтатше, П, Аов. о1 МатЬ. 112 (1985), 204-235. [ВРЬ] Вепойз Ч., Рои!оп Р., ЬаЬоопе Р., Р!отз д'Апозот Ь йзтпЬиИопз зтаЫе ет пмтаЫе й!гетепт!аЫез, С. Е. Асад. Бс!. Рапз 311 (1990), 351-354. ]Вег] Вегагд Р., Чапете пешапп!еввез мозрестга1ез воп ношдтгщиез, Здш1- выге ВоигЬзЬ1, шзгз 1989, ехрозе 705, Азтепзцае 177-178 (1989). [Имеется перевод: Берар П. Рвмановы нзоспектразьные неизометрические мгюгообразня. — В кнл Труды семинара Н.
Бурбаки эа 1989 г. — Мс Мнр, 1991, с. 129-156.) [Вез) Веззе А. Ь., Мав!!о1дз аП о! иЬозе Яеодез!сз аге с!озед, Ег8еЬпнзе Вавд 98, Брйп8ег-Чег!а8, Вег!ш, 1973. [Имеетсл перевод нзд. 1978 гс Бессе А. Многообразна с замкнутыми геодеэическнми. — Мс Мнр, 1981.] 248 Пьер Пзесю [ВСС] Вевзоп С., Соитсо!в С., Сайос Б., Чо!ише иишша1 дез езрасез 1оса1егоепс зушбсг!9иев, 1пчепс. МасЬ. 103 (1991), 415-445.
[Воп] ВопаЬои Р., Вовсе дез чап444в ЬуретЬо1к!иез де йшепв!оп стою, Апп. оГ МасЬ. 124 (1986), 71-158. [В) Вонеп В, Репосйс отЫсз Гог ЬурегЬойс йонв, Ашет. Л. МаСЬ. 94 (19Т2), 1 — 30. [ВБ] Вагиз К., ЗраФггег В, МашГо1дз оГ попровй1че ситчасите апд ФЬег ЬшЫ- !пбв, РиЫ.
МасЬ. 1.Й.Е.З. 66 (1987), 35-59. [С] Сто!се С., В!В!д!Фу Гог вот!асов оГ иоп-роз!с!че сшчаФиге, Сошшепс. МасЬ. Не1ч. 65 (1990), 150-169. [СР] Сгойе С., РасЫ А., Ап !пессоа!!Фу Ьестчееп епегбу авд !исегзесс!оп, Вий, Ьоадои МаФЬ. Зос. 22 (1990), 489-494. [СРР] СтоЬе С., РаФЫ А., Ре1дшап Л., ТЬе шзхЬед !епВСЬ зрессгиш оГ а лиг!все оГ попроз!Фпе сшчасиге, Торо!обу 31 (1992), рсо. 4, 847-855. [ГЛ) Динабург Е.
И. Связь между различными энтропвйными характеристиками динамических систем. — Изв. АН СССР, 1971, т. 35, ГГФ2, с. 324-366. [Е] ЕЬег!е!и Р., Сеодезк йонв оп пебайче1у сигчед шашГо1дв, 1, Апи. оГ МаФЬ. 95 (1972), 492-510; Н, Т?апв. Ашет. МаСЬ. Яос. 1ТВ (1973), 57- 82. [ЕН] ЕЬег!еш Р., НеЬег Л., А Веошеспс сЬагассепзайои оГ зушшеСпс зрасев оГ ЫВЬег гап1с, РиЫ. МаФЬ.
1.Н.Е.Я. 71 (1990), 33-44. [ЕО) ЕЬег!еш Р., О'5!ей С., Чгз!Ь!йсу шапйо!дз, Рас!бс, Л. МасЬ. 46 (1973), 45-109. [РЛ] Рытей Р. Т., Лопез Ь. Е., Ыебас!че!у сшчед шапйо!дз ччСЬ ехойс вшооСЬ вСтисФшев, Л. Ашег. МаСЬ. Зос. 2 (1989), 899-908. [СН1] СЬуз Е., Р!осв д'Анович допС !ез Геий!есабев зСаЫев зопФ дйГетеиС!аЫев, Апа. Зс!. Есо!е Мотю. Зир. 20 (1987), 251-270.
[СН2) СЬуз Е., 1 'шчапапс де СодЫйоп-Чеу, Бепнпыге ВоигЬаЫ, шзхв 1989, ехрове 706, АзсбтВгсие 17Т-178 (1989). [Имеется перевод: Г?гз Э. Инвариант Годбийона-Вся. — В кнс Труды семинара Н. Бурбаки за 1989 г. — Мс Мир, 1991, с. 157-185.] [СНЗ) СЬув Е., Ьев Вгоирез ЬурегЬо!щиев, Ббшйаге ВоигЬаЫ, швхз 1990, ехрозе 722, АвсбгВцие 189-190 (1990). [Имеется перевод: 1'ис Э. Гиперболические группы. — В кнх Труды семинара Н. Бурбаки за 1990 г. — Мс Мир, 1996, с. 151т170.) [Сг1) Стошоч М., Чо!оше апд Ьоипдед соЬошо!обу, РпЫ. МасЬ.
1.Н.Е.Б. 56 (1982), 5-100. [Сг2) Сгопюч М„НурегЬо!к Вгоирв, гп "Егнауз !и Втопр ФЬеогу", бд. Б. М. Сегвсев, М.БЛФЛ. РиЫ. п 8, Брт!ибег-Чег!аб, 1987. [СгЗ) Сгошоч М., Влб!д стане(огшасюа Вгоирз,!п "СбошбФпе дйГбтеис!ейе", бд. ГЛ. Вегпыд ес У.
СЬоциес-ВгиЬас, 'Тгачаих еп соитв чо1. ЗЗ, Нетшапп, Раг!в, 1988, 65-130. [СК) Сигйеппп Ч., КввЬдап ГЛ., Боше свчетзе врессга1 геви1Сз Гог пеВаС!че1у сигчед 2-шаи!Го!дз, Торо!обу 19 (1980), 301-312. [Н1] Надыиагд Л., Ье" чит(асез Ь сошЬпгев оррозеш ес !ешз йбиез ВбодбвСБиш, Л. МаФЬ. Ритва Арр!. 4 (1898), 27-74.
ГЕОДЕЗИЧЕСКИЙ ПОТОК НА РИМАНОВЫХ МНОГООЕРАЗИЯХ 249 [Н2] Найапгвхй Л., Яиг Р!СегаИои ес 1ез зо!иПоиз азушрсосксиез йез еоиаС!оы й!Ябгепг!еПев, ВиП. Яос. МаСЬ. Ргапсе 24 (1901), 224-228. [На1] НыпепзеайС Вч А пен йезспрС!оп о! СЬе Воиеп-МахбиПз пгеввиге, ЕгЯой!с ТЬеогу Оупаш. Яузгешз 9 (1989), 455 — 464. [На2] Нагпепзгайг В ч Еисгору г!8!й!су о! 1осаПу зушшеспс зрвсез о! гвпЬ опе, Апп. о! МаСЬ.
131 (1990), 35-52. [Ны] Наем!Ыаег В., Небо!апгу о( СЬе Апозоч зрПСС!и8 эпй о! ЬогозрЬепс Го!гаИовз, РгбриЪПсас!оп, 1.Н.Е.Я. Вигш-еп- г'чесСе (1991). [Не1] Ней1ипй С. А., Оп сЬе шеспса1 Сгапз!спбсу о! СЬе беойшгсз оп с1озей зиг!ассе о( сопвгапС пе8аИче сшчагиге, Аип. оГ МасЬ. 35 (1934), 787— 808. [Не2] НнПипй С. А., ТЬе йупаш!сз оЕ беойеяс Поня, ВиП. Ашег. МаСЬ. Яос.
45 (1939), 241-260. [НР] НцзсЬ М., РибЬ С., ЯсаЫе пгапНо!йз апй ЬурегЬо!гс зесз, Ргос. Яушр. Риге МаСЬ. 14 (1970), 133-163. [Нор] Нор! Е., ЯСайзсгй йег Ьовиибеп беойасЬсЬег РгоЫеше чош иысаЫ!еп Туров, И, МасЬ. Аии. 117 (1940), 590-608. [НК! Ншйег Я., КагоЬ А., !ЗП1егепС!аЬП!Су, г!8!й!Су аий СойЫПоп-чеу с1зззез, РиЫ. МаСЬ. 1.Н.Е.Я. 72 (1990), 5-61.
[Кап] Капы М., Сеойеяс Поиз о1 пе8ассче!у сычей пгавЕо!йз вйсЬ зшоосЬ всэЫе авй ипзсаЫе ГоПасюы, ЕгбосПс ТЬеогу 1уупаш. Яузгешз 8 (1988), 215-240. [Кас] КаСоЬ А., Рош аррПсасюиз о( соиСоппа! егги!ча1епсе Со беошесгу апй йупаппсз, ЕгбосПс ТЬеогу !Зупаш. Яузеешз 8 (1988), 139-152. [ККК] Кахой А., Кшерег О., РоП!со!с М., %еиг Н., Э!ПегепИабг!Иу зпй епСгору Гог Апозоч Поил апй беойеяс Погчз, ВиП. Ашег.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
