Труды семинара Бурбаки за 1991 г (947404), страница 55
Текст из файла (страница 55)
ДОПОЛНЕНИЯ Рнпотеза Громова — Лоусона. Приведем формулировку этой гипотезы: Гипотеза 4.1 [21]. Пусть у' — компактное спинорное многообрас зие строго положительноб скаллрноб кривизны. Обозначим через Г его фундаментальную группу и через у" У -ь ВГ классифииируюзнее отобрахсение. Тогда длл всех х Е Н'(ВГ; С) имеем (сер, у'(х)) = О, где через сер Е Н„(у'; ь4) обозначен род А многообразия 'у', т.е.
образ нри изоморфизма Черна класса К-гомологиб операзпоро Дирака многообразна У. зуНа эту,конструкни. мне указал А. Кони. Она не опубликована, однако доежна поивитьса в расширенном варианте работы [12). подход к гипотйзв новикова 2бб Известно, что (а) гипотеза Громова-Лоусона справедлива для гиперболических групп; (Ъ) пусть У вЂ” компактное спинорное многообразие строго положительной скалярной кривнзны; тогда индекс оператора Днрака с коэффициентами в почти плоском классе К-теории равен нулю.
На самом деле гипотеза Громова-Лоусона является следствием сильной гипотезы Новикова (ср.. [42]), откуда вытекает (а). Пункт (Ь) почти очевиден. Слоенпя: гипотеза Баума — Копна. Описанные выше методы можно перенести на другие ситуации (ср. [2]). Например, представляет интерес следующее обобщение гипотезы Новикова для слоений (ср. [3]): Пусть (У, Г) — компактное слоеное многообразие класса С"'.
Группоид гомотопий слоения (У, Е) — это дифференцируемый группоид гомотопических классов путей, касающихся слоев этого слоения. Напомним, что послойная гомотопия — это такая гомотопия (Ь,)~е(о И: И' — > У, что для каждой точки х Е И' путь Ьь(х) лежит на одном слое слоения. Пусть (У, г') и (И', Н) — два компактных слоеных многообразия класса С Отображение у: ьУ -ь У класса С называется послойной гомотопической эквивалентностью, если существует отображение д: У -ь И', такое, что (а) образ при г' (соотв. при д) каждого слоя слоенил ьУ (соотв. слоения У) содержится в некотором слое слоения У (соотв.
слоения И'); (Ь) существует послойная гомотопия, соединяющая д о у и у о д с тождественными отображениями многообразий У и И'. Гипотеза Баума-зьонна утверждает: Гипотеза 4.2 (ср. [3]). Пусть У вЂ” компактное ориентированное многообразие четной размерности и à — слоение на У, Обозначим через ВС классифииируюьиее пространство гомотопического групноида С с.лоенив (У, г') и через йм У -+ ВС классифииирующее опюбразсение. Тогда образ нри 6 класса ои в Ко(ВС) Э ье *вллетсл послойным гомотаопическим инвариантом.
Напомним, что о~ обозначает класс оператора сигнатуры многообразия У в группе К-гомологий Кв(У) . Эта гипотеза означает, что если ~: (ьУ, Н) -ь (У, Р) — послойная гомотопическзя эквивалентность, сохраняющая ориентацию, то (Й о у) (оьо) равен а,(о~ ) по модулю кручения. В этой ситуации применимы два описанных вьппе метода: Жорж Сканавлас (а) Элемент кольца Н'(ВС; С) определяет циклический коцикл над некоторой алгеброй (обозначаемой через С,"'(С)), которая играет здесь роль алгебры Я,[Г].
Таким образом, получаем доказательство гипотезы для коциклов, которые можно продолжить на полную подалгебру в С*-алгебре опоения. Этот метод развит в [10], где изучены многочисленные классы когомологий (в частности, классы когомологий Гельфанда-Фукса) . (Ь) Пусть (У, г') и (И', Н) — два слоеных ориентированных римановых многообразия.
Пусть у; И' — > У вЂ” послойная гомотопическая эквивалентность, сохраняющая ориентацию. Тогда существует число и ) О, такое,что для любого эрмитова расслоения Е над У, а-плоского вдоль Р, сигнатуры многообразия У с коэффициентами в Е н многообразия И' с коэффициентами в у'Е равны (ср. [23]). ЛИТЕРАТУРА [1] АНуаЬ М. Р., Е!11рбс орегагогз, ймсгесе бгоирз апй чоп 1чеишапп а16еЬгав, АзгбгЕоие.
32-33 (1976), 43-72. [2] Ваиш Р., Согшев А., Сеошеспс К-ГЬеогу 1ог Е4!е бгоирв апй 1обаНопв, Ргерг!пг 1.Н.Е.Б. (1982). [3] Ваиш Р., Сопиев А., Ьеа6ч!ве Ьошогору еци!чгйепсе апй гас!опа! Ропвг)Ь- 6!и с!взвев, ш Ро!!аг!опв, Айч. Бвий. Риге МаГЬ., чо1. 5, 1985, 1-14. [4] Вбойвгейв М., Нв1апб %. С., Майвеп 1., А16еЬгв1с К-ТЬеогу о1 Брасса апй гЬе Моч!Ьоч Соп]ее!иге. Результаты доложены Векстедом яа Математвческом коигрессе а Кното, 1990.
[5] ВовС х.-В., К-гЬеогу йез ргойи!1з сгонбв ег рппс1ре й'ОЬа, С. В. Асай. Бсх. Рвхв 301, Яег. 1 (1985), 5, 189-192. [6] ВигбЬе1еа Вч ТЬе сус1к Ьошо!обу о1 бгоирв, Сошшепа МаГЬ. НеЬ. 60 (1985), 354-365, [7] Сарре!1 Б. Е., Оп Ьошогору !пчвх!апсе о1Ь!8Ьег в!пби!апс!ев, 1пчепь МавЬ. 33 (1976), 171-179. [8] Свхг!ег Р., Ноше!об!е сус!!г!ие: Варрогг виг 1ев ггачаих гесепгв йе Сопиев, КвхоиЫ, 1 ойау, 14и!!!еп..... Рбчг!ег, Беш.
ВоигЬаЫ, 1984, екрозб в~621, Аввег!вел 121-122 (1985), 123-146. (9] Соппев А., 14оп сошши1аггге й!Яехепг!а! беошесгу. СЬаргех 1: ТЬе СЬегп сЬагасгех ш К-Ьошо!об!е. СЬаргег П: Ве В.Ьаш Ьошо1обу апй поп сошпшгабче а!беЬга, РиЫ. МагЬ. 1.Н.Е.Я. 62 (1986), 257-360. [10] Сопиев А„Сус!к Ьошо!обу апй ГЬе Ггапвчегве 1ипйашепва! с!вш о1 а 1оЬм гюп, ш Сеошегпс шеМюйз ш орегагог а16еЬгав, Н.
Ага!а апй Е. О. ЕЯгов бй,, Р!Гпып ВевевхсЬ !Човев ш МавЬ. Яепев 123, Ьопбгпап !дг!!еу (1986), 52-144 [11] Сопиев А., Епгпе сус!!с Ьошо!обу о( ВапасЬ а18еЬгвз аий 1Ье сЬагасвег о1 6-вишшаЫе РгейЬо!ш шогЬйев, К-1Ьеогу 1 (1988), 519-548 [12] Сопиев А., Сгошоч М., Мозсочкй Н., Соп]ее!иге йе !чоч!Ьоч ес ЙЬг4в рггяггие р!авв, С. К. Асай. Ясх. Рапв 310 (1990), 273-277.
ПОДХОД К ГИПОТЕЗЕ НОВИКОВА [13] Сопиев А., Мовсоч!с! Н., Сус1Ы соЬошо1обу, СЬе !с!очйоч соп)ессше апс1 !ипдашепта! Втоирв, Торо!обу 29 (1990), 345-388. [14] Рас!с Т., К-СЬбог!е Ьсшчапапсе де Каврвточ, Беш. ВоигЬа!и, Рбъ пег 1983, ехров4 и 605, Авгбтис1ие 105-106 (1983), 149-166. [15] Репе!1 Р. Т„Нв!впб %. С., Оп !Еоч!Ьоч'в соп!естите !ог попровВ!че!у сигчед шап!Хо!дв 1, Ава, о! МаСЬ.
113 (1981), 199-209. [16] РЫВ!и В. Ь., Твубап В. Ь., Адд!С!чв К-СЬеогу, шс 1 ест. !с1огев ш МаГЬ., чо1. 1289, Брпп8ет-Чег!аб, ВегВп-!с!ещ Уог1с (1987), 67 — 209. [17] Сесе!ег Е., Рвеидо д!тТехепг!в! оретагогз оп пзретшвлНо1дв апд сЬе АбуаЬБ!пбег садех сЬеогеш, Сошш. МасЬ. РЬув. 92 (1983), 163 — 176. [18] СЬув Е., Ь'!пчапапФ де СодЬс1!оп-Чеу, Беш. ВоитЬа!а, Мвгв 1989, ехровб и'706, Автепвс1ие 177 — 178 (1989), 155-182. [Имеетсв перевод: Гвз Э. Инвариант Годбвйона-Вел. — В кнс Труды семинара Н. Бурбаки за 1989 г. — Мс Мнр, 1991, с. 157 — 185.] [19] СЬув Е., Ьев Втоирев ЬурегЬо!!сСие, Яеш. ВоигЬаЫ, Мате 1990, ехроее и 722, Автет!вссие 189-190.
[Имеетгл перевод: Гнс Э. Гиперболические группы. — В кнл 'Груды семинара Н. Бурбаки эа 1990 г. — Мл Мвр, 1996, с. 151-178.] [20] Стотпоч М., НурегЬо!й Втоирв, ш Евваув ш Вгоир сЬеогу, М.Б.В.1. РиЫ. 8 (1987), 75-263. [21] Сгошоч М., Ьатчвсш Н. В., Ровйьче вса1ат сигчасше апд сЬе !Л!гас оретасог оп сошр!есе ВЛеспашиап шапНо!дв, РиЫ.
МасЬ. 1.Н.Е.Б. 58 (1983), 83-196. [22] Ое !а Катре Р., Сгоирев ЬурегЬо!!с!ие, а18еЬгев срорегагиетв ег сш ВЬбогбше де Ло!!шип!, С. Н. Асад. Бс!. Рапв 307 Бег. 1 (1988), 771-774. [23] Н!)виш М., БЬапдайв С., !пчаг!апсе раг Ьошосор!е де 1а Ыбпасиге Ь соейс!епсв дапв ив ВЬге ргещие р!ас (д'аргбв Сопиев — Сгошоч-Мовсопх4), Л. Кеше Апбеи. МаСЬ.
423 (1992), 73-99. [24] Н!гвеЬгисЬ Р., Торо!об!са! шеСЬодв !и а18еЬгазс Веошеггу, Вег!ш-НеЫе1- Ьегб — Неи Уог)с, Брппбет-Чег!а8 (1965). [25] Нв!апб ЪЧ. Б., Ввел Н. О., МсвсЬепЬо'в иогЬ оп !!очйоч'в соп]есгше, СопСешр. МаСЬ. 72 (1982), 77-98. [26] Ло!!авапг Р., К-ВтбЬрв о! гедисед С'-а18еЪгвв апд гар!д!у десгеав!пб (сспсИопв оп Вгоирв, К-СЬеогу 2 (1989), '723-735.
[27] Катшп1сег Л., М1!1ег Л. С., Ношосору шчапапсе о! СЬе апа!ут!с в!Впасше орегасотв очег С'-а18еЬгш, Л. Орегасот ТЬеогу 14 (1985), 113-127. [28] КвтоиЫ М., К-ГЬеогу, ап !п1годисг!оп, Сппн1. дев Маа %Ъ., Брг!пбегЧег!аб, 1978. [Имеетсл перевод: Карубн М. Введение в К-теорвсо.— Мс Мнр, 1983.] [29] Каспаров Г. Г. Топологические инваркавты эллиптических операторов 1: К-гомологии.
— Изв. АН СССР, сер. матем., 1975, т. 39, Л(г4, с. 796-838, [30] Каврагоч С. С., Ес!шчапапс КК-1Ьеогу аид СЬе 5!оч!Ьоч соп]ессиге, 1пчепа МаСЬ. 91 (1988), 147-201 [см. также; К-теорие, групповые С'-алгебры и высшие сигнатуры. Конспекты,ч. 1 и 2. — Препринт, Черноголовка, 1981]. 268 Жорж Скэндзлис [31] Кззрзгоч С. С., Орегагог КлЬеогу 4 йз арр1каНопз: е!Бр!!с орегасогз, бтопр гергезепгаг!опз МБЬег з!бпагпгез, С'-ехге ~з!опз, ш Ргос. 1.С.М.
Сопб 19егзаи 1983, Р%г! Е!зеч!ет (1984), 987-1000. р2] Кззрагоч С. С., оЬЬапба!!з С., Сгопрз асг!пб оп Ьп!Ышбз, Орегагог К-гЬеогу апб Ыоч!Ьоч'з соп)ее!псе, К-гЬеогу 4 (1991), 303-337. [33] Ьвз!!К С., г!очйоч'з ЫбЬег зпйпа!вге зпб (аш!!!ез о( е11!рг!с орегагогз, Л. рЯегепг!а! Сеош. 7 (1971), 229-256. [34] Мищенко А. С.
Гомотопнческие инварианты неодносвяэных многообрзэнй, 1: Рациональные инварианты. — Иэв. АН СССР, сер. матем., 1970, т. 34, с. 501-514. [35] Мншенко А. С. Бесконечномерные представления дискретных групп и высшие сигнатуры. — Иэв. АН СССР, сер. метем., 1974, т. 38, Ьь1, с 81 106.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
