Труды семинара Бурбаки за 1991 г (947404), страница 57
Текст из файла (страница 57)
и что кривизна этого лоренцева многообразия тождественно нулевая. Таким образом, «ростраиство-время Минковского естпь в тпочиостпи решение уравиеиит1 Эбиштебна в вакууме, гяобаяьио определенное иа 1ье. Причинные кривые, выходящие иэ точки р пространства — времени Минковского, заполняют полы прошлого и будущего светового конуса с вершиной в точке р, полученного параллельным переносом квадратичного конуса, определенного метрикой е, с вершиной в начале координат О: С'» = (о ~ о Е К4, е(и, о) = 0) . Это распределение конусов характеризует конформный класс метрики Минковского, т.е.
определяет ее с точностью до умножения на функцию. Группой симметрии пространства Минковского является группа Пуанкаре. Это полупрямое произведение шестимерной группы Лоренца на группу сдвигов пространства К4. Таким образом, размерность группы Пуанкаре равна 10 — зто максимальная возможная размерность группы иэометрий четырехмерного лоренцева многообразия.
Группа конформных преобразований пятнадцатимерна и содержит еще гомотпетпии н инверсии. Ее иногда называют коиутормкоб группоб Пуанкаре. Базис ее алгебры Ли состоит из следующих векторных полей на К~: четырех постоянных векторных полей д/д1 (времениподобного, направленного в будущее), д/дх, д/ду, д/дг (все три пространственноподобные), шести векторных полей, порождающих преобразования Лоренца: й,т(= 1д/дх+ хд/дт), й„т, й,т (их тип УСТОЙЧИВОСТЬ МЕТРИКИ МИНКОВСКОГО 273 зависит от точки) и й,„(= х д/ду -уд/дх), й„, й„, (все пространственноподобные), поля Лиувилля Ь = Ф д/дй+ х д/дх+ у д/ду+ х д/дх (переменного типа) и обратных трансляций ус(= 2сЬ + (хз + уз + ха — Гз)д/дй) (времениподобное, ориентированное в будущее поле), 1,(= -2хХ +(ха+уз+ля — Фз)д/дх), у„и 1, (все три поля пространственноподобные).
1.7. Перейдем к описанию общего пространства-времени. Для того чтобы лучше понять природу уравнений Эйнштейна, полезно явно их выписать, выбрав локальную систему координат (х") в окрестности точки р: 1 ч «, / д~ТР„ д~Т д д~Т„Л д~Т „ ~ 2 ~дх«ха дхах" дх"х дх«хл ( «,а«а з + х~~ (1« «Г«а 1а «ГР «)~ (1.8) «,Ц«0 где символы Кристоффеля (Г„„) вычисаиотся по коэффициентам 1.6. Функция 1: (В4, е) ~ В., как подсказывает ее обозначение, является фуикииеб времени. Это значит, что ее поверхности уровня пространственноподобны, или, что эквивалентно, ее дифференциал сМ удовлетворяет условию е '(дй,й) < О.
(Для метрики Т через у 1 обозначается метрика, естественно индуцированная на ковекторах. Обозначение напоминает о том, что ее матрица (7""), записанная в координатах (х"), обратна матрице (Т„„) метрики Т.) Полезно выразить метрику Минковского е в обычных сферических координатах (т, 8, ~о) в пространстве Ме — — (О) х В.з, введя функции и = 1 — т и и =1+т.
Имеем е = — диде+та(ИУ+а1п Вйрз). Заметим на будущее, что функции и и и удовлетворяют уравнению эбкаиала е 1(аи, ди) = е '(ашики) = 0 (поэтому их часто называют оптаическими функциями), а также условию нормализации е '(йь, ди) = — 2. Поверхностями уровня функций и и е являются соответственно полы будущего и прошлого световых конусов. Следует заметить, что сферы с центрами в Ос Е М~ для ~ ) О, соответствующие евклидовой метрике ею могут быть получены как пересечение световых конусов СО' с центрами в 0~ Е М,', иначе говоря, как слои слоения корэзмерности 2, определенного оптической функцией и и функцией 1.
274 Жан-Пьер Бургнньон (7 тт) метРики по (классической) фоРмУле з .,(О~„, дуья д „„„'1 Г„„ш — ~~у ( — + — — — ]. 2 л (, дх" дхл дха /' в=в Из формулы (1.8) следует, что вслкое квкасательнае направление ( явялетсл характлерисшическем, поскольку главный символ оператора, ставящего лоренцевой метрике Т в соответствие ее кривизну Риччи Н1ст = р, аннулируется всеми билинейными симметрическими формами С о тт. (Здесь тт — произвольная 1-форма и о — симметрическое умножение.) Эти направления вырождения суть аналитический след действия группы диффеоморфиэмов пространства-времени на пространстве лоренцевых метрик.
Инфинитезимельная версия соотношения естественности Н1ст т = тут*(В1с"), верная для любого диффеоморфизма ф, утверждает, что для любого векторного поля Х при действии оператора линеаризованной кривизны Риччи на Сх7 мы получаем ь".хр, т.е. дифференциальный оператор первого порядка на множестве векторных полей Х. Пусть координаты связаны с метрикой условием гармоничности ~,' уоаг и о,я=о (зто значит, что система координат, рассматриваемая как отображение открытого подмножества У многообразна (Е, у) в (ль~,е), является гармонической.) Тогда легко видеть'>, что единственным членом в (1.8), содержащим производные второго порядка, остается первое слагаемое, главный символ которого равен — 7 ~(с„с). В таской свстпеме координата уравнения Эт1ншптет1на абраэуюш гиперболическую систлему в диагриальнвт7 форме.
Ивонн Шоке-Брюа установила в 1952 г. существование локального решения задачи Коши (с начальными данными на пространственноподобной гиперповерхности) для уравнений Эйнштейна, см. (11]. Она строго доказала при этом существование гармонических координат и опиралась в своих рассуждениях на теорию гиперболических уравнений, развитую Жаном Лерг; см. ]29]. Необходимость налагать на координаты условия, в которые входит еще не известная нам метрика, составляет одну из принципиальных трудностей этой задачи. Другая возникает в силу того, что для оценки векторных или тевэорных величин нужно использовать т>Эта мысль была еа, мулнроеана еше Эйнштейном. УСТОЙЧИВОСТЬ МЕТРИКИ МИНКОВСКОГО 275 скалярное произведение, а оно само становится известно лишь после ранения задачи. Это принуждает наложить на решения чрезвычайно строгие ограничения.
Такие же трудности возникают в задачах, связанных с кривизной Риччи (см. обзор последних результатов в рима- новом случае в [8]). Специфика лоренцева случая заключается в том, что задача имеет смысл лишь для некомпактных пространств и искомое поле обладает заданным асимптотическим поведением (см. [4]). 2. МЕТРИКИ ШВАРЦШИЛЬЛА 2.1.
Известно лишь небольшое количество семейств точных решений уравнений Эйнштейна. Все они обладают специальными симметриямн или получаются из специальных метрнк простыми геометрическими конструкциями. Исторически первым найденным семейством решений были мстярвкв Шеарвшильда с~„введенные Карлом Шварцшильдом в 1916 г. для того, чтобы описать гравитационное поле вне сферической звезды, см. [42]. В описанных выше координатах в К4 они имеют внд 2 с,„= — 1 — — Ш + 1 — — ) Пг +т (бб +в1пзбйрз), (2.2) гДе Гп — положительнаЯ или нУлеваЯ константа. ОчевиДно, что се — — а 5 Метрика с~, а рпоп' определена на Е,'„= К. х (Кз — Вз,ч), где через В, обозначается открытый шар радиуса г с центром в начале координат пространства Кз .
На самом деле е~ является решением уравнений Эйнштейна и во внутренней области Е',„ = К х (Вз„, — (0)).(Лоренцева) геометрия этой области иная, чдм у Е;„, поскольку там времениподобные кривые достигают особенности г = 0 эа конечное время. Это значит, что пространство-время неполно (см. обсуждение этого вопроса в п. 2.4). 2.3. Метрики Шварцшильда обладают следующими свойствами симметрии: — они ппатличнм, т.е.
для них существует пространственноподобное поле векторов Киллинга (традиционное название инфинитезимэльных симметрий), причем распределение, ортогональное этому полю, интегрируемо. Это поле является градиентом относительно с~ функции 1 (оно даже параллельно относительно ковариантного дифференцирования Леви-Чивиты, связанного с метрикой е~); — они обладают сферическоб симметириеб т.е. инвариантны относительно действия группы ЯОз на пространственных переменных Жвн-Пьер Бургннььн (х, у, г) пространства В.в.
Орбиты этого действия — подмногообразия с постоянными г и $. Эти свойства, как установил Джордж Виркгофф, полностью характеризуют метрики Шварцшильда. Теорема (см. [5]). Всякое статичное пустое иростяранство-время, обладающее сферической симметрией, такое, что функиил, измеряющая площадь орбит группы ЯОг, лвллетсв гладкой, будет простраистивом-временем Шваришильда.
2.4, Однако наиболее интересное для изучения явление — особенности этой метрики (см. историческое обсуждение в [25, р. 231-239]). Выражение (2.2) для еь имеет а рпоп две особенности: одну при г = О, другую при г = 2тп. Когда г -ь О в Е,'„, еь действительно имеет особенность при г = О, так как норма тензора кривизны в этом пределе стремится к бесконечности. Особенность при г = 2тп лишь кажущаяся,зто просто особенность системы координат. Можно пополнить пространство-время до максимвльного расширения Е~„ иа которое продолжается е~~ . Это показал Мартин Крускал в [23] (см. детальное обсуждение в [22]). Поскольку Ез содержит как Е', так и Е', простпраистава-времеиа Шваришильда (Е~„е~,) ие,ввллютсл геодезически полными.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
