Труды семинара Бурбаки за 1991 г (947404), страница 60
Текст из файла (страница 60)
-той части с .»екоторых лмнейно-алгебраических рассмотрений На фиксированном н-ьтерном лоренцевом (или римановом) векторном пространстве К, под которым мы, безусловно, подразумеваем касательное пространство к лоренцеву или риманову многообразию в некоторой точке, рассмотрим пространство Я.т' тензоров, обладающих всеми алгебраическими симметриями тензора кривизны. В силу антисимметричности кривизны и первого тождества Бьянки сейчас принято рассматривать то~' как ортогонадьное дополнение к Л41" в ЯзЛзЪ". Таким образом, кривизну Римана- Кристоффеля можно интерпретировать как эндоморфизм пространства 2-форм.
Под действием ортогональной группы (или группы Лоренца) ЯХ расщепляется на три неприводимых подпространства (если и > 4), откуда возникает разложение тензора кривизны Римана-Кристоффеля В» = Я»+ Я»+ Иг», где (1) Я» обозначает компоненту, соответствующую тривиальному представлению; это кривизна пространства постоянной кривизны с той же скалярной кривизной, что и у В», т.е. Я» кратно 1дд»тг, (В) Я» обозначает компоненту, соответствующую представлению, изоморфному пространству Воз '»г симметрических тензоров с нулевым следом на 1т „этот оператор вполне определяется частью кривизны Риччи, имеющей нулевой след (эта часть равна нулю, если размерность равна 2); (ш) И" обозначает»оставшуюся» часть кривизны, т.е.
ядро отображения свертки, переводящего кривизну Римана-Кристоффеля в кривизну Риччи; эта часть называется конформной кривизной Вей ья, а элементы этого пространства называются тпензорами Вейял (таков компоненты нет в размерностях два и три). Следовательно, можно сказать, что в вакуумных простпрансптвахвременах кривизна Римана-Кристоффеля совпадаетп с кривизной Ве бдя. Сказанное не объясняет, почему Иг» называется нонформной кривизной'1. Чтобы это понять, нужно сделать конформную замену метрики, т. е.
заменить метрику 7 на ах у, где а — положительная функция. Можно проверить, что при этом Иг-" » = Иг». Это вычисление не полностью алгебраическоезт, нужно считать производные. Следует ПСледует отметить, что Герман Бойль ввел тензор, который носит его имя, когда предпринял попмтку свести воедино теорию гравитации и теорию злектромагнетнзма, обобщив лоренцеву геометрию, использующуюся в общей теории относительности, до некоторой конформной лоренцевой геометрии. Эта попытка не удалась. »трем не менее чисто алгебраическое рассуждение позволяет предвидеть его результат. Функция е должна присутствовать в иге » в виде своей 2-струи, УСТОЙЧИВОСТЬ МЕТРИКИ МИНКОВСКОГО 285 заметить, что эта формула верна лишь для естественно определенной кривизны Вейля, для тенэора типа (3, 1), а не для его вариантов, получающихся сверткой с метрикой или с обратной ей, — в этих случаях появляются степени а. Из этого свойства, очевидно, следует тот факт, что в размерности, большей или равной 4, метприка Т локально конформно эквивалентна плоской метрике тпогда и только тпогда, когда ге конформнал кривизна Итт тождестпвенна равна нулю.
5.3. В ориентированном п-мерном векторном пространстве У, снабженном лоренцевой метрикой у, существует и другая геометрическая величина, обладающая интересными конформными свойствами. Это оператор Ходжа *: Л~У" -т Л" аУ", определенный следующим образом: для а, ф Е ЛаУ' а Л (е )т) = у (а, 1т) пт, Когда размерность равна 4, ет — ортогональный автоморфизм пространства ЛзУ", квадрат которого равен — 16. Следовательно, он задает комплексную структуру.
(Напротив, для евклидовой метрики е является инволюцией, позволяющей определить понятия положительной и отрицательной фундаментальной 2-формы в калибровочных теориях на четырехмерных многообразиях.) В действительности е.,[лэу. зависит птолько отп конформного класса метприки у. В размерности 4 тензоры Вейля можно определить как элементы из за ЛгУ" с нулевым следом, коммутирующие с е — все эти условия конформно инвариантны. 5.4. Существует и другой способ рассматривать тензоры кривизны, опирающийся на их свойства симметрии: можно вложить усУ в ЯгЯгУ'. Элементу Н Е ЯУ ставится в соответствие эндоморфизм Я: ут ь+ В(Л) .
Этот эндоморфизм принимает на двух векторах и и ю значение гс(Л) = 2; у т гьты Лтп,у"'пптитт; см. [10]. С помощью этого подхода получаются две конструкции, полезные длн доказательства теоремы Клайнермана-Кристодулу. (С этого момента мы будем отождествлять пространство У с касательным пространством к пространству-времени.) Пусть / — касательный вектор (предполагаемый времениподобным и направленным в будущее, чтобы было возможно отождествить его с мировым вектором наблюдателя.) Любая 2-форма то (моделирующая электромагнитное поле) разлагается на злектприческую соста- принадяежэтпей Яэр.
Таким образом, эквивариантного относительно действия ортогонаеьной группы отображения иэ Яэр в пространство тенэоров Вейяя не сужествует. 286 Жаи-Пьер Бургииьои вляющую Е и магииглную составляющую В. Они определяются соответственно как Ь'" =. еу ~ и Нм = ау(еьо) . Далее определяется зяекглромагншлное разяозкеьие тензора Вейля относительно ~ как пара симметрических тензоров с нулевым следом (Еи', Н®), где ЕУР Йг(~®~), а Н = (еИ)(уэ~). Легко проверить, что у лежит в ядрах операторов Е»Р и Н~, т.е. можно считать, что носителем этих отображений является нормальное пространство к у.
Эти формы определяют И'. Всякому тензору Вейля И можно поставить в соответствие его улекзор Беля-Робинсона чи', определяемый формулой Я ( Й ~ ь й + е е И ь е е И ) 2 см. [4). Легко видеть, что Я»Р принадлежит Ядр и имеет нулевой след, как показано в (14]. Более того, для любых двух времениподобных векторов 11 и уз, направленных в будущее, выполняется неравенство Я~(уауг, у1, уг) > О. Следует заметить, что конструкция, ставящая в соответствие тензору Вейля И' его тензор Беля-Робинсона, англогична той, которая ставит в соответствие внешней 2-форме ы ее тензор энергии-импульса Т, см. п.
1.3. Эта аналогия будет в дальнейшем использоваться. Поскольку И' имеет тип (3, 1), эта конструкция зависит только от конформного класса метрики. 5.5. Кривизна Римана-Кристоффеля Н» произвольной метрики удовлетворяет также второму»лоледестлву Бьянки: до'Я» 0 где аы — виешниб дифференциал 2-форм со значениями в 2-формах. Напомним, что для того, чтобы это понятие имело смысл, нужно выбрать ковариантное дифференцирование (из-за этого и пишут показатель В»).
Заметим, что П~ не является в точности оператором кограницы, так как в его квадрат входит кривизна метрики у. Из уравнений Эйнштейна для вакуума следует, что дп (е Я») гл и, Поскольку кодифференциал б» на пространстве внешних дифференциальных 2-форм имеет вид б» = — * обое, это условие, скомбинированное с тождеством Бьянки, утверждает, что кривизна вакуумного пространства-времени гармоническая. Иэ него, вообще говоря, не следуют уравнения Эйнштейна~1.
Однако у него есть двойное ПНо в'римаиовом случае при определенных глобальных топологнчееких нреяположенилх онн ему аквивалентиы. УСТОЙЧИВОСТЬ МЕТРИКИ МИНКОВСКОГО 287 преимущество: во-первых, оно является нелинейным аналогом уравнений Максвелла для вакуума. (Они утверждают, что электромагнитное поле ы удовлетворяет уравнениям йы = 0 и 4(иа) = 0.) Во-вторых, оно следует из того, что аР И'т = О,поскольку поле Вейля И', замкнутое в этом смысле, автоматически коззмкнуто, см. [7], нли,что то же самое, *тИ' тоже замкнуто. Эта формулировка подчеркивает важность в нашем контексте оператора д~, входящего во второе тождество Бьянки. Клайнерман и Кристодулу широко его использовали.
А именно, они опирались на два свойства замкнутых относительно а~ полей Вейля, связанные с конформными заменами метрики: — если И" — замкнутое поле Вейля, то дивергенция тензора С7~ равна нулю (т.е. а" Яи = 0); — если И' — замкнутое поле Вейля и если ф — конформное преобразование пространства (Б, Т), такое что Р"у = а~у, то а 'ф'И' тоже замкнутое поле Вейля. (Заметим, что здесь задействована нелирт нейнзл зависимость оператора И~ от Т.) 5.6.
Кроме того, условия ограничения (3.7) для начальных данных (М, д, й) ковфармно инвариаишны в следующем смысле: для всякой положительной функции Ь на М решениями первых двух уравнений ограничения, переписанных с использованием РЯ, являются д = Ь4д и 11 = Ь эй. Это позволяет получать решения, удовлетворяющие третьему уравнению, даже если начальные данные ему не удовлетворяли. Нужно взять в качестве Ь решение скалярного уравнения Ь Ь+ — Бса)'Ь вЂ” ~Цэь ' = О 1 Я Я с асимптотическими условиями на Ь, гарантирующими, что метрика остается асимптотически плоской.
5.7. Также полезно рассматривать поля симметрических 2-тензоров как 1-формы со значениями в касательном расслоении. Таким образом,на пространственноподобной гиперповерхности М рассматривают 2-форму со значениями в ТМ,которая называется шеизором Баяв, Вэ = И~'(Б1с †-' Яса)~ д). Этот тенэор удобно рассматривать как билинейную симметричную 2-форму (поскольку М трехмерна). След этой формы равен нулю в силу свойств тензора Риччи, следующих из второго тождества Бьянки. Обращением ВЯ в нуль характеризуются конформно плоские метрики на трехмерчом пространстве. Это поле — другой пример конформно инвариантного поля. Из этого, например, вытекает, что поле Баха ВИ метрик, индуцированных на подмногообраэиях М~ метрикой Шварцшильда с~„имеет на оеско- 288 Жан-Пьер Бургимьон нечности нуль гораздо более высокого порядка, чем у производных метрик ут.
б. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ 6.1. Теорема Эмми Истер утверждает, что всякой симментрии систпгмы, уравнения нолл котороб выражают экстлремальносять некоторого утункционала, соонтаептстлауеш закон сохранение. Первый пример использования этой теоремы в общей теории относительности (данный Эйнштейном; см. [17]), выглядит так: инвариантность гравитационного потенциала у ь+ ]' Бса1т ит при диффеоморфизме означает, что бт(Н1с' — т БсаГ ч) = О. (6.2) Это свойство следует также из второго тождества Бьянки. Оно отражает тот факт,что касательное пространство к орбите метрики под действием диффеоморфнзмов лежит в ядре дифференциала гравитационного потенциала на пространстве метрик, поскольку 2б"— присоединенное действие оператора Х ь+ Сх у, который описывает ннфинитезимельное действие диффеоморфизмов. Согласно уравнениям Эйнштейна, (6.2) означает, что тензор энергии-импульса Т тоже имеет нулевую дивергенцию.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
