Труды семинара Бурбаки за 1991 г (947404), страница 62
Текст из файла (страница 62)
4. 8.3. Кривизна Римана-Кристоффеля вакуумного пространства-времени (Е, у) совпадает с кривизной Вейля И'", которая, таким абра зом, замкнута. Если мы располагаем оценками на И", начальные данные (д, [с, с)) на гиперповерхности (М, д) можно получить, пользуясь т>Очевидно, что для ил преодоления нужно проводить длинные (и иногда даже нудные) явные вычисления. В отой статье не удастся рассказать даже об идее зтих выкладок. Для того чтобы ознакомиться с ними, читателю следует обратиться и [15]. УСТОЙЧИВОСТЬ МЕТРИКИ МИНКОВСКОГО 293 эллиптической системой Нбсг — й.яй = Е~ ', дп'й — Н»У',' бя = О, ТУ,А=о (8.4) вместе с уравнением, которому удовлетворяет функция промежутка ф.
Клайнерман и Кристодулу получили эллиптические оценки на трехмерных многообразиях, необходимые для того, чтобы из ограничений на И~» получить ограничения на начальные данные на (М, д) . Таким способом обходят проблему выбора координат. г — ~ = -2о»1обг+ 0(1), где переменная г связана с площадью сфер-орбит группы вращений. В невозмущенном же пространстве Минк,гского эта функция на конусе С„остается ограниченной величиной 1. Это явление характерно 8.5.
Как уже упоминалось, уравнения Бьянки суть линеаризованная форма изучаемой системы. Асимптотическое поведение их решений было детально изучено в [14]. Клайнерман и Кристодулу использовали эти результаты для получения оценок на И"», Для этого нужно иметь в распоряжении действие группы, аналогичной конформной группе Пуанкаре. Изотропно-геометрические конструкции, упомянутые в равд. 7, проводятся исходя из поверхности М~, предполагаемой терминальной.
Благодаря тому что оптическая функция должна удовлетворять очень жестким оценкам (проверка этих оценок занимает почти 70 страниц), по сфере на бесконечности строится действие группы ЯОг. Орбиты этого действия суть пересечения гиперповерхностей М~ и направленных в прошлое световых конусов, вершины которых лежат на упомянутой сфере. Эти конусы являются поверхностями уровня оптической функции. Наконец, полученное действие продолжается до действия конформной группы Пуанкаре. Нет ни мглешпих причин, чтобы это действие было изометрическим или конформным.
Контроль за теиэорами деформаций полей векторов скорости, ассоциированных с этим действием, сводится к контролю за геометрией гнперповерхпостей М~ и С„. Здесь появллется одна вз главнейших технических трудностей (имеющая, однако, немаловажное физическое значение). Она заключается в том, что свешоеые конусы логарифлически расяодлшся. Реально в сильно асимцтотически плоских возмущениях пространства Минковского массы тп выполняется равенство 294 Жзн-Пьер Бургниьоя именно для размерности 4.
Оно прямо связано с тем, что поток энергии, испускаемый бесконечностью, отличен от нуля. Этот поток может быть измерен степенью неомбиличности поверхностей Я» „. 8.6. Величины, возрастание которых следует оценить, фундаментальным образом связаны с идеями о приближенных законах сохраненвщ, развитыми в равд.
б. Кривизна Н» вакуумного пространства-времени является замкнутым полем Вейля. Следовательно, норма поля Вейля Ю» И'» контролируется тензором деформации поля Х, а его мы будем считать приближенно киллинговым конформным полем. Решающий шаг — оценка 1-формы Р, определенной формулой с»и»... с»с»уу» Р 1у+р»а+р1рЯ о»у+р1п+р1рЯ о а с»я» в»... с» с»»р» + .»у +рдрЯ а я — 1у +р1у +р1у +рЯ ь а с» с» ир» — »'и+я»'д+р1'и+ля '" ' где через й обозначено векторное поле, заданное действием группы ю .
В изучаемой полосе пространства-времени нужно оценить значение двух величин Е| — †в,)м яжР и Ез = зцр„ )с *р,Р. Можно показать, что эти величины ограничены аффинной функцией от них самих. Постоянный член этой функции определяется начальными данными. Если этот член выбран достаточно малым, то получается противоречие. 8.7. Однако следует пойти еще дальше и учесть, что изучаемая система нелинейна. В частности, в оценки убывания волн в пространстве Минковского теперь входят ошибочные члены, зависящие линейно от тензоров деформации приближенно киллинговых полей и квадратично от кривизны и ее производных.
Происходящее критическое обращение в нуль связано со специфической нелинейностью уравнений Эйнштейна. Из-за нее а рпоп' доминирующие члены исчезают. (В других уравнениях, как, например, в нелинейной теории упругости или в теории сжимаемых жидкостей, эти члены остаются.) Соответствующее вычисление приведено в (27). 8.8. Закончим этот обзор доказательства некоторыми цодробностями относительно условия малости начальных данных (М, д, я), использованных Клайнерманом и Кристодулу.
Это условие включает равномерную норму кривизны Риччи (с весом), норму Нз части второй фундаментальной формы из начальных данных на М (тоже с весом), а также норму Н' тензора Ваха ВР части первой фундаментальной формы д (тоже с весом). Для того чтобы вычислить зти УСТОЙЧИВОСТЬ МЕТРИКИ МИНКОВСКОГО 295 различные нормы, выделяют точку р Е М и единицу длины. Окончательное измерение начавъных данных получается взятием нижней грани этих норм по названным параметрам. В результате возникает безрэзмерная величина.
9. ОТКРЫТЫЕ ПРОБЛЕМЫ И ФИЗИЧЕСКИЕ СЛЕДСТВИЯ 9.1. Клайнерман и Кристодулу скромно замечают в [15], что сложность полученного ими результата весьма относительна по сравнению с гипотезами о распределении особенностей в пространстве-времени. Понятие особенности в общей теории относительности не самоочевидно, см.
[2Ц и гл. 8 в [22]. Пространство-время может обладать различными свовствами неполноты, и совершенно не ясно, что особенности типа «черной дыры«суть единственно возможные. В настоящее время вполне установилась <внутренняя«точка зрения: особенности некоторой выделенной системы координат не принимаются в расчет, (см. п. 2.4). Критерием того, что мы имеем дело с истинной особенностью, может быть тот факт, что некоторые скалярные величины, образованные из кривизны, стремятся к бесконечности. Даже если ограничиться «геометрическими< особенностями, необходимо разобраться с тем, как они возникают в пространстве- времени.
Стивен В. Хокинг и Роджер Пеироуз нашли критерин существования особенности.Мы сейчас их приведем. Теорема (см. [23]). Пусть вакуумное пространство-врсмл глобально гиперболическое. Тогда любая пространс<пвснноподобнаг поверхнос«пь, изо«пропныс нормальные век«поры к котороб определяют зволюиию в будущее, нг увеличивающую площадь, содсрэсит неполную причинную геодезическую. Из этой теоремы'~ледует как ргз сохранение особенностей при возмущениях, тогда как в некоторый момент считали, что они связаны со слишком болъшой группой симметрий системы. 9.2. Описание того, как в (классической) общей теории относительности возникают особенности, считается одной из сложнейших проблем в этой области.
Существуют многочисленные версии гипотезы о так называемой «космической цензуре«; см. [3, 37, 46]. Это общее название для различных формулировок утверждения о том, что поведение метрик Шварцшилъда на самом деле универсально в вакуумных (или невакуумных, но удовлетворяющих физически разумным условиям положителъности <физических«взаимодействий) пространствах — временах.
Мы сформулируем версию этой гипотезы с легко понятным геометрическим содержанием. Ж»в-Пьер Бургвньон Рипотеза (о»космической цензуре»). У всякого вакуумного пространства-времени с особенносп»ью имеется такое возмущение, что эта особенность окружена в нем горизонтом собь»ти»1. Нельзя сформулировать эту гипотезу, не оговорив возможности возмущения, так как метрика Тауба-Н1)Т [описаннгя в [22, р.
170- 178]) имеет »голую» особенность, исключаемую гипотезой. Упомянутая метрика пространственно однородна, и считается, что именно эта высокая степень симметрии ответственна за такую особенность. 9.3. В остальной части работы [15] идет речь об излучении гравитационной энергии в построенных возмущениях пространства Минковского.
Этот вопрос представляется крайне важным с точки зрения физики, поскольку на сегодняшний день существует очень немного экспериментов, подтверждающих эти явления, которые могут рассматриваться как хорошие тесты для этой теории. Данные, которыми мы располагаем, суть: — смещение перигелия Меркурия (опыт, сыгравший большую роль в приэнаняи теории более широкой публикой, чем просто специалисты); — отклонение лучей света в гравитационном поле массивной звезды; — красное смещение в излучении некоторых звезд, удаляющихся от нашей галактики.
Обнаружение гравитационньпс волн, предсказанных общей теорией относительности [см. [6]), послужило бы дополнительным подтверждением. Эта теория предсказывает, что такие волны распространяются со скоростью света, поперечны и переносятся полем билинейных симметричных форм с нулевым следом. Корпускулярно-волновая двойственность ставит этим волнам в соответствие их частицу— гравитон, обладающий спинам 2. [В самом деле, в размерности 4 комплексифнкация пространства ЯвгВ.4 билинейных симметричных форм с нулевым следом на В.» нзоморфна комплексификации пространства Л+Кв Э Л Н», т.е. Лагг» Эв. С И У'о+, где 8~ означает пространство нолуспиноров.) Делались многочисленные попытки найти эти волны. До настоящего времени они оказывались бесплодными; см.
[16, 43]. Возможность собирать экспериментальный материал со спутников открывает новые перспективы. Таким образом, очень важно располагать хорошими предсказаниями свойств этих волн. Х. Бонди создал теорию их распространения, подтвержденную Клайнерманом и Кристодулу в случае рассматриваемьпс ими вакуумных пространств. В [13] Кристодулу приводит опирающиеся на [15] соображения в пользу того, что нелинейные эффекты достаточно УСТОЙЧИВОСТЬ МЕТРИКИ МИННОВСКОГО 297 существенны даже на болыпих расстояниях, так что ими нельзя пренебречь по сравнению с эффектами линеариэованной теерин.
Это еще раэ подчеркивает нелинейную природу уравнений Эйнштейна. ЛИТЕРАТУРА [1] Авион!сс В, ?Лезех Б., МВпех С., СоогсПпасе !ичвпаисе апй еиегбу ехргезвюпв 1и Сепега? Ке!аИчВу, РЬув. Кеч. 122 (1961), 997-1006, [2] ВзхгпсЬ К., Ехсвгеисе о? шахипа1 вит?асев ш ввушрсойсаПу Паз грасс!пиеа, Соштп. МаСЬ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
