Труды семинара Бурбаки за 1991 г (947404), страница 65
Текст из файла (страница 65)
Архиые)ьов случай. Заменяя поле К полем вс или С, а функцию ф С е функцией с компактным носителем, положим Ле(в, К, ~) = ( ф(х)]Дх)[ье сЬ /к" для в с С Бе(в) ) О, где 6 = 1 дла К = Н и б = 2 длЯ К = С. Можно доказать, что фУнкциЯ 2е(в, К, У) пРодолжаетсЯ до меРомо1ьфнои фундции на С с Рациональными полюсами. Доказательство проводьгтся путем разрешения особенностей [2, 5] или с помощью теории многочленов Бернштейна [4].
2 МОНОДРОМИЯ И МНОГОЧЯЕНЫ БЕРНШТЕЙНА 2.1. Монодромии (2 1 1) Рассььотрим непостоянное полиномивльное отображение ь С и зафиксируем точку 6 6 С", для которой 7(Ь) = а. Рассмотрим достаточно малый шар В С С" с центром в точке 6, Милнор [63! 1оквзал что ограничение 1[в является локально тривиальным С е расслоением над достаточно малым пРоколотмм диском ~ [а) Ь центром а. Таким обрезом, гладкий тип так называемого с оя ывлноРа Рь:= У ь(ь) гь В отобРажениЯ / о окРестности точки 6 не Ваннент От ТОЧКИ Ь Е А; ОбРаЗУЮЩаЯ фУНДаМЕНтаЛЬ- иои группы ероколотого диска А, заданная обходом вокруг точки а против часовой стРел~~ нндУцнрУст автоморфизье Т простран ства Н (Р С), называемый локальноб монодРомиеб многочлена ~ ь1 в точке 6 1(ВРошо известно, что собственные числа отобРажениЯ Т являютсл коунлми иэ единицы (см.
[22, ЕхР. 1]). В слУчае когда 6 — изолировзяная критическая точка многочлена ~, Милнор доказал [63] что Нь(Рв, С) = 0 для ь т- О, и — 1 и Но(Рь, С) = С, причем 1 о монодромияйействУет ьз Н тривиально. О ЛОКАЛЬНОЙ ДЗЕТАлВУНКЦИИ ИГУЗЫ 307 (2.1.2) Теорема (формула А'Кампо [1]). Нусть Ь вЂ” изолированная критпическав тпочка многочлена у, 1(Ь) = О, п > 2. Тогда в обозначениях и. (1.3.1) при К = С характперистическиб многочлен деастпвия монодромии на Нл т(Рь, С) равен < (-Н" ' ь- ) 'П("' — 1)*""" "") тогт где т обозначаетп эблерову характеристику ио отношению к сингулярным когомологиям. В частностпи, величина ехр(2яут-1/6), Ь б т1, /с > 1, явяветсв собственным числом оператпора локальной монодроч мнив точке Ь тогда и люлько тпогда, когда 2 ь~ьт Х(Етний '(6)) ВВ О.
2.2. Многочлен Бернштейна. И. Н. Бернштейн доказал [4], что для любого многочлена 1(х), х = (хт,..., х„), над полем К характеристики нуль существуют многочлены Р ч К[х, д/дх, в] и 6(в) б К[в] '1 (0), удовлетворяющие функциональному уравнению Р1'+т = 6(в) у'. Многочлен 6(в) наименьшей степени со старшим коэффициентом единица, удовлетворяющий этому уравнению, называется много- членом Бернштейна многочлена Г и обозначается через 61(в) . Если многочлен у непостоянный, то 6у(в) делится на в+ 1. Если у поверхности уровня у = 0 нет особых точек над алгебраическим замыканием поля К, то Ьу(в) = в + 1. Фундаментальная теорема Касивары утверждает, что все корни многочлена Ьу(в) являются отрицательными рациональными числами.
В случае К = Н или С с помоптью функционального уравнения легко проверить, интегрируя по частям, что полюсы функции Вв(в, К, 1) расположены в точках вида в = тт — т, где а — корень многочлена Ьу(в) и у е )ч. Заметим, однако, что подобное интегрирование по частям не имеет смысла в р-адической ситуацви. Корни многочлена Ьу(в) связаны с геометрией многочлена у . Действительно, согласно Мальгранжу [58], если ст является корнем многочлена Ьу(в), то ехр(2л ь~-Тст) является собственным числом оператора локальной монодромии многочлена 1 в некоторой точке из / '(0) и все собственные числа имеют такой вид.
(Заметим, что 61(в) является наименьшим общим кратным всех локальных многочленов Бернштейна; см., например, [23, 1 епппа 2.5.2].) Таким образом, в архимедовом случае, если в — полюс функции лв(в, К, т), то ехр(2к4-1в) является собственным числом монодромии. (Непосредственное доказательство этого факта для случая изолированной особенности см. у Мальграсжа [57].) Более того, Барлет [3] показал, что при К = С всякое собственное значение полу- 20* зов Жан Данаф чается таким образом.
Информацию о точном расположении полюсов можно найти в [50], а оценку на максимальный полюс — в [51]. 2 3 Гипотеза о монодромин. На основании архимедова случая и 2.2 н изучения частных примеров естественно высказать следуюпше гипотезы о произвольном многочлене у(х) над числовым полем Р с С. (2.3.1) Гипотеза (Игуэа [36]). Длл почти всех р-адических пополнений К пола Р, если в .авллетса полюсом функиии Я(в, д, К /) то Ие(в) лвллетсл корнем мноеочлена бу(в) . Эта гипотеза проверена в ряде частных случаев, см. пп. (5.2.5), 5.3, 7.3, 74 ниже.
(2 3 2) Гипотеза о монодромин (Игуэа) Длл поч|пи всех р адиче ских пополнений К полл Р, если в — полюс функции Я(в, т, К, у), то ехр(2я~ — 1Ве(в)) лвлаетса собственным числом локальной монодромии мноеочленв у' в некоторой комплексной п1очке поверхности уровне у '(6). Заметим, что вторая гипотеза следует из первой согласно сказав- ному вьппе. Но вторая гипотеза имеет к настоящему моменту значительное количество экспериментальных подтверждений, см. равд.
6. Возможно, что обе гипотезы верны для любых р-адических пополнений и для функции Хр вместо функции л. В большинстве числовых примеров теорема (1.3.2) дает очень большой список возможных полсокений полюсов. Однако обычно в результате таинственных сокращений многие нз этих возможностей не реализуются. Гипотеза о монодромии позволила бы объяснить это странное явление. Леэер [53] изучил дзета-функции вида Ф(х) [71(х)[" ... Щх)[*' [дх[ К" от нескольких переменных и сформулировал гипотезу о существовании некоторьпс асимптотическнх разложений (обобщающих разложение (1.4.3)(й1)). Из его гипотезы удивительным образом вытекает связь между множеством полюсов этих дзета-функций и геометрией дискриминанта многочленов уы..., Уа.
Более того, гипотеза Лезера связана н с гипотезой о монодромии. 3. ЯВНЫЕ ФОРМУЛЫ Мы по-прежнему используем обозна~ения пп. 1.1 и (1.3.1). Приведение по модулю Р обозначается чертой сверху. о локальной дзйта-шункции игузы Зов 3.1. Мы неэываем функцию Шварца-Врюа Ф вычетной, если Зпрр Ф С В и Ф(х) зависит толькоотзначения х по модулю Р. Такая функция индуцирует отображение Ф: К" ь С, 3.2. Мы говорим, что разрешение (У, й) особенности поверхности уровня 1 '(0) имеет хорошую редукцию по модулю Р, если схема У и все схемы Е; гладкие, Ц тЕ; имеет только нормальные пересечения и никакая пара схем Е; и Е не имеет общих компонент при 1 у-- з (ср. [12]).
Через Я здесь обозначено приведение по модулю Р произвольной замкнутой подсхемы Я схемы У; оно определяется как приведение по модулю Р замыкания подсхемы 2 в проективном пространстве над прес В [х]. Если, кроме того, 1Ч; ф Р для любого 1 б Т, то мы говорим, что у разрешения есть ручная хорошая редукция. Если У и (У, и) определены над числовым полем Р, то хорошая редукция существует для почти всех пополнений К поля Р. Если у разрешения (У, й) есть хорошая редукция, то Ег = П,.~~ Е, и мы полагаем о ь Ег — — Ех '1 Дзота Е и Е; = Е< '1 []зги Е . Пусть, наконец, Су— множество особых точек отображения 1: К" -ь К. 3.3. Теорема [14]. Пусть У ч В[х], 1 ф О. Предположим, что у особенности поверхности уровн,г ~ 1(0) есть разрешение с ручной хорошей редукцией по модуяю Р и что функция Ф вычетная.
Если характер Х нетривиален на 1+ Р, то функция Яе(в, Х) не зависит от е. Если, кроме того, СуП Вирр Ф С 1 '(0), то 24(в, Х) = О. 3.4. Теорема [12, 14]. Пусть / ч В[х], ( ф О. Предположим, чпьо (У, й) — разрешение особенности поверхности уровня ~ 1(0) с хорошей редукцией по модулю Р и что функция Ф вычетная. Пусть Х вЂ” характер группы В" порядка д, тривиальный на 1+ Р. Тогда Ч-1 Ее(в~ Х) = Ч )' сдх,о П и езт ° е1 шеу: щж где с; х,е = 2 . Ф(а)Йх(а). ьИВВ) Величина Йх(а) определяется здесь следующим образом: если а б о Еу(К) и Ы]Ж, для всех 1 ч 1, то можно записать 1 о й = ишв, где и, и ', ш е бр „и мы полагаем Й .(а) зк Х(и(а)).
В случае если Ф вЂ” характеристическая функция пространства В" (гоств. РВ"), мы бУДем писать сг х (соотв. сдх,о) вместо О,х,о. Чтобы поДчеРкнУть зависимость от К, мы будем иногда писать сд,в(К) . Жан Днняф 3.5. Когомояогическая интерпретация. В предположениях теоремы 3.4 выберем простое 1, 1,(д. Заметим, что х индуцирует ха.- рактер группы Г", который мы также обозначаем через х. Обозначим через Сх куммеровский йгпучок на Аг~ ~ (О), ассоциированный с этим последним характером (см. (О, Вопппез ТУ(5.]). Положим Н = У '1 (у о Ь) '(0). Пусть и: (7 + У вЂ” открытая иммерсия и а: Н -+ А~ ~(0) — отображение, индуцированное композицией у об. Положим Ух:= и,а'х'.х. Легко проверить, что Гх — гладкий пучок ранга один на (7я:= 1' ~ ()ну~, Е;.
Кроме того, если а Е (7я(Гр), то геометрический оператор Фробениуса действуег на слое пучка Ух в точке а умножением на Пх(а). Таким образом, формула следа Гротендика дает о (3.5-1) сдх = ~~~,( 1) Тг(Г,Н!(Е1 ~ВГ; Гх))* н (3.5.2) сбх,о = ~( — 1)'ТУ(Г,Н,'((ЕтОБ '(0)) ЭГ~',Гх)) где через Г обозначен оператор Фробеннуса, а через Гн — алгебра- ическое замыкание поля Гя. Для дальнейшего нам понадобится 3.8. Лемма. Высшие прямые образы Еби,(УЯ) обрашаитпся в пуль вне 17я дяя всех у > О. То же верно дяя огпкрытпоб иммерсии а и~: Ег "+ Ег 3.7.
Упомянем также, что Ленглэндс (47) предложил формулу, выражающую главные части лорановскнх разложений функции Ещ (в, з~) в окрестности ее полюсов через главные значения интегралов. 4. СЛЕДСТВИЯ ЯВНЫХ ФОРМУЛ Мы используем обозначения пп. 1.1 и (1.3.1), если обратное не оговорено явно. Характер группы Ен, индуцированный характером х группы К", мы обозначаем тем же символом х. Мы говорим, что некоторое свойство выполняется для почти всех Р, если оно выполняется для почти всех пополнений числового поля Г (при условии, что все данные определены над Г). Для произвольной схемы У конечного типа над полем Б С С через х(Ъ') обозначается эйлерова характеристика многообразия х' (С) относительно сингулярных когомологий. О ЛОКАЛЬНОЙ ДЗЕТА-ФУНКЦИИ ИГУЗЫ 311 4.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
