Труды семинара Бурбаки за 1991 г (947404), страница 69
Текст из файла (страница 69)
(4.2.3). Этот факт привел его к следующей гипотезе. Гипотеза. Есяи простпранстпво (В,Х) определено над числовым тюлем Р, тпо функция 2(в, Хт„„, ~,К)'универсальна для почтпи всех пополнений К поля Р при условии, чпто С растцепляептся над К . 324 Жан Дзнеф Напомним, что, согласно п. (4.2.3), нз универсальности следует функциональное уравнение я(и г,о ') = иа'згя(и,о), впервые выведенное Игузой [38] для упомянутых выше двадцати типов посредством прямых вычислений. Другие гипотезы см. в [24]. 7.Т. Оно [65] показал, что для любого непостоянного абсолютно не- приводимого многочлена 1 над числовым полем Р произведение (1 — д ') 'Я(з, Хмн„) по всем гьадическим пополнениям К поля Г сходится и голоморфно при Ве(з) ) О.
Для случая неприводимых регулярных предоднородных векторных пространств с конечным числом адельиых открытых орбит Игуза [35] доказал, что у этого произведения имеется мероморфное продолжение на всю з-плоскость, Кроме того, оно удовлетворяет некоторому функционааьному уравнению (прн слабых дополнительных предположениях, от которых удалось избавиться в [44, 45]). Сомнительно, однако, чтобы подобное утверждение было справедливым при бесконечном числе адельных открытых орбит. Другие адельные результаты можно найти у Дацковского и Райта [7]. 8.
ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО СУБАНАЛИТИЧЕСКИМ МНОЖЕСТВАМ Теорему Игузы о рациональности функции ла(з, Х) можно значительно усилить. Вот краткий обзор соответствующих результатов. Символы К, Я н Р обозначают то же, что и в п. 1.1. Подмножество Я пространства К" называется иолуалгебраическим, если его можно описать с помощью конечной булевой комбинации условий вида д(х) = О, огд д(х) < огг) Л(х), или Эу Е К: д(х) = у где д, Л Е К[х], га Е Х. Подмножество Я называется иолуаиалитическим, если локально в окрестности каждой точки пространства К" его можно описать с помощью таких же условий, но функции д, Л могут быть аналитическими. Замечательная теорема Макннтайра [55] утверждает, что образ полуаналитического множества при проекции (из К"+" на К") вновь является полуанзлитическим множеством.
Его доказательство основано на результатах из математической логики и на работах АксаКозна-Ершова. Ссылки на другие доказательства можно найти в [19, (0.14)]. Многие встречающиеся на практике множества являются полуалгебраическими: их можно получить, итернруя операции проекции и дополнения. Например, пойуалгебранческими являются р-адические орбиты действия р-адической алгебраической группы. С помощью метода Игузы п.
1.3 можно показать, что для полуалгебраическопр ограниченного множества Я интеграл ] ]у(х)]']дх] является рациональной функцией от д ' прн 1' Е К[х] (см. в [10] О ЛОКАЛЬНОЙ ДЗЕТА-ФУНКЦИИ ИГУЗЫ 325 обобщение результата из [59]). Этот же результат можно получить, используя вместо разрешения особенностей р-адическое клеточное разбиение [10]. Этот метод основан на разбиении множества Я на полуалгебранческие «клетки», на каждой из которых функция ]7(х)] описывается просто, позволяя вычислить интеграл разделением переменных и индукцией по и.
Другие применения того же метода можно найти в [11] и [68]. Вернемся к аналитическому случаю. Образ ограниченного полуаналитического множества при проекции не является, вообще говоря, полуанзлитическим. Этот факт объясняет следующее определение. Подмножество 8 пространства К" называется субаналитическим, если в окрестности каждой точки пространства К" оно является проекцией некоторого ограниченного полуанвлитического множества. Для случая вещественного поля К = И это определение совпадает с классическим понятием субаналитического множества, введенным Лоясевичем, Габриэловым и Хиронакой [75]. Ван ден Дрие и Денеф [19] построили теорию р-адических субанглитическнх множеств. Некоторые иэ их идей при этом были подсказаны математической логикой.
Первая основная теорема утверждает, что дополнение к субаналитическому множеству вновь является субаналитическим. Другой основной результат состоит в следующем. 8.1. Теорема (униформизация р-адических субанзлитических множеств [19]). Пусть Я С К" — ограниченное субаналитическое множестпво. Тогда сущестпвуютп К-аналитпическое многообразие М и аналитпическое отпображение Ь: М -ь К", являющееся композицией конечного числа раздутий относительно замкнутпмх подмногообразий коразмерностпи > 2, тпакие, чтпо прообраз Ь т(Я) явяяетпся полуаналитическим подмножеством в М. В силу того что интегралы по полузналитическим множествам можно вычислять с помощью метода Игузы, иэ предыдущей теоремы вытекает 8.2.
Теорема. Рассмотприм ограниченное субаналитпическое множество о С К" и аналитпическую функцию т" К" — » К. Тогда ]х],1(х)]' [дх] являетпся рациональной функцией отп о Утверждение теоремы остается верным и для любой функции 7", график которой — субанзлитическое множество [13]. Иэ теоремы 8.2 вытекает 8.8. Следствие [19]. Пустпь 7' — стпепенной ряд над К, сходящийся на Рь". Для т Е Х обозначим через А,ь мощность приведенного по Жвв Девьф модулю Рт мнозсества И = (х Е В" ] /(х) = О).
Товда функция В(!):= ~ ~~ о Ага!"' явяяегпся рациональной функциеб огп С. Это следствие, высказанное в качестве гипотезы Серром и Остерле [72, 64], послужило для нас главным поводом к изучению р-адическнх субаналитическнх множеств. Для вывода следствия 8.3 из теоремы 8.2 нужно представить ряд В(!) через [г»]ю[* [с(х] ]г!ю], где 1» = ((х,ю) Е В"+' ] расстояние от х до Сг не превосходит ]ю0. Отметим, что Ю действительно является проекцией полуаналитического множества. Фундаментальные результаты об асимптотике последовательности А можно найти в [64].
Боллаертс [6] вычислил ряд В(с) явно для случая, когда у зависит от двух переменных. Из теоремы 8.2 вытекает и следующий замечательный результат, принадлежащий дю Сотуа [20]. 8.4. Теорема. Пусть С вЂ” компакгпная р-адическав аналитическая вру««а. Обозначим через С дяя пс й Х число открыгпых «одеру«п индекса р е С. Тогда функция ~~~ еС !'" рациональна «о С.
Упомянем некоторые дальнейшие продвижения. Основные' результаты о р-адических полуалгебраических и субаналитнческих множествах неоднородны по р. Однородные варианты получены Пасом [66, 67] и Ван ден Дрксом [77]. Субанвлитические множества в аналитической геометрии твердого тела изучались Липшицем [49] и Схоутенсом [71]. ЛИТЕРАТУРА [1] А'Свпгро 1ч., Ьа !овсбов веСа йиве шовогсгош!е, СопппепС. МаСЬ. Не1к 50 (1975), 233-248. [2] АВуаЬ М. Р., Вяво!ибов о! сбвби!апс!ев авб д!сов!оп о1 йвьпЬасюпв, Сошш. Риге Арр!. МасЬ.
23 (1970), 145-150. [3] Ввг1ес !»., СовгпЬисюп ес1есч!ге де !а шоводгош!е ашс ббге!оррешевсв ьвушрсос!оиев, Авв, ЯсЬ Есо!е г!огш. Яир. 17 (1984), 293-315. [4] Бервсптыш И. Н. Аналитическое продолжение обобщенных фувкцнй по параметру. — Фуккц. аавлиэ в его прил,, 1972, т. б, вып. 4, с. 26-40.
[5] Бернштейн И. Н., Гельфанд С. И. Мероморфиость фувкцви Р".— Фупкц. вюииз в его прил., 19б9, т. 3, вып. 1, с. 84-85. [б] Войаегш !»., Ов сЬе Рошсаге вепев завес!асад со сЬе р-айс ро!всв оп а сцхге, АсСа АпСЬшег!са Ы (1988), 9-30. [7) 0всвуоввуу В., 15гг!8Ьс Б. Л., Беев!су оГ йвспппвався о1 сиЫс ехсепв!овв, 1. Ве!ве Апбек. МаСЬ. 380 (1988), 116-138. [8) Ве!!8ае Р., Ьа сов)ее!иге де Ъуе8 1, РиЫ. МасЬ.
1.Н.Е.Я. 43 (1974), 273- 307. О ЛОКАЛЬНОЙ ДЗЕТА-ФУНКЦИИ ИГУЗЫ 327 [9) Ве!!бпе Р., СоЬошо!об!е Есасе (БСА 4 1/2), Ьесс. Негев !п МасЬ., чо1. 569, Брт!пбег-Чег!аб, НеЫе1Ьегб, 1977. [10] Везет Л., ТЬе гас!опабсу о! сЬе Рошсагб вепев аввос!агеб со СЬе р-айс рошгв ои а чапе!у, 1пчепС. МаСЬ. 7Т (1984), 1-23 [11] ВепеГ Л., Оп сЬе еча1иасюп о1 сетгаш р-вйс шсера)з, Ябппвапе бе ТЬбопе г!е ХошЬгев Раг1з 1983-84, Ргорезв ш МаСЬ, чо!. 59, ВЬЫтабзег, 1985, 25- 47. [12] Вепет Л., Оп сЬе берез о! !бизе'з 1осв1 веса 6пкИоп, Ашег.
Л. МасЬ. 109 (1987), 991-1008. [13] Вепе1 Л., Ми!Цр!!сИу оГ сЬе ро1ев о! сЬе Рошсатб вепез о! а р-аб!с виЬ- апа1уС!с веС, Ябш!айте т!е ТЬеопе бе НошЬгев т!е Вост!еаих, 1987-1988, Ехрове и'43. [14] Везет Л., Ьоса1 вега 6шсгюпв апб Еи!ег сЬагасгепззкз, ВиЬе МаСЬ. Л, 63 (1991), 713-721. [15] Везет Л., Верее оГ 1осв! кеса 6шссюпв аиг! шопог!гошу, Сошроз!С!о МаСЬ. 89 (1993), Но. 2, 207-216. [16) Вепет Л., Ьоевег Р., Сатасгбп!вс!9ие йЕи!ег — Рошсаге, Ропссюпв зеСа 1оса1ез ес Моййсасюпв апа!ус!гсиев, Л.
Ашег. МасЬ. Яос. б (1992), Но. 4, 705-720. [17] Вепе! Л., Меизег В., А 6шсИопа1 егсиаС!оп о! 1биза'в 1оса1 зеСа 6икС!оп, Ашег. Л. МасЬ. 113 (1991), Хо. б, 1135-1152. [18] Везет" Л., Багбов Р., Ро!уег!ге г!е 1!етчсоп ес йзспЬис!оп /+. 1, Л. Апа1- уве МасЬ. 53 (1989), 201-218; Ро!уедте г!е Хетчсоп ес йвспЬисюп /+*.
Н, Л. АпаЬ МаСЬ. 53 (1939), 201-218. [19] Вепе( Л., чап беп Впсз, р-айс апт! геа1 виЬвпа1угк весе, Апп. о( МасЬ.- 128 (1988), 79-138. [20] Ви ЯаиСоу М., Ьбшге!у бепегасег! бтоирв, р-айс апа!уИс роирв, апг! Рошсвхб вепев, Ви!1. Ашет. МасЬ. Яос. 23 (1990), 121-126. [21] ВчтогЬ В., Оп сЬе тас!опа!!су о! сЬе веса !ипсс!оп оЮ ап в1беЬгак чапесу, Ашег. Л. МасЬ. 82 (1960), б31-648. [22] СгосЬепйесЬ А., Ве1!рте Р., Кагз г!., Сгоирев г!е Моподтопие еп Сбошбгпе А15еЬпг!ие (ЯСА7), 1 ест. 1!огсз !и МаСЬ., чо!в. 288, 340, Ярт!обет-Чег!аб, НеЫе!Ьегб, 1972-73.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
