Труды семинара Бурбаки за 1991 г (947404), страница 71
Текст из файла (страница 71)
По этой причине мы приняли решение давать ссылки только на современную литературу. Отметим, однако, что интерпретация результанта как детерминанта комплекса Кошуля (см. п. 7.5), по-видимому, восходит, по крайней мере частично, к работам Кали и что она была развита с более общей точки зрения Э. Фишером (г(всЬег Е., ОЬег сйе Сау)еу'зсЬе Е!ип1па$1опз-шегЬоде, МасЬ. 2. 26 (1927), 497-550) . О.
СОГЛАШЕНИЯ И ОБОЗНАЧЕНИЯ Для й > 1 положим [я] = (1,2,..., Ь). Если Х С гь",то обозначим через Я(Х) выпуклую оболочку множества Х. Если М вЂ” решетка ранга г в В.", то формой объема в М®иВ., соответствующей решетке М, назовем меру Лебега, нормализованную таким образом, чтобы объем одной ячейки решетки был равен т'., т.е. чтобы объем стандартного симплекса был равен единице. 1. ВТОРИЧНЫЙ МНОГОГРАННИК 1.1. Напомним, что веером в В." называется конечное семейство, (С )иег полиздральных конусов, таких, что (1) если С вЂ” грань конуса С ,то С = СЛ для некоторого Д Е 1; (й) Св О Сл является гранью и конуса С„, и конуса Сл для любых а и Д из 1. Веер (С,„),„ег называется полным, если О гСа = В".
По многограннику К в В," можно определить полный веер Г(К) следующим образом. Для каждой точки р из К положим С(К, р) = (е Е В"; Чр Е К (е, р) ( (е, у)) ((, ) означает обычное евклидово скалярное произведение). Если г является гранью многогранника К, определим С(К, г) как С(К, р) для некоторой точки р, внутренней по отношению к грани т. Опрв. делим веер г'(К) как семейство всех С(К, т), где т пробегает мно. жество граней многогранника К. 1.2.
Пусть А = (а1,..., а„) — множество из п различных точек в В.» и ьГ(А) — выпуклая оболочка множества А, размерность которой будет предполагаться равной й — 1. Триангуляцией множества А по втогичныв многогранники и дискгиминднты ззз определению является симплициальная триангуляция Т многогранника Я(А), такая, что вершины симплексов из Т содержатся в А.
Обозначим через Т(А) множество всех триангуляций множества А. Более точно, мы рассматриваем элемент Т множества Т(А) как семейство (п)ю и строго возрастающих отображений и: (й] -+ ]и]. При этом отображению и ставится в соответствие симплекс ~т, являющийся выпуклой оболочкой точек а„01. Тот факт, что Т есть триангуляция многогранника Я(А), эквивалентен следующим двум условиям: (О О, = ь)(А); (й) если а и а' содержатся в Т, то пересечение йОФ либо пусто, либо является гранью как симплекса В, так и симплекса У'. В дальнейшем, допуская некоторую вольность речи, мы будем иногда такие симплексы У (и и) называть симплексами максимальной размерности, а их грани — симплексами. 1.3.
Следуя [О-К-2 2], мы сейчас любой тряангуляции Т Е T(А) поставим в соответствке полиэдральный конус в К". Прежде всего, отождествим К" с В.". (Если д = (вы..., я'„) б К", мы будем писать «(а«) = 4~;.) Каждый вектор ф е К" определяет непрерывную функцию дт,е' ««(А) -+ В., аффинную на каждом симплексе д, а б Т, такую, что если а, — вершина симплекса б, то дг,«(а«) = Ф(а«) ° Определим конус С(А, Т) как множество таких ф, что (») функция дт «выпукла; (й) дт В(а;) < ф(а;) для всех а, б А.
(Мы не требуем, чтобы все точки из А являлись вершинами триангуляции Т.) Можно проверить, что У(А) = (С(А, Т))тат(л1 является полным веером. 1.4. Определим полиэдральные разбиения многогранняка Я(А) с вершинами в множестве А аналогично триангуляциям; они будут не симплициальными, а полиздральными комплексами. Каждому вектору Ф ч К" поставим в соответствие полиэдральное разбиение Яе многогранника Я(А) с вершинами в А следующим образом. Обозначим через РЕ выпУклУю оболочкУ точек (а;, ф;) в пРостРанстве.К»+'; тогда Че получается проектированием множества компактных граней выпУклого тела Ре+(0) х К+ на К».
Такие полиэдРальные РазбиениЯ мы будем называть регулярными. Для общего ф разбиение Я,ф является триангуляцией. Если Т вЂ” регулярная тркангуляция, то ясно, что множество таких «д, что Я«, = Т, совпадает с внутренностью конуса С(А, Т). Обратно, можно проверить, что если С(А, Т) имеет непустую внутренность, то Т регулярна. В общем случае полиэдральное Разбиение регулярно тогда и только тогда, когда на Я(А) существует Фраисуз Лазар непрерывная функция, аффинная на каждом многограннике из этого разбиения и строго выпуклая (в очевидном смысле). Обозначим через Тз(А) множество регулярньпс триангуляций множества А.
1.5. Полные вееры не обязательно все должны иметь вид Р(К) для некоторого многогранника К. Однако мы сейчас увидим, что зто именно так в случае веера У(А) . Обозначим через (е1,..., е„) канонический базис в Н". Следуя [О-К-Е 2], сопоставим множеству А некоторый новый объект — вторичный многогранник Щ(А). Определение 1.5.1 [С-К-Е 2]. (1) Если Т 5 Т(А), то обозначим через ф(Т) вектор ~ чо1(о)(е,(1) + + е«1ь>). «ет (й) Определим СЩА) как выпуклую оболочку всех векторов ф(Т), Т 5 7 (А) . Теорема 1.5.2 [О-К-Е 2]. Вееры Г(ф~(А)) и У(А) соеаадаюоз. Точнее, если Т б Т(А), ою С()',)Я(А), фт) = С(А, Т) .
Доказаязельспзво. Поскольку оба веера полны, достаточно доказать, что для всех Т б Т(А) С(А, Т) С СЯЯ(А), фт) (Заметим, кстати, что из этою включения срезу следует, что У(А) — веер.) Надо доказать, что если ф с С(А, Т), то (ф, фт) < (ф фт') для всех Т' б Т(А) . Для этого заметим, что по определению конуса С(А,Т) мы имеем дт,о(х) < дт,о(х), если Т' б Т(А) и х е Ц(А).
Тогда дт, р(х) ах < / дт о(х) 1(х. / ЩА) «1«(А) С другой стороны, —.(, .) )«1 1 дт р(х) 1(х = ~~1 — ~ дт,о(а«11)) чо1о = — (ф,*) ~ 1«(А) «ЕТ 1=1 причем такое же равенство имеет место для Т'. Это показывает, что (ф,*) < (ф,фт) С) Из теоремы 1.5.2 вытекает такое следствие: ВТОРИЧНЫЕ МНОГОГРАННИКИ И ДИСКРИМИНАНТЫ 335 Следствие 1.5.3. Вершинами многогранника ЯЯ(А) лвллюшсл фт при Т Е 7е(А).
Замечание 1.6.4. Можно получить описание, аналогичное следствию 1.5.3, для граней многогранника Яц(А) любых размерностей: грани многогранника ЯЯ(А) находятся во взаимно однозначном соответствии (на самом деле имеет место нзоморфизм частично упорядоченных множеств) с регулярными полиэдрвльными разбиениями множества А. Если Р— некоторое полиэдральное разбиение множества А, то ему ставится в соответствие конус С(А, Р), определяемый так же, как и для триангуляций, и, когда Р регулярно, С(А, Р) совпадает с нормааьным конусом грани многогранника (ЩА), соответствующей разбиению Р ([С-К-Е 2], [В-Р-В]).
1.6. Здесь мы дадим построение вторичного многогранника ЯЯ(А) по работе Виллера, Фнллимана н Штурмфельса ([В-Е-эВ]). Множеству А поставим в соответствие матрицу размера п х й, у которой 1-я строка состоит из координат точки а;. Обозначим через и е ЛАВ.н внешнее произведение ее столбцов. Если отображение оч [й] -~ [п] является строго возрастающим, положим е е„<Н Л ° Л е„<ц Е Л~В.". Распространим на Л"В." скалярное произведение (, ) и положим г(о) = г16п (и, е,) . Если Т Е Т(А), положим рт = ~ ~г(о)е ает Обозначим через У(А) выпуклую оболочку всех рт, Т Е Т(А) . Если Т и Т' суть две различные триангуляции, то (рт, 'Рт ) = [Т П Т [ < ]Т[ = (Рт, Рт), и это доказывает, что вершинами многогранника У(А) являются в точности ~рт при Т Е Т(А).
Рассмотрим отображение я: ЛАВ." ~ В.", а у > ~~~ ((е; Чу) Ле,,б)е;, где скалярное произведение Ч задается формулой (аЛЬ, с) = (а, Ь Ч с) . Следующее предложение устанавливает связь между У(А) и Щ(А) . Предложение 1.6.1 [В-Е-В]. Имеега месшо равенсшво (~Я(А) х(У(А)). 1 т. Описание ребер многогранника ЯЯ(А). Минимальные линейно зависимые подмножества множества А называются циклами.
Франсуа Лааар Если Š— цикл, то Т(2) состоит в точности из двух элементов, которые мы неканоническим образом обозначим через Т+(2) и Т (Е) . Действительно, пУсть 1 гсарР = 0 — оДно из нетРивиальных линейных соотношений между точками из Е; тогда положим Е+ —— (рб2; ар>0) и 2 = (р е Е; сар ( О). Определим Т+(2) (соотв. Т (2)) как триангуляцию, состоящую из симплексов ьд(2 ~ (р)), р Е Е+ (соотв. Е ). Определение 1.7.1.
Пусть Т е Т(А) и 2 — некоторый цикл. Будем говорить, что триангуляция Т опирается на 2, если (1) все вершины триангуляции Т, содержащиеся в Я(2), содер- вЕ; (Н) многогранник Я(2) является объединением граней симплексов из Т; (ш) пусть Я(1) — некоторый симплекс максимальной размерности одной из двух построенных триангуляций Я(2); если существует 1 С А~2, такое, что Ц(1О1) является симплексом максимальной размерности из Т, то для любого другого симплекса максимальной размерности Р из той же триангуляции многогранника Я(2) множество Я(1' О,1) является симплексом триангуляции Т. Если Т опирается на 2, то Т индуцирует некоторую триангуляцию на Е, скажем, Т+(Е).
Можно построить новую триангуляцию ел(Т) множества А следующим образом: заменим симплексы вида Я(1 0 У), где 1 Е Т+(Е), 1 С А ~ Е, на симплексы Я(Р О 1), где Г е Т (Е). Тогда вг(вг(Т)) = Т. Ни следующих рисунках приведены примеры. Следующий результат описывает ребра многогранника ьЩ(А) . Теорема 1.7.2 [6-К-Е 2]. Пусть Т и Т' — дее регулярные трнангуллинн мнозсестеа А. Вершины рт и рт многогранннке (ЩА) ВТОРИЧНЫЕ МНОГОГРАННИКИ И ДИСКРИМИНАНТЫ 337 соедииены ребром тогда и только тогда, когда существует иикя Е С А, ма который опираются Т и Т', такой, что Т'= лх(Т). В п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
