Труды семинара Бурбаки за 1991 г (947404), страница 66
Текст из файла (страница 66)
Степень локальных дзета-функций. (4.1.1) Так как Ее(г, у) — рациональная функция от е ', то можно определить ее степень деб Ее(г,,С) как разность между степенью числителя и степенью знаменателя, рассматрнваемьпс как многочлены от о *. В предположениях теоремы 3.4 из явных формул вытекает, что ое3Еф(г, Х) < О. Ясно, что эта степень отрицательна тогда и только тогда, когда Ъш,~ Ее(е, Х) = О.
(4.1.2) .Предложение [12). Длл почтли всех Р выполняетлсл раеенстпео бек Ее(г,,'Ч„ь) = О. Если мнагочлен ( однороден, п1о бек Е(з, умы) = — деку. Доказательство. Из теоремы 3.4 следует, что д" 1пп Ее(е, Кы ) Ги 2 сдд„,„,е - =д" Ее(0, Хщ,) = 1 щось д. ЗСт Таким образом, 1пп,, Ее(з,,ОН,) ф О. Первое утверждение доказано. Второе утверждение следует нз первого в силу формулы г(е,у) =д"+*" УЕ.(г,х). (4.1.3) При 7(0) = 0 мы доказали в [15) с помощью метода исчезающих циклов [22], что для почти всех Р и произвольного характера у группы К" порядка д Ъщ Ее(е,к) = (1 — д)д "~ ( — 1)'Тг($1ОЪ,Н'(Ре, Я~) ), г где Ре — слой Милнора функции у в точке О, через Нг(Ре, Яс)х обозначена компонента'группы когомологий, на которой полусимплификация локальной монодромии действует как у, а гтоЬ вЂ” зто подходящее поднятие оператора Фробениуса.
В частности, отсюда следует, что оеб Ее(г, Х) < О, если у локальной монодромии функции у в точке 0 нет собственного значения порядка д. 4.2. Функциональное уравнение. (4.2.1) Через КОО мы обозначаем неразветвленное расширение поля К степени е и полагаем Е(г,е, Х) он Е(г ХьНкн~,~к КОО 1) где Н обозначает норму. Д. Мезер показал [бц, что функция л (г, е, уич„), рассматриваемая как функция от г и е, является рациональной функцией от о ", аы..., а', для некоторых пы..., а„6 С. 312 Жан Дьньф В случае хорошей редукции из теоремы 3.4 и формулы (3.5.1) непосредственно следует, что зто утверждение верно и для функции Я(з, е, Х), где х — произвольный характер группы К".
В силу этой рациональности функцию л(з, е, Х) можно канонически продолжить до некоторой функции на С х 2 '1 (О]. Эти обозначения позволяют нам сформулировать результат Мезера и Денефа [17] (см. также [62]): (4.2.2) Теорема [17]. Если многочлзн ~ однороден, шо длл поп»пи всех Р выполнлеп»сз у»ункииональнае уравнение я(з, — е, Х) = у " 'з гя(з, с, х ') длз всех е 6 Е'1(0). Идея доказан»ельсп»ва. Для однородного многочлена функцию Е(з, х) можно выразить 'явно с помощью вложенного разрешения особенностей (с хорошей редукцией) кольца Рго)К[х]/(Дх)). Это выражение имеет то преимущество, что многообразия Ег становятся собственными.
Затем можно применить функциональное уравнение для дзета-функции Вейля многообразий Ег и вывести теорему для случая тривиального характера Х. В общем случае необходимо использовать двойственность Пуанкаре для пучка У;, на Ег П Уз (обозначения такие же, как в п. 3.5). Это возможно, так как когомологии этого пучка равны когомологиям с компактными носителями в силу леммы 3.6.
4.3. Тоцологические дзета-функции. [4.3.1) Лезер и Денеф [16] связали с каждым многочленом г 6 С[х] и натуральным числом д»топологическую дзета-функцию» 4Ф():= Е ( )Пк„„. гст ге» у»ег: з~№ (4.3.1.1) (4.2.3) Приведенное выше функциональное уравнение принимает интересный вид, если функция Я(з,,'С»н„) универсальна, т.е. если существует функция Я(и, и) 6 фи, и), такая, что Я(з, х»н„, К»'>,,г ) = Я(д ", д ') для всех е 6 Х '1 (0) .
Такое часто случается, если у является относительным инвариантом некоторой редуктивной группы (см. п. 7.6). Отметим, что если функция Е(з, х»н„) универсальна, функциональное уравнение иэ (4.2.2) принимает вид Я(и ', и г) = ивзз» Я(и, и) . Именно такой гипотетический вид функционального уравнения был первоначально предложен Игузой [38]. Его гипотеза основывалась на обширных вычислениях относительных инвариантов впредоднородных векторных пространствах. О ЛОКАЛЬНОЙ ДЭЕТА-ФУНКЦИИ ИГУЭЫ здесь использованы обозначения п.
(1.3.1) для разрешения особенности поверхности уровня у '(О) над С. Замечательно,что это выражение не зависит от выбранного разрешения. Единственное известное на сегодняшний день доказательство этой формулы использует локальные дзета-функции. Предположим для простоты, что коэффициенты функции у принадлежат числовому полю Р. Тогда для почти всех Р теорема 3.4 и формула (3.5.1) дают Ят(,~)(в) = 1пп Я(в,е, Х), т-та (4.3.1.2) где Х является характером группы К" порядка и. Отсюда следует, что определение функции оть (в) действительно корректно. Переход (в) к пределу при е -т 0 имеет смысл, так как функцию Я(в, е, Х) можно 1-адически интерполировать как функцию от е (при е, кратном подходящему числу, см. [16]).
В частности, о о 1ппст,х(К()) =Х (ЕЛЗР Рх) =Х(Е() (4.3.1.3) для почти всех Р; через Х, здесь обозначена эйлерова характеристика относительно 1-адических когомологий с компактными носителями (ср. [41]). Из (4.3.1.2) также вытекает следующее утверждение. (4.3.2) Теорема [16]. Пусть р — полюс функции Ят )(в) . Тогда для почти всех Р и всех характеров Х группы К" тюрядка т( суще- ствует бесконечно много неразветвленных расширений Е поля К, для которых р являетпся полюсом функции Я(в, Х о ))(ь(», Е, у) . (4.3.3) Ввиду того что о(0, Хти,) = 1, из формулы (4.3.1.2) следует, что Е, (О) = 1.
Локальный вариант этого утверждения вместе с техникой приближений М. Артина дает следующее приложение к аналитической геометрии. (4.3.4) Теорема [16]. Пустпь тт: У -т Х вЂ” аналитическая перестпройка компактпных аналитических многообразий. Предположим, чтпо исключительное множестпво Е отображения А имеетп ттсрмальные пересечения в т'. Пустпь Ет, т' Е Т, — неприводимые компонентпы Таким образом, иэ справедливости гипотезы (2.3.1) следовало бы, что полюсы функции оюр(в) являются корнями многочлена Берн(е) штейна Ьу(в) .
Однако даже связь с локальной монодромией (которэя вытекала бы иэ гипотезы (2.3.2)) до сих пор не доказана. 314 Жан Денеф множества Е, а Ет, гч определены, как в и. (1.3.1). Тогда Х(А(Е)) = ~ Х(Ет)(пт, интст где пт = П;отьц Интересно было бы найти доказательство этой теоремы, не использующее локальных дзета-функций. 4.4. Голоморфиость функции Ее(в, 1т) и моиодромия.
(4.4.1) В силу теоремы (1.3.2) функция Яв(з, тт) голоморфна на С в случае, когда порядок характера 1т не делит ни одно иэ чисел Ж; . Числа )тт'; определены неинвариантно,но порядок любого собственного значенвя оператора локальной монодромни на 1 '(0) (как корня из единицы) делит некоторые из Атт. Следующая гипотеза весьма оптимистична. (4.4.2) Гипотеза [15[. Если Ф вЂ” вычетная функция и порядок харантпера 11 не делипт порядок никакого собстпвенного значения оператора локальной монодромии много алена т' ни в одной иг комплексных точек поверхностпи уровне 1 т(0), то длл почтпи всех Р функция Еь(з, Х) являетпся голоморфной. На самом деле эта гипотеза может оказаться справедливой для любого Р и любой функции Ф.
Следующее утверждение показывает, что это наилучшая из возможных гипотез. (4.4.3) Предложение [15]. Предположим, что 0 является изолированной особенностью гиперповерхности Дх) = О. Для почпти всех Р, если порядок д ф 1 характера 1т группы К" даеипт порядок какого- нибудь собсптвенного значения локальной монодромии функции 1 в О, то функция Яо(з, Х ь А1ст», Ь, та) не гояоморфна в С для бесконечно бояьшого числа нероэветвяенных расширений Ь поля К. Доказательство. Из теоремы 3.4, формулы (3.5.2) н варианта формулы (4.3.1.3) получаем (4.4.31) ВптСоейт (д' — 1) ~Го(з,11ь)У»оттк К~ ~ 1) е-+о тт(Ет П тт т (0)) В/ьтдтн для всех т Е )т"1(0) . Из предположения о числе д и формулы АнКампо (2.1.2) следует существование минимального тп, такого, что д[тп и О ЛОКАЛЬНОЙ ДЗЕТА-ФУНКЦИИ ИГУЗЫ 315 у(Е; П А 1(0)) ф О.
Эта последняя сумма равна, таким образом, правой части формулы (4.4.3.1). Значит, дзета-функция над КОО непостоянна для бесконечного множества значений е, и поэтому она неголоморфна, так как ее степень неположительна. 4.5. Ь-функции экспоненциальных сумм по модулю Реь. (4.5.1) Ь-функция экспоненциальной суммы по модулю Р'" для многочлена у Е Н[х) определяется формулой ее Е (г, К, 7):= ехр ~~ Е(х, К~'~, У)— е е=1 для т Е 1У '1 (0). Применяя метод Дворка [21], можно показать, что Е (1, К, у) является рациональной функцией по $. В случае ручной хорошей редукции это можно вывести непосредственно из предложения (1.4.4) и результатов равд.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
