Труды семинара Бурбаки за 1991 г (947404), страница 68
Текст из файла (страница 68)
6. РАБОТЫ ВЕЙСА 6.1. Связи между числовыми характеристиками. Пусть / 6 С[х] и Ь: У -+ С" — вложенное разрешение особенности поверхности уровня у г(0) над С, постароеннос, как в [25]. В частности, Ь является композипией раздутий. Вейс [80, 81] построил общую теорию отношений между числовыми характеристиками разрешений, обобщающую лемму,(5.2.2) .
В обозначениях п. (1.3.1) зафиксируем исключительный диввзор Е = Е, 1' 6 Т 1 Т,. Пусть Е,', 1 6,7, — неприводимые компоненты о множества Е1Е. Для 1 6 д обозначим через №, ьт числовую характеристику единственной компоненты Е~ ф Е, которая содержит Е';, и положим еи = ьч — №о /АГ1. Отправной точкой рассуждений Вейса послужила следующая лемма.
(6.1.1) Лемма [80, 81]. Пустаь Кп — канонический дивизор на Е и Ег — дивизор самопгресечгнил дивизора Е в г'. Тогда Кн = ~~~ (сп — 1)Е,' в Р1сЕЭ Я и ЦЕг = — ~~~ №Е,'. в Р!сЕ, гео его гдг Рьс обозначасгп группу Пикара. 32О Жьн Дьньф Доказательсгвво. По определению числовых характеристик имеем ~ ьетй;Е, = О и Ку = Я,. г(гн — 1)Е; в Р1сУ.
Таким образом, Ф Е = — ~,~ )У;Еу, и формула для М;Ез получается взятием пересечений с Е. Более того, Кг+Е = иуЕ+ Я~у(гч — 1) Е; . Заменяя ьОЕ на — '>, М,и М 1Е;, получаем Кг+ Е = 2, .(а; — 1)Е;. Выражение для Кя следует теперь иэ формулы присоединения Кл = (Кг+Е) . Е. (6.1.2) Докозательс|вео леммы (5.2.2). Эта лемма непосредственно получается из пряведенной вьппе леммы путем взятия степеней обеих частей равенства,так как йеяКя = -2. (6.1.3) Опишем теперь некоторые результаты Вейса.
С созданием множества Е в процессе разрешения можно связать основные соотношения (В1) и (В2), обобщающие лемму (5.2.2). Помимо этого с каждым раздутием, ьизменяюпшмь Е в процессе разрешения, связаны дополнительные соотношения (А). Точнее говоря, многообразие Е в окончательном разрешающем пространстве У может быть получено конечной последовательностью раздутий Еь < — '- Е' < — '.... Е' ь — '- Еьы... ь-" — Е ' ь —:-'- Е = Е с неприводимым неособым центром П, С Е' и исключительным подмногообразием Соы С Еьы для 1 = 0,1,...,т — 1. Многообразие .Еь создается на каком-то шаге глобального процесса разрешения как исключительное многообразие некоторого рзздутия с центром Ю; оно изоморфно расслоению проективного пространства П: Ео -+ Ю над ьз. Пусть С,, 1 б оо, — неприводимые компоненты пересечений многообразия Ео с ранее созданными исключительными дивизорами в глобальном процессе разрешения или с собственным прообразом поверхности у 1(О). Тогда Е,', г' й,7, являются в точности собственными прообразами множеств С;, 1 6 оо 0 (1„..., т).
Мы полагаем, таким образом, о' =,7о о (1,...,т), Е,' = (собственный прообраз множества С,). Соотношения (А) выражают числа а; (соотв. Ж; тойоту) для 1 = 1,'...,т через числа а~ (соотв. Ж~ п1ой Ж.) для 1 й,Уо 0 (1,...,1 — Ц, см. [80, 81]. Соотношения (В1) имеют вид (В1) ) й;(а; — 1) = — й и ~ й;М; = Отпой Ф., се оо где й = и — й(ш1У и й; — это степень цикла пересечения С;. Е на Е для общего слоя Р ь — ' Р" ' расслоения П: Ео -ь Э. Соотношения (В2) выполняются в Р1с 21, и их описать труднее.
Для случая когда Ю вЂ” точка, они пусты. Если и = 3 и П вЂ” проективная кривая рода у, соотношения (В2) для а; становятся числовым соотношением, если О ЛОКАЛЬНОЙ ДЭЕГА-ФУНКЦИИ ИГУЗЫ 321 взять степени в Р1с Э, а именно, — '(а; — 1)+ ~ (а; — 1) = 2д — 2, шло ~е.~0 ФИо а=о где х; — индекс самопересечения компоненты С; в Ео. Доказательство соотношения (В1) основано на лемме (6.1.1); при этом берутся степени пересечения с Е собственных прообразов в Р1сЕо дивизоров в Р1с Е. Доказательства соотношений (В2) и (А) также основаны на лемме (6.1.1), но они требуют дополнительной работы.
6.2. Приложении к гипотезе о монодромнн. В п. 5.2 мы видели о о две конфигурации Е = Е,, которые ие дают вклада в полюсы, а именно прямую Р' беэ одной нли двух точек. С помощью соотношений из п. 6.1 Вейс распространил зто утверждение на высшие размерности (в большей степени на поверхности, п = 3), предложив длино ный (хотя и не исчерпывающий) список конфигураций Е, не дающих вклаДа в полюсы фУнкЦии Ю(о, Хо„„) (это означает, что пРи вычислении вычета в точке в = — и /Ф.
с помощью явных формул в предположении хорошей редукции и достаточно большого поля К можно о а .о опустить все Ес, для которых ЕГ С Е). При у(Е) = О и Е С й 1(О) о Е не дает вклада в формулу А'Кампо (2.1.2). Таким образом, с точки зрения гипотезы о монодромии можно ожидать, что такое Е обычно а не дает вклада в полюсы. Вейс искал конфигурации Е, для которых а у(Е) = О, и доказал, что все найденные нм конфигурации, кроме двух, не дают вклада в полюсы. Я считаю этот факт веским подтверждением гипотезы о монодромии. Вот два примера не дающих вклад в о полюсы конфигураций с Ео = Рэ.
Пример 1: Е = Рз'1(по крайней мере две прямые, проходящие через одну н ту же точку Р, и третья а прямая, не проходящая через эту точку). Пример 2: Е = Рэ'~(кривые х=О, у=О, я=О и уьз=хь+~) при й>2. 7. ПРЕДОДНОРОДНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 2.1. Рассмотрим регулярное предоднородное векторное пространство (С,Х) над полем К, состоящее иэ связной редуктивной алгебраической подгруппы 0 группы ОЬ„, определенной над К,которая действует транзитивно на дополнении (Г к абсолютно неприводимой К-гиперповерхности У в Х = А".
Пусть Р задается уравнением 322 Жаи Деиеф у = 0 для у е К[я]. Тогда многочлен у однороден и у(дх) = и(д)у(х) для всех д Е С, где и — рациональный характер группы с'. Таким образом, у является относительным инвариантом группы С. Имеем (с)еСд) = и(д)~, где к = и/деб(1), 2к 6 )ч(. Кроме того, степень многочлена Бернштейна Ьу(з) равна беб(~) . Все эти сведения можно найти в [70].
(На самом деле Ьу(з) равен многочлену Сато, см. [23, Сот. 2.6.10].) Мы увидим ниже, что локальные дзета-функции таких относительных инвариаитов у имеют весьма замечательные свойства. В архимедовом случае это было впервые обнаружено М. Сато и Синтани [70], р.адический случай был впервые исследован Игуэой [31]. В дальнейшем К является р.адическим полем, а и пп. 7.4 и 7.5 мы дополнительно предполагаем, что У имеет лишь конечное число орбит относительно действия подгруппы 1сеги. Приведем сначала простой пример. 7.2.
Пример. Возьмем в качестве Х пространство (тп, па)-матриц, положим С = Ял' х Су, и будем считать, что под действием элемента (да, дз) е С точка я е Х переходит в д1 яда. Тогда 7 (х) = дев х, Ь(з) = (з+1)(з+2)... (з+т) и Я(з,дая ) = ][=~(1 — и е)/(1-Ч ' '). Имеются также примеры, в которьпс у является определителем (соотв. пфаффианом) на пространстве симметрических (соотв. антисимметрических) (па, па)-матриц или дискриминантом на пространстве бинарных кубических форм.
7.3. М. Сато и Кимура [69] построили полную классификацию по 29 типам всех К-расщепленных неприводимых (как представления) регулярных предоднородных векторных пространств, а Кимура [42] вычислил их' многочлены Бернштейна. Для двадцати вэ этих двадцати девяти типов'> Игуза [26, 29, 31, 37] явно вычислил Я(з, Хан„) . Таблицы приведены в [36]. Его вычисления не используют разрешения особенностей, но опираются на симметрию групповой структуры. Во всех этих случаях формулы показывают, что вещественные части полюсов действительно являются корнями многочленов Ьу(з) .
Это было первое подтверждение гипотезы (2.3.1). На основании этих формул Игуэа и высказал в качестве гипотезы предложение (4.1.2) о степени фун ци г(з,Х,н.). 7А. Игуза [31] составил конечный список воэможньпс полюсов функции Ео(з, Х), основанный только на теоретико-групповых данных пары (й, Х) .
Вот ослабленный вариант этого результата. ПСовсеы недавно Игуаа ~40] вычислил о(а, Хыы) еще дли четырех типов. О ЛОКАЛЬНОЙ ДЗЕТА-ФУНКЦИИ ИГУЗЫ 323 Теорема (Игуэа [ЗЦ). Если в являетпся полюсом функции Ев(в, Х), тпо сущестпвуетп тпочка а Е У(К), такая, чтпо [тт()т)]я+ !'т = т3н(lт) длв всех )т Е Н, где Н вЂ” стпационарная подгруппа тпочки а в С(К), а он — модуль подгруппы Н (тп. е. т(()т "и)т) = дьн()т) т(и для любой меры Хаара ди на Н).
Кимура, Ф. Сато и Цу [4б] доказали недавно (с помощью микролокгльного анализа), что вещественные части всех возможных полюсов, описанных выше, являются корнями многочлена бу(в) в случае, когда пространство (С, Х) неприводимое и приведенное (в смысле [69]). 7.5. Согласно теореме Бореля и Серра, Н(К) расщепляется на конечное число орбит группы С(К), скажем на !7т,..., (ут . Для т = 1,..., ! определим функцию Ят ь(в, Х) так же, как функцию Яв(в, Х), заменив на (7т область интегрирования К". Эти функции рациональны по д ' (см. равд.
8) и удовлетворяют следующим функциональным уравнениям. Теорема (Игуза [31]). Для т = 1,...,! и всех Ф Ет,в. (в, Х) = ~ Тт;(в, Х) Е,,в( — — и, Х '), где Ф' — преоБразование Фурье функции Ф и Тт — рациональные функции от д ', не зависящие отп Ф, Более того, тпеорема из и. 7.4 птакэке выполняетпсв для Я; и уп . В формулировке теоремы молчаливо предполагается, что существует определенная над К инволюция группы Епб(Х), относительно которой подгруппа С неподвижна (часто можно взять транспозицию). Обобщение этого результата см. в [44]. При ! = 1 функциональное уравнение становится особенно красивым.
Игуза классифицировал пространства (С, Х) с ! = 1 для случая, когда группа 6 неприводима и К-расщеплена, и вычислил функции !м для этих случаев явно [33]. В архимедовом случае о функциях Ттт известно гораздо больше, см. [70]. 7.6. Для двадцати типов предоднородных векторных пространств, упомянутых в п. 7.3, Игуза [38] доказал, что функция Е(в, ттти„) универсальна в смысле п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
