Труды семинара Бурбаки за 1991 г (947404), страница 67
Текст из файла (страница 67)
3 (для т > 2). Следующая теорема выражает степень этих 1 функций в терминах монодромин. (4,5.2) Теорема. Предположим, что у у есть только изолирооаииые критические точки е С", и > 2. Тогда длл почти всех Р и всех т>2 бебЬ (1,К, у) = (-1)" '~а'" ', а где а пробегает осе критические значения (с учетом краткостей) действия моиодромии на Н" 1(Рь, С) ео всех критических точках Ь миогочлеиа у (о обозначениях и. (2.1.1)). Доказательстео.
Ясно, что е)еб Дед(г, К, У) = — Пш Е(х ™, К('>, У). е-+0 При у(0) = 0 предложение (1.4.4), теорема 3.3, формула (4.4.3.1) и соотношение Хассе-Давенпорта дают 1нп Ео(к и, КО), у) = 1 — ~~ )У;х(Е» П А "(0)) . Ф,уь-1 По формуле АеКампо (2.1.2) правая часть этого равенства равна (-1)п 2 се'ь ', где а пробегает все собственные значения действия монодромии на Н" ь(Рс, С) . Теорема вытекает теперь из замечания (4 5.3) ниже.
Для т = 1 теорема остается справедливой в случае, когда у у есть компактификация д: У -+ А', такая, что У '1 А" являетсл дивизором 316 Жан доноф с нормальными пересе""нпчми пад А', однако в общем случае она неверна. (4.5.3) Замечание. Отметим следующий совершенно элементарный факт. Если Ф вЂ” вычетная функция, у 6 В[х] и Су Г| Вирр Ф = |и, то Еф(в) = 0 при ]в] > д. 4.6.
Не-вклад от некоторых Ет. Теорема [14]. Пусть редукция хорошая. Пусть т — характпер еруппы К" порядка д и то 6 Т. Предположим, чтпо компонента Е<, собственная, д[Н;, и Ет ив пересекаетп ни одну компонентпу Е, тао кую, что д]Н1 .1 т" то Если Х(Е;,) = О, тпо вклад компонентпы Е;, в У(Я, х) равен нулю, т. е, суммирование в дтормуле иэ теоремы 3.4 можно веетпи по множестпву 1 С Т 1 (тв) . Это утверждение является непосредственным следствием формулы (3.5.1) и леммы, утверждающей, что в описанной ситуации о Нт(Е|о ео Ет',Ух) = 0 для всех т ф п — 1. В частном случае, коо гда Ен вффинно, эта лемма вытекает из двойственности Пуанкаре, о так как когомологии пучка Ут на Ен З Ео равны когомологиям с компактными носителями по лемме 3.6.
Об~ций случай требует дополнительной работы, см. [14]. 5. МНОГОЧЛЕНЪ| СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА 5.1. Многочлены вида у(х) + д(у) . Пусть у(х) 6 К[х], д(у) Е К[у], х = (хт,..., х„), у = (ут,..., у ) и Фт, Фв — функции ШварцаБрюа на К", К . Положим А(в,Х) = в+ 1, если характер 1 = Хти„тривиален, и А(в,х) = 1 в противном случае. Предположим, что Ст Г| ЯиРРФт С У" т(0) и Св ПВиРРФа С д '(0). Тогда полюсы функции А(в, х) Яв,в,(в, 11, К, у(х) + д(у)) имеют вид вт + вэ, где в~ (соотв.
вз) — это полюс функции А(в, х') Я~, (в, к', К, у) (соотв. функции А(в, хо) Яр,(в, хн, К, д)) для некоторой пары характеров К'он = х. Действительно, этот факт непосредственно вытекает из следствия (1.4.5) и того очевидного факта, что Ев,о,(в, К, Дх) + д(у)) = Ев,(в, К, ЙЕао(в, К, д). Заметим, что гипотеза о монодромии для этого случая полностью согласуется с результатом Тома и Оебастьяни [76] о монодромии многочлена у(х) + д(у). 5.2. Многочлены от двух переменных.
Покажем теперь, что гипотеза (2.3.1) о связи между функцией Я(в, х) и многочленом бу(в) О ЛОКАЛЬНОЙ ДЗЕТА-ФУНКЦИИ ИГУЗЫ 317 справедлива для любого многочлена / Е К[хз, хг] . Воспользуемся для этого каноническим вложенным разрешением (1', /ь) особенности поверхности уровня / '(О) над алгебраическим эамыканием К' поля К; в дальнейшем сохраняются обозначения и.
(1.3.1). В частности, ЕЗ являются проективными прямыми над К' при т' Е Т 1 Т,. Следующая теорема первоначально была доказана Страуссом [74] для ана литически неприводимых особенностей и почти всех колец Р, а затем распространена Мегерам [60], Игуэой [32] и Лезером [52] на общий случай. (5.2.1) Теорема.
Пустпь / Е К[хт,хг]. Если з лвл.зетпсз полюсом функиии Е(з, 1т), тпо Ие(з) = -о /Х длл некотпорого т' Е Т, причем ]Е, 1Ет[ > 3 или т' Е Т,. Относительно обратного утверждения см. [79]. Обычно большино ство множеств Е '1 Е, состоит не более чем иэ двух точек. Это объясняет, почему многие иэ возможных полюсов фактически не реализуются. Все известные доказательства теоремы (5.2.1) основаны на следующей лемме.
(5.2.2) Лемма. Зафиксируем т' Е Т~Т,. Пустпь а;, т' Е д, — геометприо ческие тпочки множестпва Е 1 Е . Длл 1 Е д обозначим через ДГ;, числовую характперистпику единстпвенноб компонентпы Ет ~ Е,, котпораз содержит тпочку а,, и положим а, = ьз — 1У;о /Дт . Тогда ~ /Ут Г— и 0 шоб Ж . (а; — 1) = -2, Первые доказательства этой леммы носили вычислительный характер. Лезер [52] обнаружил содержательное доказательство первой формулы, заметив, что степень дифференциальной формы ьт в теореме (5.2.4) ниже равна — 2.
В и. (6.1.3) мы дадим набросок простого содержательного доказательства обеих формул, принадлежащего Вейсу [82]. (5.2.3) Доказатпельстпво теоремы (5.2.1) (случай ручной хорошей редукции). Предположим для простоты, что все объекты определены над К. Рассмотрим множество Я всех Е, для которых Ве(з) = — од/туд . Предположим, что утверждение теоремы неверно. Тогда [Ет '1 ь Ет[ < 2 и т' р Т, для всех Е Е Я. Различные компоненты Е... Е,:, Е Я не пересекаются; в противном случае двойное применение последней леммы показывает, что существовала бы третья компонента Е,, Е Я, пересекающая Е,, Повторяя зто рассуждение, мы пришли бы к вы- 313 Жьн Денеф воду о том, что 5 бесконечно.
Пусть Е, О 5 и Ф делится на порядок Ы характера 1. Достаточно показать. что компонента Е, не а дает вклад в полюс е. Предположим, что множество Е, 1 Е состоит иэ двух точек а1, аг (для одной точки рассуждение аналогично). Если д,[' Ф1, то д ~ Не, согласно последней лемме, и компонента Ей не дает вклада в полюс в силу теоремы 4.6.
Предположим теперь, что д[Фь, д[Фг . Тогда пучок У„из п. 3 5 локально постоянен, а значит, и геометрически постоянен на Е, . Таким образом, из явной формулы равд. 3 следует, что вклад компоненты Е, в вычет функции Я(в,,с) в точке е равен (с точностью до множителя) 1ф( а1 ц-1+( оь ц-1 ( а1+оь ц/( а1 ц( аь ц Так как в силу последней леммы а1 + аг —— О, вклад компоненты Еу равен нулю.
(5.2.4) Теорема (Лезер [52)). Пусть / е С[х1, хе[ н у с Т ~ Т,. Если о [Ед ~ Ед[ ~ )3, то число — и /Ц лвллетсе корнем многочлена Бери. штейна бу(е) многочлена /. Идея доказательства. В обозначениях леммы (5.2.2) положим 5 = (а; [ 1 с ./). Предположим, что сн ф О для всех 1 О,7. (В противном случае требуется другое, но более простое рассуждение.) Вычет формы (/о Ь)' "'/~'Ь'(дх, лдхг) на Е = Р' определяет мероморфную дифференциальную форму ш с коэффициентами в подходящей локальной системе Ь ранга 1 на Р'15. Тогда (1) [5[ ) )3, (й) у формы ы нет нулей и полюсов вне множества 5 и (ш) кратность формы ы в каждой точке множества 5 нецелая.
Действительно, локальные вычисления показывают, что кратность формы ш в точке а; равна ол — 1, а Лезер с помощью трудного комбинаторного рассуждения показал, что [аэ[ < 1. Делинь и Мостов доказали, что тогда ш определяет ненулевой класс когомологий в Н'(Р' 15, Ь) . Таким образом, существует цикл у Е Н, (Р' 15, Ь), для которого / и ~ О. Рассматривая подходящее этальное накрытие дополнения Р1 '1 5 и поднятие цикла т7 для подходящего т с Х'1 (О), можно построить семейство циклов Р(1) Е Н1(/ '(1), С), Е ~ О, для которого /' /,щ дхаду ~' ~О '~'/о(с) д/ / ч Таким образом, старший член асимптотического разложения интеграла /;,<О(дх Л ду)/д/ имеет вид Ф '+">/и~. Так как ид/Фй < 1 (см.
[32)), то отсюда следует, что число — о /Ф; является корнем многочлена Ьу(е). О ЛОКаЛЬНОй ДЗятл-ФУНКЦИИ ИГУЗЫ 319 (5.2.5) Теоремы (5.2.1) и (5.2.4) в совокупности доказывают результат Лезера о том, что для любого многочлена у 6 К[хг, хг], если в является полюсом функции У(в, Х), то Ве(в) является корнем многочлена Бернштейна 52(в) .
5.3. Невырождеиные миогочлены. Эту тему мы затронем лишь вкратце. О понятии многочлена, невырожденного относительно своего многогранняка Ньютона в начале координат, см. Варченко [78]. Для таких многочленов существует явное вложенное разрешение, называемое гторическимв. Такое разрешение приводит, однако, к чрезвычайно обширному множеству кандидатов в полюсы функции Я(в, х) . Лихтин и Мезер [48] определили реальный набор полюсов для случая многочленов от двух переменных.
В общем случае разумный набор кандидатов в полюсы (по одному значению Не(в) для каждой грани многогранника) был получен Деиефом (неопубликовано, см. [54, ТЬеогеш 5.3.1]) (применяется тот же метод, что и в вещественном случае [18, 1]). Лезер [54] доказал, что при некоторых слабых дополнительных условиях эти кандидаты в полюсы действительно являются корнями многочлена Бернштейна Ьг(в) . Некоторые результаты и увлекательные открытые вопросы о наибольшем отличном от — 1 полюсе можно найти в [18, П].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
