Труды семинара Бурбаки за 1991 г (947404), страница 64
Текст из файла (страница 64)
(1.1.4) Замечание. Заметим, что значение ас Щх)), а следовательно, и функция 2е(з, Х, К, 1), зависят от выбора униформизующего параметра я. Чтобы сделать определение более каноническим, можно ввести 2в(ю, К, ~) = / Ф(х) е(Дх)) Щ зя" как 'функцию квэзиЕарактера ю группы К" (т.
е. непрерывного гомоморфиэма ю: К" + С"). Всякий квазихарактер и группы К" имеет вид в(у) = Х(ас(у))[у['. Таким образом, изучение функции 2е(ю, К, у) эквивалентно изучению функции 2е(з, Х, К, у) . Иногда полезна и точка зрения на 2е как на распределение Ф -+ 2,. 1.2. хйюеио решений сравнения. (1.2.1) Предположим, что коэффициенты функции у(х) лежат в В.
0бозначнм через Ф число решений сравнения у(х) = ОтобР в ЩР и положим Р(С):= ~~ е е "'"И~С~. Ряд Пуанкаре Р(С) непосредственно выражается через 2(з, Хин) по формуле Р() 1 — С2(з Хгл ) 1 — С зог Жен Денеф Действительно, так как мера множества (х Е Е" [ огб/(х) > т) равна о ""'М, эта формула следует из равенства (1.2.2) ) Ф(х) [дх[ = Яв(0, Хт„) — Сое(Г,- й вез де) >па Чтобы проверить последнее равенство, заметим, что выражение в левой части равно /е(*» *~ — 1; / ю*» *> ь<, еевйе)=е = Яе(0, Хм1 ) — ~~~ Соей;~ Яо(в, ут„) . е<п~-1 1.3.
Рациональность локальных дэета-функцнй. (1.3.1) Разрешения. Положим Х = БресК[х) и Р = Брес К[х)/(/(х)) . Выберем (вложенное) разрешение (У, Ь) для особенности поверхности уровня / '(0) над К. Это означает, что У является целой гладкой замкнутой подсхемой проективного пространства над Х, Ь: У -+ Х вЂ” естественное отображение, ограничение Ь: У 1 Ь '(Р) -+ Х 1Р является иэоморфизмом и приведенная схема (Ь "(Р)), ~, ассоциированная с Ь '(Р), имеет только нормальные пересечения (т.е. она распадается на гладкие неприводимые компоненты, которые пересекаются трансверсально, ср.
[25]). Обозначим неприводимые компоненты схемы (Ь 1(Р))„в через Е;, 1 Е Т. Среди них имеются компоненты двух типов: компоненты Е;, 1 Е Т„собственного прообраза схемы Р, а также исключительные дивизоры Е;, 1 Е Т ~ Т,. Для каждого индекса 1 Е Т обозначим через Ф; кратность компоненты Е; в дивиэоре функции /о Ь на У и через гч — 1 кратность компоненты Е; в дивиэоре формы Ь'(дх1 л... Лдх„) . Набор пар (И;, гч) называется числовой характеристикой разрешения.
Для 1 Е Т и 1 Е Т рассмотрим схемы Ее:=Е;~ЦЕ1, Е,;=[1Е;, Е,:=Е 1 Ц Ев. )ан )Е Т'~! При пустом множестве 1 положим Ев — — У. И пусть, наконец, Су с Х есть множество особых точек функции /: Х -+ А1к . (1.3.2) Теорема (Игуза [28, 30)). В обозначениях пп. 1.1 и (1.3.1) (1) в внкнил Яв(в, )г) лвляетсе рациональной функцией от о ', все ее полюсы содержится в множестве в = — ьэ/)ее + 2я~/ — 1Ь/Ее1пд, аде Ь Е Е, 1 Е Т, а порядок характера Х делит число М;; (й) если Су П Бпрр Ф Е / '(О), то Яв(в, у) = 0 длл почти всех у. О ЛОКАЛЬНОЙ ДЗЕТА-ФУНКЦИИ ИГУЗЫ 303 Доказатвельстео.
(1) Рассмотрим множество У(К) К-рациональных точек схемы У как К-аналитическое многообразие. Тогда Яе(в, Т) = (Ф о Л) 1((ас(у о 6)) ]у о 6]']6'(сЬд Л... Л сЬ~)] . .(у(к> Пусть Ь Е У(К) и (Ь Е Т ] Ь Е Е;) = ((~, ., 1,) . Существует локальная система координат уы '., у„на У(К) с началом в точке 6, для которой ,7 с 6 — су~ ° ° ° ую' АЬ (еь Ь'(4х( Л... Л 4х„) = Оу," ...у,"'" Иу~ Л...
Л ду„, где функции е и у аналитичны в некоторой окрестности У точки Ь, причем е(6) ф О, О(6) ~ О. Заметим, что для достаточно маленькой окрестности (( функции ]е] н ]0] и Х(асс) постоянны на ((. Ввиду того что прообраз Ь '(Барр Ф) компактен, функция Ее(з, 1() является конечной С-линейной комбинацией произведений сомножителей виДа д~*, й Е 2, нли виДа ]„м,>,1(~'(асз)]я[~"+"' ~Щ. Но этот интеграл отличен от нуля, если только порядок характера Х не делит М;. В последнем случае он является рациональной функцией от д ' со знаменателем 1 — д ~' "'. Пункт (1) доказан.
Доказательство п. (И) см. в [30, р. 91-96]. Замечание. Рациональность функции Яе(я, К) можно доказать и не используя разрешение особенностей, см. [10] и равд. 8. 1.4. Экспоненциальные суммы и интегрированна по слоям. (1.4.1) Пусть Ф вЂ” стандартный аддитивный характер на К, т.е.
Ф(з) = ехр(2х( Т~к~ц„(з)) для з Е К, где через Тг обозначен след. Вейль [83] ввел следу(ошие две функции: Ее(х) = Ее(з, К, У) = / Ф(х)Ф(зУ(х)) Щ, як" ! ~Ь! Ре(у) =Ее(у,К,У) = l Ф(*)~ — ~, (У '(ю) для з Е К и у Е К ~ Уу, где Уу = 1(Су) . Функция Ее(з) локально постоянна и ограничена на К. Интересно исследовать ее поведение при ]з] -+ оо. В простейшем случае, когда Су П Вирр Ф = Е(, Ее(л) = 0 для достаточно большого ]я[.
Функция Ре(з) локально постоянна на К (Уу н имеет компактный носитель. Ее поведение интересно исследовать при у, стремящемся к точке подсхемы Уу . Прекрасное введение в эти вопросы можно найти у Серра [73]. 304 Жеь Денеф В случае когда Ф является характеристической функцией простРанства В" (соотв. РВ"), мы бУдем писать Е, Е (соотв.
Ео, Ро) вместо Ев Ге. (1.4.2) Пусть т(х) а В[х], ш Е тч ~ (О). Для и Е В" очевидно, что „ „ Ф(и т(х)тп ) — классическая экспоненциальнея сумма шод Р'". Для а й А~Ъу обозначим через Дт (а) число решений в В(Р сравнения у (х) ьз а шоо Р'". Можно проверить, что Р(а) = тт' (а) /у~" О для достаточно большого (зависящего от а) т. Эту стабильную дробь Г(а) принято называть локальным сингулярным рядом, определяемым по у и а. Она играет важную роль в круговом методе. (1.4.3) Заметим, что функция Ее(г) = [' Ре(у)Ф(гу) [ду] является преобразованием Фурье функции Рв(у) на К н что функция Ее(,К,1) = ~ Гв(у) (у)]ду] ок является преобразованием Меллина функции (1-у ")(у) Ра(у) на К". Это наблюдение устанавливает связь между экспоненциаеьными суммами и локальными дзета-функциями.
Разлагая Ф и выполняя сдвиг, можно свести задачу к случаю Су П Яирр Ф с у '(0) . Тогда в силу теоремы (1.3.2)(1), (й) следующие величины выражаются друг через друга явными формулами (см. [28, 30]): (т) главные части лорановских разложений функции Яе(в, Х) в окрестности ее полюсов; (й) члены асимптотического разложения функции Ев(г) при [я[ -+ оо; (ш) члены асимптотического разложения функции Ре(у) при у -+ О. Дополнительная информация содержится в следующем предложении.
(1.4.4) Предложение. Пустое и Е В" и ти й о. Тогда Ев(ит ™) предстлавлвешсл в виде Ее(0 Холе)+ Соей'т -т (4 — д)Я~(в, Хтя„) (д-1)(1-1) + ~~~~ ~у„- Х(и) Со п — Ео(в Х) хая.ь где через с(Х) обозначен кондуктаор характпера Х, тл. е. наименьшее число с > 1, шакое, чтао Х тнривиален на 1+ Р', а через у„обозна- О ЛОКАЛЬНОЙ ДЗЕТА-ФУНКЦИИ ИГУЗЫ 305 чена гауссова сумма ( Ц-~ з- (х) "ч ' („)Ф(„1х (х)) »е(н/Рню) х Доказательство. Заменяя 1 на и1, мы заключаем, что достаточно доказать предложение для случая и = 1. Введем для любого положительного целого числа е интеграл 1в ь(в) = / Ф(х) Ф(я ' ас1(х))[1(х)[*[дх[. эк» Непосредственная проверка показывает, что Ее(я ) = / Ф(х) [дх[+ ~ ~Соей,» 1в, я(в) .
lоы 1(»)>»» ь<о»-1 Предложение следует теперь из (1.2.2), так как преобразование Фурье на (Гс[Р')" дает 1в,(в) = 2,( ),д -»Еь(в,)(). (1.4.5) Следствие (Игуза [28, 30[). Предположим, что С1 ПБпрр Ф С 1 '(О). Тогда длл достаточного большого [г[ функция Ее(г) .авллетсл конечной С-линейкой комбинацией функций вида )(( с( ))[ ["(1 К, [ [)в; коэффициенты этой линейкой комбинации не зависят от г, Л Е С является полюсом функции (в+ 1) Яв(в, )(»и,) или функции Яе(в, )(), Х г Х»»»», Р" Е»1 и )3 < (кратность полюса А) — 1. Более того, все полисы А действительно полвллютпсл в этой линейной комбинации.
Докаэательство выводится из теоремы (1.3.2)(1), (5) и предложения (1.4.4) путем разложения Яв(в, )() в сумму элементарных дробей. 1.5. Гипотеза Игузы об зкспоненциальных суммах. Пусть Š— числовое поле, 1(х) Е г [х[') (О) — однородный многочлен и о Е Е. Предположим, что 1 < а < попо,/Ж;, где минимум берется по всем (, кроме тех, для которых )»(; = ьц = 1, причем набор пар (1»(„ьц) образует числовую характеристику некоторого фиксированного резРешения особенности поверхности уровня 1 '(О) над Е. В силу следствия (1.4.5) для каждого р-адического пополнения К поля Е существует число с(К) Е В., удовлетворяющее неравенству [Е(г, К, 1)[ < с(К) [г[ для всех г Е К. Гипотеза (Игуза [30[). Б предыдущем керавекстве величину с(К) можко выбрать не зависящей от К. Жан Денеф 308 Зта гипотеза связана со справедливостью одной формулы Пуассона, см. [30 Р.
122, 170]. Игуза [27] доказал эту гипотезу для случал Су = (0) с помощью оценки Делина [8] длЯ экспоненциальных сумм над Р которая, в свою очередь, опирается на гипотезу Римана для многообррзий над Ре. Он проверил ее справедливость также для некоторых относительных инвариантов предоднородных векторных пространств [26 20],[30, Р. 123-127]. Спербер и Денеф доказали недавно эту гиььотезу для многочленов в(х), невырожденных относительно своего многогранника Ньютона сь(у) (см. п. 5.3), в предположении, что вершины многогранника Ь(7') не лежат в кубе [О, Ц" (и с учетом талька торических разРешений). 1.6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
