Труды семинара Бурбаки за 1991 г (947404), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Эквивалентное тре- 280 Жан-Пьер Бургнньон бование — чтобы функция 2 стремилась к криволинейной абсциссе интегральных кривых поля Г, исходящих из сколь угодно далеких точек многообразия М. Мы разовьем эту тему в равд. 4. Предложение (вакуумное пространство-время при заданной максимальной гиперповерхности). Луста дано гпрехмерное риманово многообразие (М, д) и поле симметричных билинейных форм к, определенное на м и удовлетворяюьиее уравнениям ограничения < 1~ой=О, бей=О, дса)в = 1к)в. (ЗЛ) 'Тогда для того чпьобы решить уравнения Эйнштейна с начальными данными (М, д, /с), нужно найти продолжение этих начальных дан- ных, гп.
е, кривую $ ь+ (ды кь) и кривую со значениями в функциях 2 ь+ фь . Эти кривые — решения зволюаионньах уравнений < — = — 2фаы дд д1 — = —,0дф+ ф(Шс' — 2ка в,йь) дк (3.8) и уравнения ф )й(2 ф где Ьв обозначает оператор Лапласа — Бельтрами метрики д. Искомое пространство-время, решение уравнений Эйнштейна длл вакуума, расслоенное на максимальные гиперповерхносгпи, имеет вид (1 х М, — ф~~дгэ+ да), где 1 обозначаетп инпьервая сутесгавования эволюционного уравнения.
4. АСИМПТОТИЧЕСКИ ПЛОСКИЕ МЕТРИКИ 4.1. Решение, которое ищут Клайнерман и Кристодулу, является (конечным) возмущением пространства Минковского, но дополнительно требуется, чтобы оно было асимптотически плоским. Мы ввели это понятие в равд. 2 в связи с метриками Шварцшильда. Фактически в их работе используется несколько более слабая версия этого требования (см. п. 4.5). Это ограничение обосновывается следующими рассмотрениями. Для асимптотичесх.
плоского пространства-времени (моделирующего изолированную систему), можно, следуя Арновитту-Дезеру- УСТОЙЧИВОСТЬ МЕТРИКИ МИНКОВСКОГО 281 Мизнеру [1], определить понятие массы" 1. По определению асимптотически плоское пространство-время содержит пространственноподобную гиперповерхность (М, д), обладающую следующими свойствами: у нее имеется некомпактное подмножество, диффеоморфное внешности открытого шара в (1ь~, е) (обозначим соответствующий диффеоморфизм через 1й), причем для любого постоянного векторного поля Х на Н.з выполняются следующие оценки: [тС1*д — Е[, = 0(Г ~), ]ЬХ(т1т д)[с = 0(Г З) [ЬХЬХ(ттт*д)[с = 0(Г З) (это условия на первую фундаментальную форму д) н ]т)т'lс], = 0(г з), [Ех(тд"lс)[, = 0(г з) (это условия на вторую фундаментальную форму й). Зти условия убывания гарантируют, что тензоры кривизны метрик д и Т ведут себя, как 0(г з) на М.
4.2. Пусть пространство — время (Е, у) асимптотически плоско. Его масса тпв определяется формулой тпя = 1пп — 1 (б'Ц'д) — т1(Тг,тй'д))(1тт)а„ -т 16 тэ где через Ф обозначено поле нормалей к евклидовой сфере Б„, а а, — элемент площади этой сферы. Легко видеть, что масса метрики Шварцшильда г~ равна в точности тп. В общей теории относительности существуют и другие понятия массы, как, например, масса Бонди. Она тоже определяется при помощи перехода к пределу, но на этот раэ по 2-сферам, проведенным в изотропных поверхностях.
Одним из важнейших вопросов в теории асимптотически плоских вакуумных простргдств или пространств, удовлетворяющих условию положитпельнастпи энергии (т.е, для которых Т(и,и) < О для любого времениподобного вектора и), был такой: является ли масса обязательно положительной величиной? Эту проблему решили Ричард Шен и Шин Тун Яу в 1978 г. (см. обзор в [26]).
Теорема (о положительности массы [40, 4Ц). Если асимтппотпичгски плоское тпргхмерное риманвво многообразие М имеет пвложитпгльную скалярную кривизну, шо тпт > О и тпт = О в твом и тполькв тном случае, когда (М, д) иэвметпрично (Вз, г) .
О Может показаться парадоксальным, что в теории гравитапии, каковой являетсл общая теория относительности, трудно определить понятие массы. Па самом деле единственное известное понятие массы глобально, неаддитивно и и»» ~дно лишь для нзолкрованных систем. Поиск квазилокального определения массы постоянно является темой актявных исследований в обшей теории относительности. 282 Жан-Пьер Бургнньон Содержащееся в (40] и [41] доказательство проводится от противного с использованием недавних результатов о существовании минимальных устойчивых поверхностей в трехмерном многообразии с неотрицатеиьной скалярной кривизной.
Конструктивное доказательство содержится в (45] (строгое изложение см. в (36]). Там показано, что массу можно отождествить с энергией (т.е. с интегралом Дирихле) поля спиноров, удовлетворяющего подходящим асимптотическим условиям. Весьма важное следствие этой теоремы — если на вакуумное пространство-время на ьожить слишком сильные условия плоскости на бесконечности, оно непременно выродится в прас»прамство-время Минковского. 4.3.
Следуя обычному в теории относительности отождествлению энергии и массы, тя часто называют энергиеЯ. Это оправдывается следующими рассуждениями. Тем же способом, что и ту, можно определить момен»п на бесконечности Р» для любого асимптотнчески плоского вакуумного пространства-времени, лежащий в двойственном пространстве к алгебре Ли группы движений пространства (лег, е), положив для любого киллингова полл векторов Х Р»(Х) = 1пп ~ Ц''а — (Тг,(ед'а))е)(М,Х)а,.
Существование пределов непосредственно следует из предположений об убывании, заложенных в определении зсимптотически плоского пространства-времени, и из преобразования разности интегралов по сферам двух различных радиусов в интеграл по объему, подынтегральное выражение в котором подчиняется уравнению ограничения (3.8). По традиции в так определенном моменте на бесконечности выделяют его линейную часть Р», вычисляемую по постоянным полям на Кл, порождающим сдвиги, и угловую часть Р.",, вычисляемую по инфинитезимгльным вращениям пространства (Вг, е). Можно проверить,. что сформулированные определения, зависящие на первый взгляд от выбора евклидовых координат на бесконечности, на самом деле, благодаря предположениям об убывании на бесконечностнЦ, от него не зависят. Поэтому из т и Р можно составить 4-вектор.
1 Нужно заметить, что требования убывания не исключают возможно- ПВнутреннее математическое определение требует введения понятия асинптотичлски киллянгава векторного полл на М. УСТОЙЧИВОСТЬ МЕТРИКИ МИНКОВСКОГО 283 сти осцилляций на бесконечности величин д и й при условии, что эти осцилляции не слюнкам сильные. Используя переформулировку (3.8) уравнений Эйнштейна, можно показать, что в асимптотически плоском вакуумном пространстве— времени условна убывания на бесконечности выполняются на всех поверхностях Мт и что величины тат и Рт сохраняются. 4.4. Клайнерман и Кристодулу ввели в [15] такое определение. Определение. Начальные данные пространства-времени (М, д, й) называются сильно асимов»оптически плоскими, если существуют положительное число тп и диффеоморфизм дополнения к компактному множеству в М на внешность евклидова шара в (1ь~, 1), такие, что для любого постоянного векторного поля Х на 1ь~ (Ех)'ф'д = (ь".х)т((1+ 2тт»/г) е) + о(г ~т~ т), (сх) ттт й = о(т ь)т т), Из определения тривиально следует, что для сильно асимптотически плоских данных (М, д, й) величины тт и Рт корректно определены, а также что п»т —— и и Р., = О (у обозначает продолжение (М, д, lс)).
Условие Рт = О означает, что временное слоение, о котором идет речь, максимально, и его физический смысл состоит в том, что система имеет »фиксированный гравитирующий центр». 5. КОНФОРМНАЯ ГЕОМЕТРИЯ 5.1. В этом разделе мы напомним некоторые свойства геометрии пространства-времени, зависящие только от конформного класса метрики. Эти свойства важны с физической точки зрения, поскольку свойство какой-либо величины быть конформно инвариантной интерпретируется как ее независимость от размерности. Мы уже заметили, что часть геометрии, связанная со световыми конусами, зависит только от конформного класса лоренцевой метрики. После работ Пенроуза стало традицией добавлять к асимптотически плоским пространствам-временам коиформиую компакшификаиию на бесконечности.
Однако это создает неудобство, так как для гладкости компактификации нужно наложить на кривизну более строгие условия убывания, чем это было бы разумно. 5 2. Некоторая часть тензора кривизны Римана-Кристоффеля Вт метрики Т фактически зависит только от ее конформного класса. 284 Жзи-Пьер Буртин»он Начнем определение .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
