Труды семинара Бурбаки за 1991 г (947404), страница 56
Текст из файла (страница 56)
[36] МЕЬсЬепйо А. Б., С'-а!беЬгвз апд К-ГЬеогу, Ьеса 1!огсз ш МаГЬ., чо1. 763, БРг!пбег-Ъ'ег!аб (1979), 262-274. [37] Ь(ип~енко А. С., Соловьев Ю. П. Представления банаховых алгебр и формулы типа Хирцебруха, — Матем. сб., 1980, т. 111, 791, с. 209 — 226. [38] ь(озсоч!с! Н., Сус!к Ьошо!обу апб !пчаг!апгз о( поп-зушр1у соппестеб згапИо!дз, Ргос. 1.С.М. Кусто (1990), МаГЬ.
Бос. Ларап, ТоЬуо, 1991, 675- 688. [39] !4очйоч Б. Р., Апа1обвсз Ьегш!!!епз бе 1а К-гЬбог!е, Асгш Сопбгй 1птегп. (г(агЬ. 2 (1970), 39-45. [40] Р!шзпег М., КК-бгопрз о1 сгоззег! ргобпссз Ьу бгопрз вот!пб оп !геев, 1вчеаа МаГЬ. 86 (1986), 603-634. [41] Бесе Н. ЛЛ,, Брес!а! шапир!бз апп г!оч!Ьоч'з соп)есгоге, Торо!обу 22 (1983), 365 — 378. [42) БояепЬегб Л., С*-а!БеЬгзв, розйгче зса1аг спгчагпге апб гЬе г!очйоч соп)естиге, РпЫ. МазЬ. 1.Н.Е.Б, 68 (1983), 409-424. [43) Соловьев Ю. П. Дискретные подгруппы, комплексы Брюа-Чнтса и гоиотопическвя ннвариантность высших свгнатур. — УМН, 1976, т. 31, зьш.
1, с. 261-262. [44] Соловьев Ю. П. Бесконечномерные представления дискретных групп з высшие сигнатуры. — Дисс., МГУ, 1976 (см. такие Соловьев В. П., Троицкий Е. В. С'-алгебры и эллиптические операторы в диффереизвзльной топологии. — Мс Факториал, 1996. — Ред.), [45] 77е!пЬегбег Б., Азресгз о1 гЬе Ыоч!Ьоч соп)есгпге, Сопгешр. МагЬ. 10б (1990), 281 — 297. УСТОЙЧИВОСТЬ МЕТРИКИ МИНКОВСКОГО ПРИ НЕЛИНЕЙНЫХ ДЕФОРМАЦИЯХ [по С. Клайнерману и Д.
Кристодулу)'1 Жан-Пьер Бургиньон Интерпретация специальной теории относительности как геометрии четырехмерного векторного пространства, снабженного билннейной формой сигнатуры ( — + + +),принадлежит Анри Пуанкаре, см. [38),и Герману Минковскому, см. [32]. Поэтому такое пространство называется просп!рпксн!вам Минковского, а его группа аффинных автоморфизмов — группой Пуанкарез].
Общая теория относительностя (ОТО) была введена Альбертом Эйнштейном в серии статей, публикация которых началась в 1913 г., см. [18), и достигла кульминации в 1916 г., см. [17]. ОТО рассматривает гравитацию как модификацию локальной геометрии пространства-времена. Она отождествляет гравитационное поле с лоренцевой метрикой. Согласно основным уравнениям теории — уравнениям Эйнштейна — часть тензора кривизны этой метрики (тензор Эйнштейна, см. п. 1.3) равна тензору энергии-импульса.
Последний зависит от других взаимодействий в пространстве-времени. Эти уравнения образуют систпему нелинейных уравнение втпорого порядка в костяных производных, причем любой ковектор является для нее характеристическим. Точное решение этой системы — сложнейшая математическая задача В Ке всякая инвариантная относительно сдвигов метрика является (тривиальным) решением этих уравнений. Сергну Клаинерман и Димитрий Кристодулу нации в 1989 г. точное решение задачи о возмущениях этого тривиального решения, см. [15].
Теорема. Дл,л,любых начальных данных Коши в Кз, доев!оп!очно близких к тпривиальным (тп.е. соошвешстпвующих просп!ранен!ау '!Вопгяшбпоп эеап-Р!ьтге. ЗсаЬП!14 раг ббтогшат!оп поп-1!пвыге бе 1а шжгтлпе бе М!пйовзЫ (б'арйв П. СЬг!в!обое!оп ет 3. К1ыпеппап). — 34ш!пшге Воцгьайт, 1990-91, пз740, Аасбг!ацпе, 201-202-203, 1991, р.
321-338. 2) Ранее Гендрик А. Лоренц ввел в (3Ц преобразования пространства-времени, носяшие теперь его имя. его целью быяо объяснить эффекты сжатия электрона "Рн больших скоростях. Пуанкаре показал в (38], что эти преобразования состаазяют гРуппу автоморфизмов указанной геометрии.
270 Жан-Пьер Бургнньон Минковского) и сильно асимлтлотлически ллоския, оушестлвуетл и едино<яненко решение уравнений Эйнштлгдна в вакууме — лоренчева метлрика на ль<. Этно ргтаение регулярное, полное и глобально гиперболическое. Цель настоящей статьи — рассказать об этом результате (начав с различных понятий, встречающвхся в этой теореме). Этот результат часто интерпретируется ка4с доказательство нелинетуной устлобчивостли метрики Минковского: <устойчивостиа, потому что топология пространства-времена не меняется и в нем не возникает никаких особенностей; прилагательное <нелинейной< добавляют, чтобы подчеркнуть тот факт, что решается именно система уравнений Эйнштейна, а не ее линеаризованнвя версия.
На пути к этому результату возникают чудовищные трудности, нужно хитроумно сочетать аналитические оценки с геометрическими идеями. Поскольку доказательство, аккуратно записанное в [15], составляет почти 600 страниц, в этой статье можно рассказать лишь о некоторых нэ новых идей (как ананитических, так и геометрических), необходимых, чтобы начать этот труд. На самом деле сформулированная теорема дает повод представить некоторые тенденции современной дифференциальной геометрии: помимо перехода от локаль-' .
ного к глобальному (упомянутого здесь лишь для полноты изложений) изучение асимптотическнх условий на бесконечности на некомпакт ных пространствах, особые свойства пространств малой размерностит! новое появление конформной геометрии, изучение особенностей н, ко; нечко же, стимулярующее влияние математической физики. 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ<] 4 1.1.
Термин лростлранстлво-время будет означать для нас лоренцев<у) многообразие (Е, у) размерности 4, где у — поле билинейных сим."; метрических форм сигнатуры (- + ++) . Мы будем предполагать ег<т] достаточно гладким. Векторы о Б ТВ, удовлетворяющие условивй д(и, р) ) О, называются лростлранстлвгннолодобными, удовлетвортат! ющие условию д(н, о) = О, — свгтлолодобнмми (или иэотлролнмми)л а удовлетворяющие условшо д(р, р) ( 0 — временилодобнмми. В том' же духе, кривая называется причинной, если ее вектор скорости вре.
мениподобен или светоподобен; гиперповерхность М С Е лрвстлранстлвгннолодобн~ь если все ненулевые векторы из ТМ пространственноподобны. ПИмекгтсл многочислг нме .ведение в ОТО, достуннмл математику, наири. мер, [22, 34, 39], а также (44], сильно устаревшее.
УСТОЙЧИВОСТЬ МЕТРИКИ МИНКОВСКОГО 2»1 Для того чтобы Е могло моделировать пространство-время, мы предположим, что Е ориентировано и ориентировано во времени. Мы говорим, что причинная кривая (отождествляемзя с траекторией наблюдателя) на таком многообразии направлена в будутее (соотв. направлена в прошлое), если ее вектор скорости имеет положительную (соотв. отрицательную) проекцию на ось времени.
Чтобы избавиться от патологий, связанных с причинностью, мы будем рассматривать здесь лишь случай глобально гипероолического многообразия (Е, у), т.е. мы предполагаем, что в Е сушествует риперноверзность, пересекаемая в точности по одному разу каждой причинной кривой. В частности, это означает, что Е диффеоморфна М х Н.. Н (и ")ш = »Уи(»рчЮ»Уу(»»иЮ '»(пу)Н где О', У, И' обозначают продолжения на окрестность точки р век- торов и, и и ю соответственно. Обозначим через Вдс» кривизну Риччи метрики у.
Она получается из кривизны Н» взятием следа: В1с»(и, е) = Тгасе(ю н Н»(ю, и) и) . Наконец, обозначим через ЯсаР = Т» Вдс» скалярную кривизну метрики у, равную следу кривизны Вдс» относительно». Все интегрирования на Е будут проводиться по мере и,, канонически ассоциированной с метрикой». 1.3. Уравнение Эйнштейна суть внутренние уравнения, которые в наших обозначениях записываются в виде Вдс' — — ЯсаР» = ЯкТ, 1 2 (1.4) где левая часть равенства — тензор Эйншпьейна метрики у (зависящий лишь от геометрии), а Т обозначает тензор энергии-импульса, определяемый физическим содержанием пространства-Времени. Например, в случае электромагнитного поля, представленного внешней 1.2. С тензорной точки зрения лоренцева геометрия развивается совершенно аналогично римановой геометрии.
Все понятия, которые мы сейчас введем, годятся и для лоренцевых, и для римановых многообразий. (Последние появятся по ходу дела.) В пространстве-времени (Е, 7) существует и единственно согласованное с метрикой ковариантное дифференцирование с нулевым кручением, обозначаемое через у». Оно аналогично связности Леви-Чивиты на римановом многообразии.
Мы будем обозначать через Н» тензор кривизны Римана- Кристоффеля связности 17». Напомним, что для рЕЕ, и,и,юЕТрЕ Жян-Пьер Бургнньон дифференпигльной 2-формой ы, тенэор энергии-импульса Т принимает вид Т = ь»,,то — -'Ц~~, где ..„обозначает произведение, свернутое один ргз при помощи лоренцевой метрики у, а ~ ) — норму, индуцированную метрикой у. В случае вакуума ясно, что Т = О, и уравнения Эйнштейна упрощаются, поскольку, взяв след в уравнении (1.4), мы получаем, что В1с' = О. Таким образом, вакуумные простпраиства — времена сутпь в точностпи тпе, кривизна Риччи которых равна иуяю.
Один из возможных подходов к уравнениям Эйнштейна в вакууме (придуманный Давидом Гильбертом, см. [24))— рассматривать их как уравнение в вариациях с компактным носителем на функционал 7 ьь Б(у) = ) зсз1~от. (Этот функционал часто называют гравитпаииоииым потеиаиаяом пространства-времени.) 1.5. На многообразии Е = Ке с глобальной системой линейных координат (т, х, у, г) метрика Минковского эаписываетсл в виде е = — Юг+дхэ+ттуэ+ дгз. (Заметим, что (1ье, е) — модель пространства- времени, в которой единицы выбраны так, что скорость света равна 1.) Без труда можно заключить, что ковариантное дифференцирование, ассоциированное с е, есть обычное дифференцирование в В.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
