Труды семинара Бурбаки за 1991 г (947404), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Тогда аи = »тт. Эта теорема анонсирована в [29] и доказана в [30]. Равенство ао = »~ по модулю кручения анонсировано также в [36) и доказано в [37]. Непосредственное доказательство этого факта см. в [27]. Напомним, что оператор сигнатуры многообразия»т определяет элемент группы К-гомологий с компактными носителями Ко(ВГ), обозначаемый через у,(ои) . Существует естественный гомоморфнзм »т: Ко(ВГ) -+ Ко(С'(Г)) (»авветЫутпар» в топологической К-теории), такой, что Щ„(ои)) = ао.
Так как по теореме 1.1 элемент ао является гомотопическим инваркантом, отсюда вытекает Следствие 1.2. Если гомомору»изм Ф: Ко(ВГ) — > Ко(С'(Г)) рационально инъектпивен, тпо длл группы Г справедлива гипотпеза Новикова. Говорят, что группа удовлетворяет сильноб гипотпезе Но ва (см. [42)), если гомоморфизм В рационально инъективен. Отметим, 26б Жорж Сяандалис что все группы, для которых справедливость гипотезы Новикова установлена, удовлетворяют и сильной гипотезе Новикова. Ясно также, что всякий гомоморфизм ф; Ко(С'(Г)) ~ С определяет некоторый гомотопический инвариант.
В значительной степени именно это замечание привело Каспарова к построению биинвариантной К-теории для С'-алгебр. 2. ЦИКЛИЧЕСКИЕ КОГОМОЛОГИИ И КОГОМОЛОГИИ ГРУПП Циклические когомологии. За обзором циклических когомологий мы отсылаем к [9, 16, 8). Здесь мы будем довольствоваться лишь необходимыми определениями.
Пусть А — алгебра над С. Напомним, что и-коцепь на А — это полилинейное отображение ф: А"+' -о С. Кограннца Хохшильда коцепи ф есть и+ 1-коцепь Ьф, задаваемая формулой Ьф(ао, аю..., а„, а„.~1) = ~ (-1)зф(ао,, а;ау+», ..., ао.ы) 0<1<о + (-1) "+ ф(ао~ы ао, а»,..., а„) . Определение 2.1. Пусть А — алгебра над С. Циклическая п-конепь ка А — это полилинейное отображение ф: А"+' -+ С, такое, что ф(а1,..., а„, ао) = (-1)"ф(ао, аю..., а„) для любого (ао, а1,..., а„) Е А"+'.
Пространство циклических и-коцепей на А обозначается через С»(А). Диклеческиб и-ковекл — это такая циклическая и-коцепь ф, что Ьф = О. Пространство циклических и-коциклов на А обозначается через Я»(А). Нетрудно проверить, что кограница Хохшильда циклической коцепи является циклическим коциклом. Циклические когомологии Н» (А) алгебры А — это когомологии комплекса циклических коцепей с кограннчным оператором. Хохшнльда.
Другими словами, Не(А) = г„"(АУЬС„"-'(А). Спаривание с К-теорией. Пусть п — четное число и ф — циклический и-коцикл на алгебре А. Пусть  — алгебра, полученная из А присоединением единицы. Напомним, что В изоморфна А З С как векторное пространство над С и что произведение в В определяется формулой (а, Л)(Ь, и) = (а6+ ЛЬ+ ра, Лр) (а, 6 б А, Л, а Е С). Тогда ф определяет циклический коцикл (который мы также обозначаем через ф) на В по формуле ф((ао, Ло),(а„Л1),...,(а„, Л„)) = ф(ае,аю...,а ). ПОДХОД К ГИПОТЕЭЕ НОВИКОВА Обозначим через Мь(В) алгебру й х й-матриц с коэффициентами в В. Воспользовавшись следом в Мь(С), продолжим циклический коцикл ф на Мь(В).
Пусть е — ндемпотент в Мь(В) . Число ф(е, е,..., е) зависит только от класса зпемента е в Ка(А) и от класса коцикла ф в Н„''. Определим спаривание между Ка(А) и Н»(А), положив ([ф], [е]) = с„ф(е, е,..., е), где с„Е С вЂ” нормалиэующая константа (сг~ = 1/(2я1)мгп!). Нормализация групповых коциклов. Пусть à — группа.
Групповой и-коцнкл с на Г называется нормализованным, если с(ды..., д„) = 0 при д1... д„= О. С помощью проективного разрешения можно без труда доказать следующий результат (ср. [б, 13]): Предложение 2.2. В каждом кагамалагическам классе группы Н" (Г, С) нмеегасл па крайней мере адан нармалиэаааннььй ннкл. Пусть с — нормализованный коцикл на группе Г.
Сопоставим коциклу с циклический коцикл ф, на С[Г], который на элементах группы Г, порождающих С[Г], действует по правилу с (д1,..., д„), если дод1 "д» = 1, ф (да,д1," д ) = 0 в противном случае. Замечание. Па самом деле группа Н"(Г, С) вкладывается в Н" (С[Г]). Циклические когомологии алгебры С[Г] вычислены Бургелеа (ср. [6]). Продолжение на Я[Г]. Первая теорема об индексе. Определение 2.3 Пусть с — нормализованный п-коцикл на группе Г. Определим циклический коцикл ф, на Я.[Г], положив Ф. (й,да, й1 д,, й„д ) = Т (й,й,... й ) ф (да, д, ", д ) для (йа, йы...,Й„) Е Я»+' и (да,д1,...,д„) Е Г"+', где через Тг обозначен след над алгеброй Я..
Элементы вида йд (й Е Я, д Е Г) порождают Я[Г]; ф, продолжается на Я[Г]"+' по линейности. Без труда проверяется, что ф, является циклическим коциклом. След Тг задается формулой Т1 ((аФВ, )и\,»ем хм) ~~ а», »ех Кони и Московнчи доказали следующую теорему об индексе: 258 Жорж Скандьлвс Теорема 2.4 (ср. [13]). Пустпь У вЂ” компактпное многообразие, Г— его фундаментпальнал группа, у: У вЂ” т Вà — классифицируюитее отпобрахсение и Р— псевдодифференциальньтб эллипптическиб оператор на У. Обозначим через [Р] класс операптора Р в группе К-гомологит1 Ко(У), череэ СЪ[Р] его образ в Н,(У) при иэоморфиэме Черна и через [Рр] индекс оператора Р в Кь(тс[Г]). Пустпь с — нормалиэованньтб и-коцикл на группе Г; обозначим через х класс этпого коциква в Н"(ВГ; С) = Н"(Г; С). Тогда ([тб,], [Рр]) = д„(у'(х), СЪ[Р]).
Здесь д„— ненулевая постоянная (дг = 1/(2кт) (2тп)!). В качестве частного случая для нульмерного коцикла с = 1 получаем теорему об индексе со значениями в алгебре фон Неймана группы Г [1]. Доказательство этой теоремы разбивается на следующие этапы: (а) Групповому коциклу с сопоставляем коцикл АлександераСпеньра тт на У, класс когомологий которого равен у'(х) . Используя локальный иэоморфиэм группоидов И' и У х У, каждому коциклу Александера-Спеньера т, можно сопоставить гомоморфиэм ~с: Кв(У) -+ С, такой, что ([тд,], [Рр]) = уь([Р]) . (Ъ) Вычисляем указанный гомоморфвэм уь, ассоциированный с коциклом Александера-Спеньера ц, используя символическое исчисление Гетцлера [17].
Класс [Рр] априори не является гомотопическим инвариантом. Чтобы доказать гомотопическую инвариантность высшей сигнатуры, ассоциированной с х, достаточно доказать, что число ([т)т,], [Рр]) зависит лишь от образа оператора Рр в Кв(С'[Г]) . Действительно, по теореме 1.1 этот образ является гомотопическим инвариантом. Нет оснований ожидать, что циклический коцикл ф, продолжается до циклического коцикла в С'(Г) . Можно, однако, надеяться, что в некоторых случаях этот циклический коцикл продолжается до циклического коцикла в некоторой банаховой подэлгебре алгебры С'(Г), имеющей ту же К-теорию, что н сама С'(Г) .
Приведем в связи с этим следующий тклассическнйь (и простой) результат: Лемма 2.5 (см., например, [28, упр. б,15]). Пусть р: А -т  — гомоморфиэм банаховых алгебр с единицей. Если образ гомоморфиэма р плотен в В и А ' = р '(В '), тпо р индуцируетп иэоморфиэм К-тпеориб.
Если гомоморфизм р удовлетворяет условиям леммы и помимо этого инъективен, то иногда говорят,что А — полная подглгебра алгебры В. Этот метод применяе ся при доказательстве следующей теоремы. подход к гипотязв новикова 259 Теорема 2.6 [13]. Гипотеза Новикова справедлива д се гиперболических групп Громова. Гиперболические группы Громова описаны в [20) и [19). Прн доказательстве теоремы 2.6 используются следующие два свойства этих групп: (а) Г1юмов доказал (ср. [20]), что для гиперболической группы Г каждый класс когомологнй х Е Н»(Г, С) представим (нормализованным) ограниченным коциклом.
(Ь) П. де лгАрп [22] обобщил на гиперболические группы оценку на норму в С'(Г) ~), полученную Хагерупом для свободных групп и Жолиссентом для дискретных подгрупп групп Ли ранга 1. Отсюда вытекает (ср. [26]) Предлоисение 2.У. Пусть à — гиперболические группа. Пополнение алгебры С[Г] по корме Ф, задаваемой формулой )ч'( г авд) = [[2 г )ав[д[), лвллепзсз полной подалгеброй А в С'(Г) . Здесь [)а[) обозначает норму элемента а в С'(Г). Пусть и — четное число и с — нормализованный ограниченный и-коцикл в Г. Положим ф = ф,. Для а* = Евегавд (с =0,1,...,п) имеем вею-.в»а Поэтому [ф( о ь»)[<ь з» [ао [[ ~ [ [,»] й (ЬоЬз Ь») всю-в»а где Ъ' = 2 г [а' [д и т( „аед) = а1 . Отсюда следует, что ]ф(а, а,..., а») [ ( й [[Ь Ь ...
Ь» [[ ( кзч (а~) Н(а~ )... Ф(а") . Значит, коцикл ф продолжается до циклического коцикла в алгебре А; он определяет, таким образом, гомоморфюм ю Ко(А) Ко(С" (Г)) в С, откуда следует теорема 2.6. Значение этой теоремы определяется многочисленностью гиперболических групп (ср. [20)). Использованный метод доказательства ставит и множество вопросов: ОНаппнпнн, что здесь через С" (Г) обозначена прнзеденнае С'-алгебра группы Г. 2бО Жорж Сканаалис Вопрос 1. Индуцирует ли вложение А -+ С*(Г) изоморфизм К-теорий для любов группы Г? Иэ положительного ответа на этот вопрос вытекала бы гипотеза Новикова для всех ограниченных групповых коциклов.
Равенство А ' = р 1(С'(Г) ~) кажется, однако, привязанным к «рангу 1р. Как показал Вост [Ц, ответ на вопрос 1 положителен по крайней мере для разрешимых групп. Заметим, что для группы, по которой идет усреднение, норма Ф совпадает с нормой ]] ]]1, и, таким образом, А является банаховой алгеброй с6 (Г) . На самом деле оценка из [22] позволяет доказать, что если группа Г гиперболична, то пополнение А„подзлгебры С[Г] по норме Ф„, задаваемой ф РмУлой Ф„(Брег ард) = ]] 2' ,ег ]ааН1+ ]д])"д]], ЯвлЯетсЯ полной подалгеброй в С*(Г) для всех и Е Х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
