Труды семинара Бурбаки за 1991 г (947404), страница 52
Текст из файла (страница 52)
МасЬ. Яос. 22 (1990), 285-293. [К] Колмогоров А. Н. Новый метрический инвариант травзитивных динамических систем и автоморфнзмов пространств Лебега. — ДАН СССР, 1958, т. 119, №5, с. 861-864. [Ь] Лившиц А. Н. Когомологии динамических систем. — Нзв. АН СССР, 1972, т. 36, №б, с. 1296-1301. [Мап] Мапп!пб А., Торо!об!са! си!гору !ог беойез!с Поня, Апп, оГ МаСЬ. 110 (1979), 567-576. [Маг] Маргулис Г. А. 0 некоторых применениях зргодической теории к изучению многообразий отрицательной крквнзны. — Функц.
анализ и его прил., 1969, т. 3, вып. 4, с. 89 — 90. [Мш] М!п 00, Яресгга! г!8!й!су Гог шапйо1йз и!сЬ пебасгче сшчасше орегагог, ш чЫои!!иеах РгоЫепгз ш Сеошесгу", Соисешр. МасЬ. 51 (1986), 99- 103. [М1] Могзе М., А опе-со-опе гергезепсайоп о1 беойеясз, Агпег. Л. МаСЬ. 43 (1921), 33-51. [М2] Мосле М., 1ысаЬгПсу апй сгапз!с!чйу, Л. МасЬ, Ршез Арр!.
14 (1935), 49-71. [Моз] Мозгочг О. Э., Я!гоаб г!8!й!су о( 1осаПу зушшегпс зрасез, Асп. оГ МаСЬ. Ясшйез, Чо!. 78, Ргшсесоп !Лшч. Ргезз, Рппсесоп, 1973. [0] ОСа1 Л. Р., 1л зрессге шагцие йез !опбиешз йез зшгасез а .. МЬгпе пебаПче, Апп. о! МаСЬ. 131 (1990), 151-162. 250 Пьер Пансе [Рап] Разве Р., Ейшепяоп соЫогше ег врЬеге Ь 1'1пбп1 бш гаг14геэ Ь сопгЬпге пббас1че, Апп. Асаб. Ягл. Репп1све 14 (1989), 177-212. [РР] Репу Ж., Ро61сосс М., Ееса бшсггопв аш1 ГЬе репоб1с огЫВ всгпсзпге оГ ЬурегЬо11с бупаш1св, Авгбпв9пе 167-188 (1990).
[Рев] Песка Я. Б. Геодезические потоки с гиперболическим поведением траекторий к свлзанные с вима обьекты. — УМН, 1981, т. 36, аып. 4, с. 3-51. [Р] Ргеившапп А., ь)пе1<рмв ргорйесев 61оЬа1ев бев шрасев бе Вгешапп, Сошшепп МагЬ. Не!ч. 15 (1943), 175-216. [Я] Яша1е Я., ВНегепг1аЫе бупаписа1 вувсепм, Впй. Ашег. МасЬ.
Яос. 73 (1967), 747-817. [Имеетса перевод: Смейл С, Дифференцируемые дннамнческне системы. — УМН, 1970, т. 25, аык. 1, с. 113-185.] [У] Уоссов Л. С., Ро1упошев помЬаг1опев ес амгас1епг бе Нбпоп, Ябпнпане ВопгЬаЫ, сарове 734, Аввегмопе 201-202-203 (1991). [Имеетсл перевод: Йоккоз Ж.-К. Квадратичные многочлены и аттрактор Эно. — Наст.
сб., с. 121-140.] ПОДХОД К ГИПОТЕЗЕ НОВИКОВА С ПОМОЩЬЮ ЦИКЛИЧЕСКИХ КОГОМОЛОГИЙ [по А. Конну, М. Громову и Х. Московичи)!1 Жорж Скандалис О. ВВЕЛЕНИЕ Все рассматриваемые в настоящей статье многообразия предполагаются ориентированными компактными многообразиями (без края) класса С Формула Хирцебруха [24] вычисляет сигнатуру ориентированного многообразия У размерности и = 4й, т.е.
сигнатуру (разность между числом знаков + и -) квадратичной формы, ассоциированной с формой пересечения на Нв" (У; Я). При этом 81$п (У) = (1 (У), [У]), где через [У] Е Н„(У; Е) обозначен фундаментальный цикл ориентированного многообразия У, а В(У) Е Н'(У; С3) — это многочлен от классов Понтрягина многообразия У, называемый также характеристическим классом Понтрягина-Хирцебруха. В частности, величина (В(У), [У]) гомотопически инвариантна. Если многообразие односвязно, то сигнатура — единственный гомотопически инвариантный характеристический класс.
Предположим теперь, что У неодносвязно. Обозначим через Г фундаментальную группу многообразия У и через 7": У -+ ВГ классифицирующее отображение универсального накрытия. Пусть х Е Н'(ВГ; С3) — класс рациональных гомологий; высшей сигнатурой многообразия У назовем число (ЦУ) 0 7" (х), [У]) .
Гипогпезо Новикова [39] утверждает гомотопическую инвариантность всех высших сигнатур, т.е. равенство (Ь(Иг) О (у о д)'(х), [Иг]) = (ЦУ) 1! 7" (х), [У]) для всех гомотопических эквивалентностей д: Иг -г У компактных ориентированных многообразий. С помощью двойственности Пуанкаре эту гипотезу можно переформулировать как утверждения о гомотопической инвариантности гомотопического кларса у,(ЦУ) П [У]) Е Н,(ВГ; !1) . !Ввволавв Оеогяев. Арргосве де 1а сов)есгоге се Носовое раг 1а соэопго!оя!е сус1азие (г!'аргев А.
Сооаев, М. Огопгог ес Н. Мовсог1с!). — БЕго1оаяе Вошьам, 1990- 91, аа739, Авмии!ое, 201-202-203, 1991, р. 299-320, 252 Жорж Скандалил И наконец, эта гнпотеча ивчболлл естественно формулируется в рамках К-гомологий миегообразия ВГ с компактными носителями (т.е. теории гомологий двойственной к К-теории, ср. [30)): для оператора сигнатуры многообразия У в группе К-гомологий Кв(У) существует класс, обозначаемый через аи, образ которого прк изоморфизме Черна СЬ: Ке(У) Э с1 -+ Н.Я; Я) равен Т,(Ъ') й [У].
Г)впотеза Новикова утверждает, что образ класса аи в Кв(ВГ) З се гомотопически инвариантен, т. е. что для всех гомотопнческих эквивалентностей компактных ориентированных многообразий д: И' -т У классы (у в д),(аш) и ~„(аи) равны по модулю кручения. Эта гипотеза остается недоказанной уже в течение двадцати с лишним лет.
Благодаря совместным уснлиям ряда математиков (ср. [7, 15, 25, 29, 30, 32-37, 40, 41, 43, 44, ... ]) к настоящему времени она доказана для многих классов групп Г. Справедливость гипотезы Новикова была недавно установлена для различных смежных случаев (липшицевы многообразия, эквивариантный случай относительно действия компактной группы, многообразия с краем, ... ). Выделим также аналог гипотезы Новикова в алгебраической К-теории, доказанный недавно Бекштедтом, Хснангом и Мадсеном [4]. С основными достижениями недавнего времени можно ознакомиться по обзору Вайнбергера [45]. В настоящей статье мы исследуем новый подход к этой гипотезе, основанный на циклических когомологиях Копна.
Мы обсуждаем следующие результаты: Теорема А [13). Гипотпеза Новикова справедлива длл гиперболические групп Громова. Теорема В [12]. Каждое»почтив плоское расслоение» апределлета го- мон»рваческий иивариаипт. Теорема В, как и теорема А, позволяет передокаэать гипотезу Новикова во всех случаях, в которых она была ранее доказана. Кроме того, этот подход интересен, поскольку: (а) он основан на очень мощных и красивьос теоремах об индексе; (Ь) развитые при этом методы позволяют доказать гипотезу Новикова для большого числа новых ситуаций и во всяком случае приводят к новым интересным вопросам; (с) наконец, тот же подход применим к гипотезе Громова-Лоусона; он переносится на случай, когда дискретные группы заменяются слоениями. Обозначенн .
утусть à — группа и А — кольцо. Напомним, что множество конечных сУмм 2', гард (ав й А) обладает стРУктУРой ПОДХОД К ГИПОТЕЗЕ НОВИКОВА 253 кольца, относительно которой (ад)(ЬЛ) = (аЬ)(дЛ) (для а,6 Е А, д, Л Е Г). Это кольцо обозначается через А[Г]. Через сз(Г) обозначим гильбертово пространство отображений д — > ае из Г в С, для которых 2 г [ае[з < +со. Действию группы Г на гильбертовом пространстве сз(Г) (левыми) сдвигами соответствует действие кольца С[Г] на том же пространстве; С'-алгебра С'(Г) группы à — зто (нормированное) представление кольца С[Г] в С'-ангебре непрерывных операторов в сз(Г) . Отметим, что аагебра, которую мы обозначаем в этой статье через С'(Г), — это приведенная С'-алгебра группы Г, обычно обозначаемая С„'[Г!.
1. ИНВАРИАНТЫ МИЩЕНКО И КАСПАРОВА (а) Инвариант Мищенко. Основным инструментом во всех конструкциях, связанных с гипотезой Новикова, является симметрическая сигнатура Мищенко: Пусть )г —. компактное ориентированное 4п-мерное многообразие (без края) класса С" с фундаментальной группой Г. Тогда )г естественным образом снабжено плоским расслоением Е со слоем С[Г], получаемым линеаризацией универсального накрытия. Рассмотрим триангуляцию многообразия Ъ'. Мищенко показал, что форма пересечения на симплексах размерности 2п с коэффициентами в плоском рассзоении Е определяет элемент группы Уолла ЦС[Г]) кольца С[Г], называемый симметрической сигнатурой многообразия )г.
Он доказал также, что этот элемент гомотопически инвариантен [34]. (В) Индекс в Ке(Я[Г]), ср. [13]. Обрзначим через (ат,я)ез,ябыхы~ аю,о Е С: с~1-~ г )"! „~ ~. д б ~ен] ю,н алгебру быстро убывающих бесконечных матриц. Пусть г' — компактное многообразие (беэ края) класса С'"'. Алгебра регуляриэованных ядер на 1' — зто пространство Соо()г х Ъ') функций класса Соз на У х 1г, снабженное сверткойц (Л * Л)(х, д) = з Л(х, х)Л(х,д)с(х для Л,Л Е С '(г' х )г), х,у Е И.
Эта алгебраизоморфна И. В частности, она не зависит от многообразия 1г. Если Я П ~Интеграл берется но многообразию К, а через бз обозначена регулярная мера на г. 254 Жорж Сявяявляс — комплексное векторное расслоение над И класса С, то можно построить такую же алгебру регуляриэованных ядер с коэффициентами в эндоморфизмах расслоения Е, которая вновь изоморфна Я. Пусть à — фундаментальная группа многообразия У и Р— универсальное накрывающее пространство этого многообразия. Диагональное действие группы Г на Р х Р собственно и свободно; обозначим через И' фактормногообразие (Р х Р)/Г и через р: Р х Р -+ 'яг' отображение факторизации.
Пространство С, (И') функций класса Соо с компактными носителямн на Иг естественным образом снабжено структурой алгебры: для Л, /с й С, '(И') и х, у б Р полагаемг) (Л е й) (р(х, у)) = ]' Л(р(х, г)) Л(р(л, у)) сЬ . Нетрудно показать, что алгебра Г-инвариантных регуляризованных ядер С, (И') изоморфна апгебре Я[Г] = Я. Э С[Г]. Этот изоморфизм не является каноническим. Тем не менее между алгебрами С, (Иг) н Я[Г] существует каноническая экенвалеюлноснгь Морипгы.
Вследствие этого группы Ко(С~(И')) и Ко(Я[Г]) канонически изоморфны. Дпя комплексного векторного расслоения Е класса С над И можно также построить алгебру Г-инвариантных регуляризованных ядер с коэффициентами в эндоморфкэмах расслоения Е, которая вновь будет изоморфна Я[Г]. Пусть Ет и Š— два комплексных векторных расслоения класса С" над многообразием И, и пусть Р: С' (И; Еь) -ь С (У; Е )— эллиптический псевдоднфференциальиый оператор. Через С (я', Еа) здесь обозначено пространство С' -сечений расслоения Еа. Тогда оператор Р и его параметрикс Я можно поднять до Г-инвариантных операторов Р и ф на универсальном накрывающем пространстве Р многообразия И (ср. [1, 13]). Операторы Р и ь) взаимно обратны по модулю алгебры Г-инвариантных регуляризованных ядер с коэффициентами в эндоморфизмвх расслоений Еа.
Мы ставим в соответствие оператору Р элемент группы Ко(С, (И')) = Ко(Я[Г]), представляемый идемпотентом (1 — аР) (1 — 0РН2 — ЮР) О~ 1 О Рп= ~Р( щ ( Р~)г ~ =С~О 0]Ь ° оМг(А), где -4) 1 О 1-ф ЦИнтегрзя берется по мнся ообразню Р. а бл обозначает регулярную Г-ннаа.- рнантную меру на У, ПОДХОД К ГИПОТЮЕ НОВИКОВА и через А обозначенаалгебра Е[Г] с присоединенной единицей. Напомним, что если алгебра А получена присоединением единицы к алгебре без единицы Х, то группа Ко(д) является факторгруппой группы Ко(А) по образу группы Ко(С) .
Замечание. Поднятия Б и Я определены однозначно только в случае, когда .0 и Я»достаточно локальны». В общем случае они определены с точностью до Г-инвариантного регуляризованного ядра. Прибавление такого ядра не меняет класс идемпотента Рп в Ко(ТС[Г)) . (с) Теорема Каспарова и Мищенко об индексе. Напомним, что спектр самосопряженного элемента в С'-злгебре А является вещественным. Отсюда следует, что группы Г и К-теорий совпадают, т.е.
ЦА) = Ко(А). Алгебра Я, является подзлгеброй С'-алгебры К компактных операторов в сепарабельном гильбертовом пространстве. Для всякой С'-алгебры А К-теория для тензорного произведения А. Э А над С' совпадает с К-теорией для А. Образ идемпотента Рп, соответствующего оператору сигнатуры, при вложении»: С[Г] -+ С'(Г) определяет элемент ак Е Ко(А,ЗС" (Г)) = К,(С*(Г)). ' Теорема 1.1. Пусть»т — компактпное ориентированное многообразие с фундаментпальноб группой Г. Обозначим через 8у Е Ко(С'(Г)) = ЦС'(Г)) образ инвариантна Мии»енко при влозкении»: С[Г] -+ С*(Г) и через ао Е Ко(»С Э С'(Г)) = Ко(С"(Г)) образ идгмпотпвнтпа Рп, ассоциированного с оператпором сигнал»уры, при влозкении»: С[Г] -+ С'(Г).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
