Труды семинара Бурбаки за 1991 г (947404), страница 47

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 47)

Метрика также определяет (послойно линейный) диффеоморфизм расслоения ТУ на Т' «'. Этот диффеоморфизм переводит гамильтоново векторное поле У в геодезический поток Х, форму а в некоторую 1-форму А и функцию Н некоторую в функцию — норму векторов, — инвариантную относительно Х. Геодезический поток касателен к поверхностям уровня — сферическим расслоениям, — и далее будет рассматриваться его сужение на Тг У вЂ” расслоение единичных векторов. Сужение формы А на это расслоение является контактной формой, которая полностью определяет поле Х с помощью соотношений А(Х) = 1, «х «(А = О.

Говорят, что Х вЂ” воле Рибв контактной формы А. Очевидно, что Х сохраняет элемент объема А А(дА)" ' (где п — размерность многообразия $'), который называется мерой Лиувиллл. Пьер Пансю 2.2. Роль кривизны. Для того чтобы получить дифференциал диффеоморфизма фе, нужно разрешить уравнение в вариациях для геодезических. Это — уравнение Якоби, Оно определено на касательных векторных полях,7 вдоль геодезической с(1) и записывается' при помощи ковариантной производной Р римановой метрики УУг У вЂ” + В (с,,У) с = О, где  — тензор римановой кривизны.

Кривизна, таким образом, про- является как симметрический эндоморфизм и > В(с,и)с, нулевой на с, другие собственные значения которого являются секционными кривизнами. Из этого векторного уравнения выведем уравнение для модуля векторного поля У: — Д = — В(с, У)с, — + — — —, — > — В(с, У)с,— Понятно, что с уравнением Якоби работать легче, когда задана верхняя граница секционных кривизн, которве здесь важнее нижней.

В дальненшем мы будем предполагать, что Х ортогонально вектору скорости с. Если секционная кривизна отрицательная или нулевая, то функция е -е ~,У(е)~ выпукла. Это выражает тот факт, что яокаеьно функиия рассшояния между двумя геодезическими явяяетпся выпуклой. Если, кроме того, секционная кривизна К мажорируется отрица тельной константой, например, К < — 1, то, вообще говоря, функция ~,7(Ф)~ стремится к бесконечности по меньшей мере как е', когда Ф стремится к +со или к — со.

Это показывает, что в общем случае две бесконечно близкие геодезические растодяшся зкспоненииаяьно. Всегда есть исключения:некоторые решения стремятся к О и на +со,и на -оо. Пространство Е полей Якоби вдоль с, ортогональных с, имеет размерность 2п-2. Решения, которые стремятся к О на +со (соотв. на — со), образуют векторное надпространство Е' (соотв. Е")половинной размерности и-1. Действительно, длякаждого 1 условие,У(Ф) = О определяет надпространство Е(Ф) размерности и-1 в Е и Е' является пределом пространств Е(1) при С, стремящемся к +оо. Ясно,что Е' О Е™ = О.

Рассматривая поднятие в расслоение единичных касательных векторов в каждой точке р Е 21Ы,получаем ГКОДЯЗИЧаСКИй ПОТОК НЛ РИМЛНОВЫХ МНОГООВРЯЗИЯХ згр пространства Е„' и Ер как надпространства в ТрТт1т. С динамической точки зренвя Е' — кандидата на роль касатпельново просп«ран- ь стива в тпочке р к устпобчивому многообразию тпочни р. 3ажщочеиие.

Отрицательная кривизна проявляет себя тремя различными способами: (1) выпуклостью функции расстояния; (2) неустойчивостью геодезических; (3) существованием трансверсальных устойчивых и неустойчивых многообразий размерности и — 1. 3. ПРОСТРАНСТВО ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ 3.1. Гиперболическая плоскость. Гиперболическаа плоскость, обозначаемая через Нг, открытая Лобачевским н Бойяи в 1828 г. — зто геометрия, в которой аксиома параллельных неверна. Обычно ее представляют как внутренность круга на плоскости. Геодезические являются дугами окружностей, перпендикулярных к границе (называемой бесконечно удаленной окружностьютт, поскольку она находится на бесконечном расстоянии, и обозначаемой через Нг(оо)).

Очевидно, что для данной геодезической с и точки х существует бесконечно много геодезических, проходящих через точку х и не пересекающих с (см. рисунок) 1Ътперболическая плоскость В любом случае через две различные точки бесконечно удаленной окружности проходит ровно одна геодезичеекая. Простпранстпво геодезических С(Нг) гиперболической плоскости, следовательно, имеет вид С)(Нг) Нг(со) х Нг(оэ) — )Зтаб . и В литературе ка русском лемке часто есч„ечаетсл тернии «абсолют«.— Прел иерее.

гзо Пьер Пенсю Устойчивые многообразия геодезического потока тоже легко описываются. Геодезические окружности (геометрические места точек, равноудаленных от данной) представлены евклидовыми окружностями, но без общего центра (гиперболический центр ближе к границе, чем евклидов).

Предельные евклидовы окружности, касательные к границе, называются орввшеламк Ортогональными к ним траекториями будут экспоненцизльно сходящиеся к одному направлению геодезические. Значит, для каждой точки р = (х, и) в единичном расслоении имеетсл устойчивое многообразие. Их получают так. Орбита точки р — это ориентированная геодезическая с концом в точке С на бесконечно удаленной окружности. У точки д ж (у, р) устойчивого многообразия точки р имеется проекция д на орицикл, проходяпщй через х и у, а ввктор р — нормаль к орициклу (см. рисунок).

Устойчивые многообразия отождествляются с орициклами 3.2. Факторпространства гиперболической плоскости. В 20-х годах Э. Артин, Г. Д. Биркгоф и П. Кебе интересовались динамикой геодезического потока нафакторах гиперболической плоскости. Причина„по которой нужно исследовать эти многообразия, кроется в теореме униформизацин Римана-Пуанкаре-Кебе: каждая рнманова поверхность, т.е. одномерное комплексное многообразие, с отрицательной эйлеровой характеристикой однозначно записывается как фактор гиперболической плоскости по действию дискретной группы сохраняющих ориентацию изометрий, не имеющих неподвижных точек.

С другой стороны, сложность этой динамики была продемонстрирована Ж. Адамаром в 1898 г. Вслед эа А. Пуанкаре изучались замкнутые траектории. Далее, под влиянием Г. Д. Биркгофа, исследовались вопросы транзитивности. Постепенно эти результаты переносились на случаи переменной кривизны н в старшие размерности. См. об этом обзорную статью ХедлУнда [Не2]. ГЕОДЕЗИЧЕСКИЙ ПОТОК НА РИМАНОВЫХ МНОГООБРАЗИЯХ 231 Если Ъ' — фактор пространства Нг по дискретной группе Г изометрий этого пространства,не имеющих неподвижных точек, то пространство геодезических на Ъ' явллется фактором пространства геодезических универсальной накрывающей Ъ' = Нг по действию группы Г. Так как это действие продолжается на границу, то 6(Ъ') = Г Ъ (Нг(со) х Н~(оо) — ВЕЛ) .

Свойства геодезического потока на Ъ' соответствуют свойствам действия группы Г на Н и на С(Нв). Замкнутзл геодезическая в Ъ' соответствует оси группы Г, т.е. паре точек в Ъ'(со), которые являются неподвижными точками (источником и стоком) некоторого элемента из Г. Мы имеем соответствие: плотность множества осей в С(Нг), большинство орбит группы Г плотны в 0(Нг), плотность замкнутых геоде- зических в Т1У большинство геодезических плотны в Т1Ъ' и То есть предыдущий шар веоиеи в последующий. — Прим. иерее. эргодичность геодезического эргодичность действия груп- потока в ТДl относительно <=Ф пы Г в С(Н~) относительно меры Лиувилля симплектической меры. 3.3.

Обобщение. Предыдущее обсуждение распространяется на односвязные многообразия отрицательной кривизны (и даже, в некоторых аспектах, неположительной кривизны). Выпуклость расстояния между геодезическими играет большую роль: она гарантирует единственность геодезической, соединяющей две точки, и выпуклость шаров.

Для данной геодезической с семейство шаров, проходяпнех через х, с центрами в с(с) является расширяющимся'~; его объединение определяет оривеар, граница которого есть орвсфера. Две геодезические с и с' определяют одно и то же семейство орисфер тогда н только тогда, когда расстояние И(с(с), с'(2)) остается ограниченным при 2, стремящемся к со. Две такие геодезические называются асиипвеоевичиыми друг другу, и классы эквивалентности асимптотичнмх геодезических образуют бесконечно удаленную сферу пространства Ъ', обозначаемую Ъ'(оо) (если идея этого отношения эквивалентности восходит к М.

Морсу [М2[, то Ж, Адамар [Н1) уже показал инвариантность вциклического порядка» геодезических). Когда кривизна строго отрицательна, две асимптотичные геодезические зкспоненциально приближаются одна к другой, и ори~феры, поднятые в единичное расслоение при помощи их внешних 232 Пьер Пансю нормальных векторов, являются устойчивыми многообразиями.

Характеристики

Список файлов книги