Труды семинара Бурбаки за 1991 г (947404), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Семебстео р-полусшабильныл пучков с данным полиномом Гильбертаа Р ограничено. Для пучков без кручения это классическое утверждение (23]. В общем случае можно рассматривать Р как пучок модулей на подсхеме о' с Х, определенной аннулятором пучка Р; о' — разноразмерная подсхема размерности д и ограниченной степени. Можно доказать, что семейство таким образом полученных подсхем ограничено, даже если нельзя прямо сослаться иа Чжоу: эти подсхемы не являются, в~ обще говоря, приведенными. Зафиксируем о' и рассмотрим конечную проекцию т: о' -+ Ре, такую, что я'(бге(1)) = Оо(1).
Тогда пучок я,(Р) есть пучок Ори-модулей без кручения с тем же полиномом Гнльберта, чтд и у Р. Этот пучок не обязательно,и-полустабилен, но наклоны его подпучков ограничены. Этого достаточно, чтобы получить ограниченность семейства пучков на о', а значит, н исходного семейства. Зафиксируем полипом 1Е степени д и рассмотрим категорию С(Ь1) полустабильных пучков Р, таких, что Рр~т = Я, где т — кратность 208 Жозеф Ле Потьь пучка Р. Легко проверить, что таким образом получается абелева категория, притом негерова и артинова, что позволяет определить в ней понятие фвлътрации Жордана-Гелъдера, т.е.
такой фильтрации ОсРтс" сРь=Р, что присоединенные факторы дг;(Р) = РтЯ т стабильны; тогда дг(Р) = Щдтт(Р) не зависит от фильтрации с точностью до изоморфизма. Два полустабнльных пучка Р и С из С(С) называются Б-эквивалентными, если дг(Р) дг(С) . Пусть Р— полинам степени И. Рассмотрим функтор Мх(Р), сопоставляющий алгебраическому многообразию Б множество Мх (Р) (Б) классов изоморфизма семейств полустабильных пучков на Х с полиномом Гильберта Р, параметризованных Б. Теорема 5. 1. Длл функтпора Кх(Р) сущестпвует грубое простпранстпво модулей Мх(Р), точки котпорого находлтпсл во взаимно однозначном соотпветпстпвии с кеассами Б-зквиваеентностпи полу- стабильных пучков с полиномом Гильберта Р. 2.
Мх (Р) — проектпивное многообразие. 3. Существует открыпюе подмножество Мх(Р) с Мх(Р), точки котпорого отпвечают классам изоморфизма стпабильных пучков. Тот факт, что Мх(Р) — грубое пространство модулей, означает,что имеется функториельный по Б морфием /: Мх(Р)(Б) ~ Мог(Б,Мх(Р)), обладающий следующим свойством уннверсельности: для любого алгебраического многообразия И н любого морфизма функторов д: Мх(Р)(Б) -+ Мог(Б, тт') существует единственный морфизм ттт: Мх(Р) -ь Ф, такой, что др = ьт о ур для любого семейства Р Е Мх(Р)(Б). Набросок доказательства.
Выберем сначала достаточно болъшое Н так, чтобы для и > Н въшолнелись следующие условия: (1) для любого полустабильного пучка Р с полвномом Г'ттлъберта Р. пучок Р(п) порождается глобальными сечениями, Нт(Р(п)) = О для д>О; (й) для любого'полустабильного пучка Р кратности т с полиномом Гильберта Рр = Р и любого некулевого подмодуля Р' С Р кратности т имеет место неравенство Ао(Р'(и)) Ло(Р(п)) Рр Рр ( а в случае равенства — = — .
т' т т' т Утверждение (1) следует вэ теорем А н В Серра, примененных к огранкченному семейству из леммы 6. РАССЛОЕНИЯ ХИГГСА И ЛОКАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ 209 Утверждение (П), которое выражает полустабильыость, менее очевидно, так как семейство подпучков Р', участвующих в нем, не является ограыиченным. Пусть Н вЂ” комплексное векторное пространство размерности Р(Н); для каждого й > 0 положим А» = Но(Ох(й)).
Рассмотрим проективную схему Гыльберта-Гротендика [15) НПЬ = Нт(5(Н Э Ох ( — Дт), Р) когерентвых Ол-модулей с полиномом Гильберта Р, являющихся фактормодулями локально свободного пучка Н Э Ол( — Ф) т Сопоставление пучку Р векторного пространства Но(Р(Н + й)) определяет для достаточно большого й вложение Н»1Ь в грассманиаы Сг = Стаяв(Н Э А», Р(Н+ й)) факторов пространства Н Э А» размерности Р(Гт' + й); зто определяет поляризацию схемы НПЬ. Группа Я,(Н) действует на НПЬ и на Сг; это действие связано с линейным действием группы $1(Н) ыа ЛР(тт+»1(НЭ А») через аяожение Плюккера. Используя критерий предыдущего раздела, нетрудно найти полустабильные точки относительно действия этой группы, если й достаточно велико: Лемма т. Длл подходлитеб поляриэаиии схемы НПЬ и тпочки Р Е НПЬ следующие условия эквивалентпны: (а) тпочка Р полустпаби |ьна отпноситпельно дебстпвил группы $1(Н).
(Ъ) длл любого ненулевого подпростпрансптва Н' С Н, если Р'— подпучок в Р, порожденный Н'Э ОХ( — Ф), тпо РР Р > —. йшН' йпзН ' Рассмотрим фактормногообразые Мэмфорда М' = НПЬ"/$ь(Н) открытого подмножества полустабильных точек НПЬ*' С НПЬ по действию группы $1 (Н) .
Любой паре (Р, а), состоящей из полустабыльного пучка Р с полиномом Гильберта Р и изоморфизма а: Н Но(Р(Н)), отвечает точка из НПЬ. Если обозначить через Р' подпучок в Р, порожденный ненулевым подпространством Н' С Н, то 411ш Н' < Й(ш Н~(Р'(Н)), откуда с использованием свойства (П) выше вытекает, что йта Н' йшН РР Рр — < —, а в случае равенства —, т' т нз л 210 Жозеф Ле Потев Отсюда следует, что Рг Рг ) —.
б1т Н' б1т Н Согласно лемме 7, зто означает, что точка из НПЪ, отвечающая (Р, а), полустабильна. При замене изоморфизма а получается точка на той же орбите группы Б1 (Н) и, следовательно, та же точка фактора М'. Нетрудно увидеть, что эта конструкция на самом деле дает функториальный морфнзм Мх(Р)(Б) -е Мог(в, М') . Обратно, можно было бы надеяться, что если хорошо выбрать число Ю и поляризацию, то точки Р е НИЬее определяют полустабильные пучки и канонический морфизм Н е Но(Р(1е')) является иэоморфизмом.
Если второе утверждение очевидно, то с первым дело обстоит не так: уже для пучков без кручения в работах 11езекера и Маруямы встречаются трудности такого рода. Тем не менее можно доказать, что точки Р Е НПЬ, отвечающие полустабильным пучкам, для которых морфизм Н ~ Но(Р(зе')) является изоморфнзмом, определяют подсхему Н" С НИЬ", являющуюся открытой н замкнутой, а также БЬ(Н)-инвариантной.
Тогда можно рассмотреть фактормногообразие Мамфорда М = Мх(Р) = Нез(БТ,(Н); это проективное многообразие, которое, как легко проверить, является искомым грубым пространством модулей. Пространство модулей Дольбо. Так же как для когерентных пучков, мы определяем понятия полустабильности и стабильности для пучков Хнггса при помощи полнномов Гильберта: пучок Хиггса (Р, д) кратности г полустабнлен, если он разноразмерный и для любого ненулевого подмодуля Хиггса Р' С Р кратности г' справедливо неравенство Р1з Рà — ( —.
г' Аналогично определяется фильтрация Жордана-Гельдера и Б-эквивалентность. Ограничимся для простоты случаем пучковбезкручения; тогдаполином Гильберта Р имеет степень и. Под семейством пучков Хиггса с полиномом Гнльберта Р, параметризованным алгебраическим многообразием Б, понимается пара, состоящая из алгебраического когерентного пучка Р на Б х Х и морфнзма 9: Р -+ йзл„лув З Р, индуцирующего над каждой точкой в е Б пучок Хиггса (Р„ д,) с полиномом Гнльберта Р . (Пучок й~~„,~ обозначает,как обычно,пучок относительных дифференциальных 1-форм.) Рассмотрим функтор Манов, (Р), сопоставляющий многообразию Б множество классов РАССЛОЕНИЯ ХИГГСА И ЛОКАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ 211 изоморфизма семейств полустабильных пучков Хиггса на Х с поли- номом 1'ттльберта Р, параметризованных о.
Следуюший результат обобшает теорему 5. Теорема 6. Пустив Р— полинам стпепеии п. 1. Длл функтора 1тл л,рр, (Р) сушестпвуетп грубое простпранстпво модулеб Мшрр,(Р), точки котпорого отвечают классам Б-эквивалентности полустабильных пучков Хиггса. 2. Многообразие Мщр, (Р) квазипроектпивно, 3.
Сутцествуетп открытпое подмножество в Мн, (Р), точки котпорого отвечаютп классам изоморфизма стабильных пучков Хиггса. Это утверждение на самом деле следует из теоремы 5. Рассмотрим расслоение на проективные пространства (в смысле Гротендика) л = Р(Т(Х) Ю Ох), где Т(Х) — касательное расслоение; это гладкое пополнение многообразия Т'(Х) кокасательных векторов.
Обозначим через я; Я -р Х каноническую проекцию, а через Р— дивизор на бесконечности. На многообразии л обратимый пучок к*(Ол(а)) Э О(Р) очень обилен для достаточно большого а. Для простоты предположим, что а = 1, — к этому случаю всегда можно прийти, изменив при необходимости поляризацию на Х; это изменяет полинам Гильберта, но не изменяет понятия стабильности и полустабильности. Лемма 8.
Категория полустабильиых пучков Хиггса без кручения на Х эквивалентна категории полустпабильных пучков размерности п иа л, иоситпель которых ие пересекает дивизор на бескоиечностпи Р, Доказатпельстпво. Пусть А = БутпТ(Х) — симметрическая алгебра касательного пучка Т(Х); тогда Т'(Х) = ЯресА.
Задать пучок Хиггса на Х вЂ” это то же самое, что задать когерентный А-модуль; сопоставим такому'модулю Р когерентный пучок С на Т'(Х), положив С = к '(Р) ® -тл От.. Носитель пучка С является собственным над Х; если Р— пучок беэ кручения, то С вЂ” разноразмерный пучок размерности п. Обратно, когерентному модулю на Т' отвечает пучок Хиггса Р = к. (С) без кручения на Х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
