Труды семинара Бурбаки за 1991 г (947404), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Гармоническое расслоение — зто тройка (Е, Р, (, )), образованная векторным расслоением Е, связностью Р и метрикой, удовлетворяющими двум следующим условиям интегрируемости: (1) связность Р интегрируема. Это означает, что форма кривизны Рсз е Аг(ЕпЫ(Е)), определенная формулой Еп(в) = Рэ(в) для в Е Ао(Е), равна нулю. В этом случае с парой (Е, Р) связана локальная система комплексных векторных пространств размерности т, определенная пучком локальных сечений (в обычной топологии), аннулируемых Р; мы называем такую пару плоским векторным расслоением ранга г. Выбор точки х Е Х определяет тогда представление фундаментальной группы хз(Х, х) многообразия Х в СТ (т, С), определенное с точностью до сопряжения. Чтобы сформулировать второе условие интегрируемости, разложим Р в сумму: Р = 17 + а, где 17 — эрмитова связность, а се — дифференциальная 1-форма со значениями в Епе1(Е), самосопряженная относительно зрмитовой метрики.
Разложим т7 н се по типам: з7 = д+ д, ее = д+ д', где д и д имеют типы (1, 0) и (О, 1) соответственно, а д — дифференциальная (1, 0)-форма со значениями в расслоении зндоморфнзмов расслоения Е. Сопоставим наре (Е, Р) дифференциальный оператор Ро: Ао(Е) -е А'(Е), определенный формулой Р" = д+ д. Второе условие формулируется так: (2) дифференииальнаа форма ез = Роз е Аз(Епй(Е)) равна нулю. Разлагая форму 0 по типам, мы видим, что это условие эквива- 2 лентно равенствам д = О, д9 = 0 и д л д = О. Таким образом, оператор д определяет на Е структуру голоморфного векторного расслоения, причем 9 есть голоморфная дифференциальная форма на Х со значениями в ЕпА(Е), удовлетворяющая условию 9 Л д = О.
РАССЛОЕНИЯ ХИГГСА И ЛОКАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ 189 2. РАССЛОЕНИЯ ХИГГСА Расслоением Хиггсо на Х называется пара (Е, д), где Š— алгебраическое векторное расслоение на Х, а Π— регулярная дифференциальная 1-форма со значениями в расслоении эндоморфизмов Епо(Е), удовлетворяющая тождеству дАО = О. При желании эту дифференциальную форму можно рассматривать как морфизм д: Е -+ О'(Е) из Е в расслоение йс(Е) дифференциальных 1-форм со значениями в Е. Так как многообразие Х проективно, то по теоремам сравнения Серра все равно, с какими расслоениями на Х работать — алгебраическими или голоморфными. Таким образом, согласно предыдущему разделу, любое гармоническое расслоение на Х определяет расслоение Хиггса с нулевыми классами Черна. Сразу возникает обратный вопрос: при каких условиях расслоение Хиггса с нулевыми классами Черна происходит из некоторого гармонического расслоения? Ответ на этот вопрос в действительности является частным случаем некоторого более общего утверждения относительно существования метрики Янга — Миллса на расслоении Хиггса.
Для расслоения Хиггса (Е, д) ранга т и эрмитовой метрики Н = (, ) на Е определим связность на Е по формуле Р = 17+а, где 17 — единственная эрмитова связность на Е, такая, что ее (О, 1)-часть совпадает с оператором Дольбо д, и пусть а = д + д'. Соответствующая форма кривизны Е = Р называется формой кривизны эрмнтовой метрики Н. Разумеется, если классы Черна произвольны, то нет надежды подходящим выбором Н получить нулевую кривизну Е. Однако можно попытаться ее минимизировать. Для измерения кривизны снабдим расслоение эндоморфизмов Епо(Е) эрмитовой метрикой (7, д) «+ Сгасе(д' для у и д, принадлежащих одному слою расслоения Епо(Е). Соотзетствующая квадратичная форма обозначается через 7 ~-> (7(з; тогда Ь~-норма кривизны определяется по формуле „о !!Г(!2 1 !Е(2 /х По предположению на Х имеется очень обильное расслоение б(1); мы обозначаем через 7с его класс Черна, а через ы — форму Черна некоторой зрмитовой метрики на этом расслоении.
Как и на любом кэлеровом многообразии, на алгебре дифференциальных форм на Х действуют операторы *, С, Х, Л; напомним (см. [37!) определение оператора С: ( 1 ) для любой дифференциальной формы ~р типа (а, 6) . Жлолф Лл Потьл 190 разложим форму кривизны Р связности Р в сумму: Р = — гг (Р ) ™е + Р 1 г вде 1г(Р) обозначает след формы Р, а Р-г — дифференциальная с-форма со значениями в Епо(Е) с нулевым следом.
Обозначим через Рв (соотв. Рв") примитивную часть формы Р (соотв. Рл) и заггишем ортогональное разложение Р = Рв + -„Л(Р) (соотв. Рл = Ф~. + -„Л(Рл)). Наконец, пусть с; — классы Черна расслоения Е. ~ак показывает следующее предложЕние, зти классы доставгопот тоггологическую границу для возможных значений ((Р(!.
л1редложение 1. Имвювг месгоо следующие формулы: ~~окоэоогвльсогво. Мы рассмотрим только случай п = 2; для больпзих и рассуждение требует незначительной модификации. Представагм связность в виде Ю = 17+ а, где связность т7 эрмитова. Тог.ца форма кривизны связности Р запишется в виде Р = А + В, где А = Ро+ада, В = 17(а); дифференциальная форма А антиэрмитова и имеет тип (1, 1), а В зрмитова (т.е. самосопряженная) и является сЪ ммой дифференциальных форм типа (2, 0) и (О, 2) .
По определению к лаосов Черна в Нл(Х, о) = Е сг — — = — / 1г(Р ) = — ~ гг(ВВ' — АА'), сз 1 Г, 1 Г 2 8яз,lх 8тг ./х Зчшишем А = Ае + Аг, где Ав — примитивная часть (антиинвариаьчтиая относительно «), а Аг — ортогональная часть (инвариантная оЪносительно л). Тогда Ро = Ав + В, А~ — ~ Л(Р). Из определеньгя нормы для самосопряженных дифференциальных форм ))у((з = Хгк У Л л9г вытекает, что сг — — ' = —,(!)В!!'+ !!А )!' — ))А !!') = —, !!Ро(!' — — ()Л(РП' . РАССЛОЕНИЯ ХИГГСА И ЛОКАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ 191 Доказательство второй формулы аналогично — надо заменить Е на Е~- и воспользоваться формулой сг ст = — / ьт(г ) т — 1 г 1 2т ' 8кт /х Метрики Янга — Миллса.
Эрмнтова метрика на Е называется метрикой Янга-Миллса, если (1) след формы Р— гармоническая форма, (2) Л(г" ) = О. Первое условие эквивалентно тому, что А(ьт(г')) = сопе1; таким образом, метрика является метрикой Янга — Миллса тогда и только тогда, когда форма кривизны Е записывается в виде Е = тЛьт1дн+Го, где Ео — примитивная часть формы Е, а Л вЂ” вещественное число. Функционал ][Я~ на пространстве зрмвтовых метрнк достигает минимума в точках, соответствующих метрикам Янга-Миллса.
Приведенное выше предложение налагает топологические условия на существование таких метрик: Следствие. Пустпь (Е, 0) — расслоение Хиггса на Х, снабженное метрикой Янга-Миллса. Тогда (1) еыполняется нераеенстео сг — — с, .тт" >О; (2) если классы Черна ст и ст удоелетпеоряютп условиям отЛ ., Л"-'=О,,— — ').А"-'=О, 2) тпо соотеетстеуютпая сеязностпь П яеляетпся плоской. В частпности, осе класса Черни расслоения Е равны нулю. Утверждение (1) обобщает классическое неравенство Богомолова [2] и Любке [21] для стабильных расслоений. В условиях, при котоРых выполнено (2), метрика Янга-Миллса на (Е, 0) определяет гармоническое расслоение, отвечая, таким образом, на вопрос из начала раздела.
Следуюший результат объясняет связь между, р-стабильными Расслоениями Хиггса и метриками Янга-Миллса. Жоэеф Ле Потье Пучки Хиггса. Для любого когерентного алгебраического пучка Р без кручения ранга т с классами Черна с; определим его степень н наклон формулами деа(Р) = ст. Ь" ~, р(Е) = деб(Р) Пучок Хиггса ранга т на Х вЂ” это пара (Е, В), состоящая из когерентного алгебраического пучка Е и морфиэма В: Е -ь П' йэ Е, такого, что В Л В = О; разумеется, любому расслоению Хиггса отвечает пучок Хиггса его регулярных сечений. Когерентный подпучок Е' С Е называется подпучком Хиггса, если В(Е') ь. П' З Е'. Пучок Хиггса (Е, В) называется р-полустабияьным (соотв.
р-стпабильным), если для любого подпучка Хиггса Е' ранга т' с О < т' < т выполнено неравенство р(Е') < р(Е) (соотв. р(Е') < р(Е)). Фундаментальный результат К. Симпсона характеризует расслоения Хиггса, на которых существует метрика Янга — Миллса. Теорема 1 (Симпсон). Пусть (Е, В) — рассяосние Хиггса. Метрика Янга-Миллса на (Е, В) сутаестеуетп тогда и тполько тпогда, когда Е есть прямая сумма р-стабильных подрассеоениб Хиггса одного и того ясе наклона р. Этна метрика единственна с точностпью до изоморфизма. Зскнз доказательства. Пусть (Е„В) — расслоение Хиггса с метрикой Янга-Миллса Н = (, ) и Е' — подпучок Хиггса, у которого предлагается мажорировать наклон.
Можно предполагать, что фактор Е" = Е(Е' не кмеет кручения, так что над открытым по Зарисскому подмножеством У, дополнение к которому имеет коразмерность > 2, имеется точная последовательность алгебраических векторных расслоений О -ь Е' -+ Е -ь Е" -ь О. Метрика на Е позволяет расщепить эту точную последовательность в классе С: Е = Е' ЕЕ"; с учетом этого разложения в ортогональную прямую сумму операторы д н В записываются матрицами д= РАССЛОЕНИЯ ХИГГСА И ЛОКАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ 193 где '~3 Е Ацо(У, Нот(Е», Е')) и 7 Е А1'»(У, Нотп(Е', Е")) — дифференциальные (1, 0)-формы со значениями в расслоениях гомоморфизмов Но1п(Е',Е») и Но1в(Е», Е') соответственно, а )3' — сопряженная форма к Д.
Обозначим через Ря. и Ол связности на У, отвечающие расслоениям Хиггса (Е',д') и (Е",9») с индупированными эрмитовыми метриками. Тогда связность на Е имеет вид 33 33е' 13 + 7 Пусть г» и Ео — кривизны расслоений Хиггса Е' и Е"; форма кривизны Е связности 13 на расслоении Е задается над У следующей матрицей: г'+(13*+7) Л(7 )3) 33()3 +7) ° ° ° Ю(7' — )3) Е»+ (7" — )3) Л ()3 +7) ) В этой формуле Р обозначает связности, индуцированные на расслоениях гомоморфизмов Нотп(Е', Е») и Нот(Е», Е'), а также их продолжения на дифференциальные формы.
Так как метрика Н есть метрика Янга-Миллса, имеем 1 1 р ~»-1 »ц 2х ™ бек(Х) Из матричного представления для Р, приведенного вьппе, получаем — (г +7Л7 — /3 Л)3).ш = Я~ !Йе'. 2я ' дея(Х) Взяв след и проинтегрировав по У, получим ,и' + —, 111(7 Л 7' — )3*А )3) . »1" ' = р, 2хг~,/и где г' — ранг расслоения Е'. Заметим, что подынтегральная функция неотрицательна; в частности, эта формула показывает, что интеграл сходится.
Следовательно, д' < и, причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда 13 = у = О. В этом случае точная последовательность (1) имеет голоморфное расщепление, которое продолжэ; ется на Х, так как дополнение к У имеет коразмерность > 2. Таким ~бравом, расслоение Хиггса (Е, Е) есть прямая сумма подрасслоений Хнггса одинакового наклона и, причем каждое слагаемое снабжено 194 Жозеф Ле Потье метрикой Янга-Миллса, что позволяет применять конструкцию до тех пор, пока все слагаемые не станут р-стабильными. Сводка формул. Понятно, что оставшаяся часть теоремы более трудная. Мы начнем со сводки необходимых формул. Для расслоения Хнггса (Е,В) и эрмитовой метрики К на Е обозначим через Р = Рк соответствующую связность, которую запишем в виде Р = Р' + Р".
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
