Труды семинара Бурбаки за 1991 г (947404), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Тот факт, что получится вся каспидальная двойственная к С1 „(Г) при и, взаимно простом с р, доказан Моем [Му1] в значительной мере с помощью вычислений (проделанных для и = 2 Туннеллом [Тп]). В это же время Куцко [Ки1] описал допустимую двойственную для СТз(Г) при произвольном р, пользуясь локальным методом, и Карайоль [Са] ввел понятие суперкаспидвльного представления максимальной компактной по модулю центра подгруппы в СТ„(Г) (эти представления легко описать явно), показав, что с помощью индуцирования они дают каспидальные представления группы С; кроме того, он доказал (опять с помощью вычислений), что при простом и так получается вся каспидальная двойственная к СБ„(Г) . Но обратимся все же к общему случаю.
В [%а] Вальдспургер нашел обобщения конструкций Хоува и Карайоля и проанализировал также большую часть допустимой двойственной к СБ„(Г), но его построения не дали всей двойственной. В 1985 г. Мой [Му2] предложил понятие минимального К-типа, существование которого было доказано немного позже Башнеллом [Вп2] (см. также [НМ1]), который сумел дать локальное доказательство того,что для простого и конструкции Карайоля дают всю каспидальную двойственную.
Куцко получил затем также локальный, но более прямой вариант доказательства того же результата [Кп2]. В рамках другого подхода Хоув [НоЗ] ввел изоморфизмы алгебр Гекке, примеры которых мы увидим далее (об этих изоморфизмах говорится также в [%а]), а в [НМ2] Хоув и Мой извлекли из рассмотрения этих изоморфизмов локальную конструкцию всей каспидальной двойственной к СЬ„(Г), когда п просто или взаимно просто с р. Наконец, результат Корвина [Со4] послужил отправной точкой для цикла статей [Со1-СоЗ], в которых рассматриваются все более и более общие случаи, как для СТ„(Г), так и для 12", тогда как работа Башнелла и Куцко [ВК] венчает серию [Вп2, Ки2, ЪУа, КМ1, КМ2].
2. ОБЩИЕ КОНСТРУКЦИИ И НЕСКОЛЬКО ПРОСТЫХ СЛУЧАЕВ 2.1. В этом разделе мы покажем, как анализируются ограничения гладких представлений группы С1.„(Г) на компактные по модулю центра подгруппы — все более и более тонко во все более усложня- 170 Ги знньяр ющихся ситуациях. Ради удобства мы используем терминологию из [ВК], которая еще послужит в равд. 3. Пусть Н вЂ” кольцо целых поля Р, Р— его максимальный идеал, Р— поле вычетов Я/Р и д — его мощность; зафиксируем также униформиэующую ю в Р и аддитивный характер ф, тривиальный на Р,нонена Н. Зафиксируем целое число н > 2 и векторное пространство У размерности и над Р. Обозначим через А = Епбя(У) кольцо эндоморфизмов пространства У, через С группу обратимых элементов в А и через Я ее центр.
Каждая подгруппа в С, компактная по модулю Я, содержится в некоторой подгруппе, компактной по модулю Я и максимальной среди подгрупп с этим свойством. Однако в противопо-' ложность архимедову случаю две такие максимальные подгруппы не явапотся сопряженными.
Их можно описать с помощью цепочек решеток в У. Решеткой Ь в У называется свободный В-подмодуль в У ранга н. Цепочкой решеток называется убывающая последовательность решеток Г. = (йм);ез, для которой существует такое число е Е Е, называемое периодом цепочки Е, что Ь;+, — — мЬ; для г Е Е. Две цепочки решеток называются эквивалентными, если они отличаются сдвигом индексов; класс эквивалентности цепочки Г, обозначается [С].
Пусть Г. — цепочка решеток в У. Кольцо Ас = (д Е А ~ дйа С йч для 1' Е Е) является наследственным порядком в А [Ке] с радикалом Джекобсона Рс=(дЕА!дЬ;СЬ,+1 для1ЕЕ), а стабилизатор Нс = (д е А ~ 31 Е Е: дЦ с Ь,+1 длЯ ( Е Е) цепочки С в С является открытой подгруппой, компактной по модуую Я. При этом Ас, Рс и Нс зависят только от [Г]. Пусть е— период цепочки С; для каждого 1 Е Е пространство Ь;/Ь;+, есть векторное пространство над Р, а последовательность 0 Й+е/Щ.с С 1в+е-1/~ю+е С ° ° ° С Й+1/Й+е С Ь1/Ь1+е образует флаг в этом векторном пространстве.
Говорят, что цепочка с. равномерна, если размерность пространства 1ч/Ь;+1 над Р не зависит от г; это равносильно тому, что Ас — главный порядок, т.е. что Рс есть свободный левый модуль над Ас. Если положить / = с()шр(Ц/Ьс ы), то получим е/ = н. Если цепочка Г. равномерна, то Нс является максимальной компактной по модулю Я подгруппой ПРЕДСТАЕЛЕИИЯ РЕДУКТИВНЫХ р-АДИЧЕСКИХ ГРУПП 171 в С. Обратно, всякая максимальнаякомпактнаяпо модулю о подгруппа Н в С имеет вид Нс для некоторой равномерной цепочки д, класс эквивалентности которой определяется подгруппой Н.
Подгруппы Нс и Нс с равномерными Д и Д' сопряжены тогда и только тогда, когда цепочки ь и ь' имеют одинаковый период. Если дано гладкое неприводимое представление х группы С, то для начала надо рассмотреть ограничения представления х на подгруппы вида Нс и доказать, что для удачно выбранной Нс это ограничение содержит представление р подгруппы группы Нс весьма частного вида. Понятие представления евесьма частного видал будет подвергнуто последовательному уточнению с тем, чтобы на высших стадиях этого процесса мы как раз смогли заключить, что если к каспидально, то оно индуцировано с р.
2.2. Пусть Д = (Ь,)ых — некоторая цепочка решеток в 6' периода е. Введем фильтрацию Нс подгруппами Нс — — (дЕС[д1;=Ь| для1ЕЕ) и Нà — — 1+Рс, 1>1. Каждое гладкое неприводимое представление р группы Нс тривиально на Нс при достаточно большом 1; если г — наименьшее целое, большее единицы, при котором это так, то число (1 — 1)/е называется Еровнем представления р. Группа Нсо (Нс1 изоморфна конечной группе ] [;, С1 Р(Ь; 1/Ц), представления которой давно хорошо известны [Сг]. Для целых чисел т и г, удовлетворяющих неравенствам 2та > г > ти > 1, группа Нс (Нс абелеваи изоморфна аддитивной группе Рс (Рс, причем иэоморфизм осуществляется отображением 1+я + х.
Если р — гладкое неприводимое представление группы Нс, тривиальное на Нс, то его ограничение на Нс разлагается в сумму характеров группы Нс (Нс, сопряженных друг с другом с помощью Нс(Нс. Эти характеры, конечно же, отвечают характерам группы Рс (Рс. Но группа характеров последней отождествляется с Р "(Рс ~. каждому элементу 6 Е Рс 1' ставится в соответствие характер фь: х ~ ф о Тг(бх) на Рс, который тривиален на Рс и зависит лишь от класса элемента Ь по модулю Р ~.
Кроме того, действие группы Нс сопряжениями на характерах группы Рс (Рс переходит в действие Нс сопряжениями на Р' "(Р' с с Определение [ВК]. Стратом в А называется четверка ([С], Г, пз, 6), в которой Д есть цепочка решеток, т и т — два целых числа, т > т, а Ь вЂ” элемент иэ Рс'. Два страта ([Д],г,тв,Ь) и ([Д],г,т, Ь') объявляются экввоалевщкмми, если Ь = 6' щи Рс ™. Страт вида ([ь], г, 172 Гн Эьньяр г — 1, Ь) называется фундаментальным, если г > 1 и множество Ь + Р~~ " не содержит нильпотентных элементов кольца А.
2,3. Пусть л — гладкое неприводимое представление группы С и в = ([л".], г, т, Ь) — некоторый страт в А с 2т > т > 1. Говорят, что я содержит в, если его ограниченые на Н содержит кгк ю+1 компоненту характер фь, отвечающий элементу Ь.
Фундаментальные страты были введены Моем [Мо2], который высказал следующее предположение, доказанное впоследствии Башнеллом [Ви1]. Теорема 2. Пусть я — гладкое неприводимое предсгпавление группы О. Тогда либо (случай а)) к содержит фундаментальный страт ([С],г,г — 1,Ь), либо (случай Ь)) существует такая цепочка решеток ь, чтв ограничение к[Нее содержит тривиальное на Н' предстпавление, агавечающее каспидальнаму представлению конечной группы Нсв/Нсг. Замечание. Разумеется, каспидальными называются те представления линейных групп над конечными полями, которые не могут быть получены индуцированием с собственных параболических подгрупп.
Все они известны (см. [Мй]). Если ([С],г, г — 1,Ь) — фундаментальный страт, а С имеет период е, то элемент Ь'/м принадлежит Ас; через фь мы обозначим редукцию его характеристического многочлена по модулю Р. Теорема 3. Пусть мы находимся в условиях случая а) теоремы 2. а) [Ви1, НМ1] Уровень г/е и мнвгочлен фь не зависяга от фундаментальнога страта ([С], т, т-1, Ь), содержащегося в к. Этот уровень является наименьшим из уровней стратег, содержащихся в л.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
