Труды семинара Бурбаки за 1991 г (947404), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Тогда генератор С определяется на цилиндрических функциях у от конфигурации у Е (0,1)~ но формуле (где е ь — — — еь) СУ(у) = ~ ~ у(1)[1 — у(1+ еь)]рь[1(у+б.~„— б ) — 7(у)]. ши ~<!ц<4 Говорят, что процесс симметричен, если рь = р ь, я = 1,..., б; в противном случае процесс асимметричен. Симметрический случай тривиален, так как уравнение для плотности замкнуто; в пределе получается линейное уравнение диффузии [П1РР].
Здесь ир — бернуллневские меры (продакт-меры) со средним р Е [О, 1]. (Ь) Процессы с запретами с переменной интенсивностью, в которых среднее для показательного закона зависит от числа занятых соседних ячеек. Здесь ир — гнббсовские меры, как и меры модели Изинга; их можно получить, определив интенсивность формулой Кавасаки или формулой Метрополиса [01РР, Яр]. 148 Фрэнсис Комин (с) Процесс с ультрзлокзльным взаимодействием (с нулевой областью зависимости): несколько частиц могут находиться в одной ячейке. Среднее случайного времени пребывания есть убываюкцая функция от числа частиц в ячейке.
Затем частица прыгает с вероятностями рэь, как выше, но без запретов. Как и в примере процесса с запретами (а), инвариантные меры ир есть продакт-меры, несмотря на взаимодействие между частицами, что приводит к важному упрощению по сравнению с общим случаем (см. пример (Ь)). З.З. Процессы с притяжением. Это свойство монотонности является существенным средством для доказательства предельных теорем для систем частиц (см.
[Ы, с. 70]). Примеры (а) и (с) из предыдущего пункта всегда обладают этим свойством. Определим отношение частичного порядка: для у, у' Е К~ напишем р < у', если у(э) < у'(э) для всех э е ек. Функция у: ки -+ к — возрастающая функция, если она сохраняет порядок. Наконец, для и, и' е М~(К ) напишем и < <и', если ] ~Ни ~< [ ~Ни' для каждой возрастающей функции.
Процесс с генератором Е называется процессом с вритяясеиасм, если из и < и' следует, что ехр(иЕ") р < ехр (иь'*) и' для любого и > О. Свойство притяжения позволяет сравнивать равновесные профили, реализованные в момент 1, с помощью процессов, стартующих при заданных начальных профилях. Из этого стохастического сравнения траекторное сравнение получается с помощью техники динамического кзплинга (соир1абе), заключающегося в построении одновременно на одном н том же пространстве нескольких версий одного процесса, стартуюпих из произвольных конфигураций. Для процесса с притяжением и двух упорядоченных начальных распределений существует каплинг, сохраняющий порядок конфигураций в каждый момент времени.
Наконец, процедура пркоришеэпа, введенная Андьелом и Кипннсом [АК], позволяет исйользовать инвариантные меры. З.З. Уравнения Эйлера для процессов скачков в размерности 1. Начнем с простого асимметричного процесса с запретами. В размерности к( = 1 предельное уравнение (ба) для плотности чисел заполнения р есть уравнение Бюргерса д д д1 ф + (р~.к р-к) [р(1 — д)] — 0 д1 (обычнак форма которого получается заменой и = р — 1/2). Определим сначала энтропийное решение.
Без потери общности мы предполагаем, что р+1 > Р к (свободно устанавливаем среднее смещение вправо). Большая часть результатов, упоминаемых в этом пункте, ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ПРЕДЕЛЫ 149 была получена для начального закона ® и~И«б(«КУ(«)) «ех (см. замечание после определения 1) с начальным профилем (8) Ро(х) = Р 1«со+ Р 1*>о где р+,р Е[О,Ц.
Рассмотрим два случая: если Р < р+, то ударная волна (разрыв) распространяется со скоростью г« = (ре« вЂ” р «)(1 — р+ — Р ) согласно условию Рэнкина-Гюгонио; в противном случае, при р > р+, характеристики, соответствующие р и р+, отделены «веером разрежения«, где энтропийное решение линейно по пространственной переменной. Ниже дано представление для р(1, х): Случай 1): р .< Р+ Случай 2): р > р+ Сначала Рост [Ко] для частного случая, а затем Бенасси и Фуке [ВР1] установили сходимость поля У««к энтропийному решению р уравнения Бюргерса, указанного выше, и сохранение локального равновесия (исключоя ударную волну, т.е. случай 1), когда х = и«1). Традиционное доказательство (в противоположность новому методу Гуо, Папаниколау н Варадана производства энтропии, см.
равд. 4) использует свойство притяжения процесса, монотонность начального профиля и явный вид решений предельного уравнения. Это доказательство работает и для других процессов с притяжением, рассматриваемых в этом параграфе; оно состоит из трех этапов: ° Соображения каплинга и приоритета и субаддитивная эргодическая теорема позволяют сНачала показать сходимость меры чисел 150 Фрэнсис Ком«ц заполнения у«' к мере с детерминированной плотностью и(С, х), монотонной по х, если начальный профиль монотонен.
° Кроме того, те же соображения каплинга и приоритета позволяют получить замкнутое уравнение для плотности предельной меры, приводя к доказательству следующего свойства декорреляционного предела: Е~ У«~ ([х/с])у«~ ([х/с] + 1) — «и(» х)г Это распространение хаоса. Этого свойства достаточно для вывода замкнутого уравнения. Кстати, об этой модели решетчатого газа: забавно, что слово «гвз«было введено в ХЧ1П в. как перевод латинского слова «хаосэ. ° Полученное замкнутое уравнение означает в точности, что и есть слабое решение уравнения Бюргерса. Тогда, явно используя свойство монотонности н сравнение различных начальных профилей, можно доказать, что и совпадает с энтропийным решением р.
Для процессов с нулевой областью зависимости сначала Андьел и Варес [АЧа], а затем Андьел и Кипнис [АК] и Бенасси и Фуко [ВР2] для процессов скачков на расстояние больше 1 доказали результат такого же типа с предельным уравнением для плотности р чисел заполнения (на этот рэз со значениями в К+) вида 5«р + е, Яр) = О; функция у« — регулярная функция из В.+ в В,+, либо строго выпуклая, либо строго вогнутая. 3.4.
Случай размерности И. Даже если предельное уравнение (5) приводится изменением осей к уравнению в (пространственной) размерности 1, микроскопическое изучение является довольно деликатным делом. Ландим [1 а1] адаптировал указанный метод для случая процессов с нулевой областью зависимости и с кусочно постоянным начальным профилем, равным р во внутренности некоторого полу- конуса и р+ в его внешности, когда граница конуса нли полностью рассеивающая, или полностью пропускающая (т.е.
если обозначить через о среднее смещение свободной частицы, то в точности один иэ двух векторов О и -Р смотрит внутрь полуконуса). Совсем недавно Реэаханлу [Ве2] доказал сходимость 1« для асимметричного процесса с запретами к решению уравнения (5), удовлетворяющему энтропийному условию Кружкова, без ограничений на начальный профиль. Это решение является по определению единственной функцией р, удовлетворяющей неравенству д — [р — с[+ Йч(в1яп(р — с)[гэ(р) — г«(с)]] С О д« в смысле обобщенных функций для всех вещественных констант с. ГИДРОДИНДМИЧЕСКИЕ ПРЕДЕЛЫ !пп Р;/, а 7'«"'/И = 1(и«- + Рр«) . (й) Показана (сначала в частном случае [%1], а затем в более общем [ПКРМ, РКЯ[), что имеет место только второй случай: Вш Р«T(««/«+«/~/«) — АР + (1 А) Р + «/« ' «+ (9) с А = Л(1, Г) = РгоЬ(1/еВ«< Г), где В« — вещественное броуновское движение.
Интерпретация для р = 0 связана с положением Х„ самой левой частицы, для которой «/с (Х«/, — е,1/е) — « ~/и В«. .ко- «-+О печно, не существует частицы левее Х«/,, между тем на расстоянии порядка е '«~ справа от Х«/, система находится в равновесии ир~ согласно (9). Ударная волна заметна также на микроскопических состояниях справа от самой левой частицы. Следовательно, локальное (ио х) эмпирическое среднее для частиц не является равномерно близким в окрестности ударной волны к слабому решению уравнения типа (5Ъ). Для получения асимптотических поправок, напоминающих поправки Навье-Стокса, необходимо сгладить зто среднее по времени [%Ц. Доказательство, носящее очень общий характер, комбинирует использование свойства притяжения процесса и некоторые соображения, связанные с производством (вероятностной) энтропии, описанным в разд. 4.
В келлинге между рассматриваемым процессом и процессом, стартующим при начальном распределении и„конфигурации локально упорядочены согласно свойству притяжения, что позволяст справиться с нелинейностью, вызванной знаком. 3.5. Микроскопическое изучение ударной волны. В случае одной распространяющейся ударной волны естественно поставить два вопроса относительно тонкой структуры окрестности фронта ударной волны: (1) Как выглядит закон больших чисел в этих точках? (й) Существует ли промежуточная шкала между микроскопической и макроскоцической, в которой профиль становится регулярным, или, напротив, он остается жестким и разрывным? Мы детально взложим результаты для одномерного простого симметричного процесса с запретами (случай (а) п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
