Труды семинара Бурбаки за 1991 г (947404), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Диффеоморфизм уо представляет гомоклиническое касание, т.е. квадратично-касательное пересечение устойчивого и неустойчивого многообразий гиперболической периодической точки. Это пере. сечение, не существовавшее при $ < О, в случае общего т1оложения разворачивается с ростом с (см. рис.
1). В связи с этим Палис сформулировал следующую гипотезу: Гинотеэа. Вслкиб диффеоморфизм компактпно»1 поверхностаи М, не *в ьвющийав С-гиперболическим, моэсета Бып»ь продеформирован сколь угодно малым возм1яаением (в С -топологии) тпак, чтпобы возникло гомоклиническое касание. С гомоклиническими бифуркациями нет полной ясности, за исключением диссипативного случая: например, в простейшем случае, когда касание возникает для гиперболической неподвизкноб точки, требуется, чтобы [Ве» Тр1о[ < 1. Приведем некоторые полученные результаты о динамике диффеоморфиэмов Л (О < т « 1) для типичных семейств: ° для любого е ) 0 существует нетривнвльный интервал,У С [О,е] и Св-плотное подмножество Я с,7, такие, что для каждого » Е Н диффеоморфизм 1» имеет бесконечное множество притягивающих периодических орбит (Ньюхаус [30, 31]); ° если хаусдорфова размерность базисного множества, содержащего точку р, меньше 1, то с большой вероятностью по» Е [О, е] диффеоморфизм ~» обладает хорошими свойствами гиперболичности [32, ЗЗ].
В этом контексте семейство Эно (или, скорее, семейства»типа Эно») играет следующую роль (см. рис. 2). Пусть д — точка касания для уо и»»' — достаточно большое целое число. Нас интересуют точки из окрестности точки д, возвращающиеся в эту окрестность первый раз за дт итераций диффеоморфизма у». Вычисления показывают,что в подходящей системе координат для значений параметра КВАДРАТИЧНЫЕ ЗЛНОГОЧЛЕНЫ И АТТРАКТОР ЭНО 1З! вз з<0 С(звз) = (вз вг, вз Р) в=О СУО) = (вЗ, вгз вЗ,Р) 0 С(Е) з)0 С(уз) = 7 Рис.
1 Ф Е [Я, Ф+~] отображение возврыцення гз = уз~ обладает свойствами, похожими на свойства отображений Эно Р,,з (параметр а выражается через $ с помощью аффинного преобразования, а Ь вЂ” по существу константа порядка [Пег(Тр)]в~). (Точное определение семейств втипа Эноз см. в [9].) Мора и Виана [9] обобщили результат Бенедикса и Карлесона: онн также доказали, чтО, с положительной вероятностью по параметру $ Е [О,е], диффеоморфизм уз обладает ветренным аттракторомэ — компактным инвариантным подмножеством Л, обладающим всюду плотной орбитой О(го) с положительным !зоказателем Ляпунова (!ип!п(„~+ ~~!п][Т„у"]] ) О), бассейн притяжения зт'(Л) = (у Е М, 1ип„,+, Д(1"(у), Л) — О) которого имеет непустую внутренность.
Следует заметить. что Л не может быть гипер- Жаи-Кристоф йоккоа 132 Рис. 2 болическим аттрактором в смысле п. 4.1 (ср. [34]). Доказательство Моры и Вианы, похожее на доказательство Бенедикса-Карлесона, в своем настоящем виде, к сожалению, не дает большой информации о геометрии множества Л. 5. НАБРОСОК ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ТЕОРЕМЫ 1 5.1. Приведение к нормальной форме. Линейная замена переменной и замена параметра преобразуют семейство (Р,),е( з о) в (~ а)ае(олР Р,(х) = 2хз — 1+ в(1 — хз) . Обозначим через Л гомеоморфизм х иа в!и кх отрезка [-1,1] насебя.
Положим Я,=Л 1оР,оЛ, 0<в<1. Имеем т . я г '" Яо(х) = 2]х] — 1, вш — св,(х) = в(п — 9о(х) + ясов — х. 2 * 2 2 квадвдтичныв многочлвны и лттгдктов эно 1ЗЗ Нас интересуют очень малые значения параметра з > О. Вне некото- рой окрестности нуля Я,(х) = Яе(х) + 0(в) в С' -топологии. В окрестности нуля (1+ Ц,(х)) = 4х + — + 0(зх ) + 0(х4) . Кроме того, Я,(1) = 1, РЯ,(1) = 2+ 0(з). 5.2. Обозначим через а(л) неподвижную точку отображения Я„отличную от 1. Имеем а(з) = — '-'+ 0(л).
Для малого л критическое значение с(л) отображения Я, принадлежит интервалу [-1, а(з)[. Предположим, что Ц,"(О) ф а(л) при любом и > О. Тем самым исключается счетное множество значений параметра л. Положим 7(~) = [а(л), — а(л)]. Для и > 1 обозначим через 7("), 7( ") две компонентыпрообрззамножества 7(" ') при отображении 0„причем так, чтобы,7(") с [ — а(л), 1]. Имеем — 1[= 0 7'"' »ех и внутренности зтих интервалов не пересекаются.
Пусть и > 2. Значения параметра з, для которых с(л) Е .7( "), образуют интервал, который будет обозначаться К(»). Фиксируем целое по,которое предполагается достаточно большим,и будем рассматривать только значения параметра из К("') .
Положим,7е = .71 —— ,7(с). Для 2 < а < пе обозначим через ~У '),,7»Н две компоненты множества (;), '(7(' ")) так, чтобы 7»Н С [О, -и(л)]. Положим также 7(е) (7-1( ) ) 7(1- ) » е т>» Таким образом, для 2 > и )~ пе причем внутренности трех последних интервалов не пересекаются. Положим 7»» 7»0+1 '7 9»» р»О+1 (Я~ [у„д ) ° Для 2 < и < пс, с Е ( — 1, Ц положим также й(е) (0»[ )-1 5.3. Критические и остаточные ветви обратных отображений. Мы определим убываюшую последовательность интервалов 7ь, Жаи-Кристоф йокиоэ 134 содержа»них О, и рассмотрим некоторые ветви многозначных отображений (Я,") ', определенные на интервале,7», образ которых либо содержит критическое значение (критнческие ветви), либо содержится в .7о (остаточные ветви); порядок такой ветви равен п + й, Для 2 < п < по остввтпочные ветви порядке и суть д„и д„.
(-!) (1) Это диффеоморфнзмы интервала 7о на 7и и 7и соответственно. (-1) (1) Кривэнчвскаа веэввь порядке по (или по+1) есть дсч = д о1. Это днффеоморфизм интервала 7о =,7! на 1„, = 7„»о1. (-1) до+! у~э+! = 7и.!.1 (о) ! 1 1 1 ~ о.
1 с(э) 1 ,1 1 1 1 1 1 1 3 А!(о) 7(!о) !(и) Рис. 3 Теперь определим по индукции критические и остаточные ветви порядка и > по + 1. Они, а вместе с ними н функция а: (и Е )Ч, и > тэо) -+ М, удовлетворяющая неравенству 8(п) < тэ, определяются следующими свойствами (см. рнс. 3): 1. Крап)оческов вставь порядка п — 1 (> по), обозначаемая через д„э, есть диффеоморфизм интервала .7ц„) на 7„! .
2. Имеется разбиение на интервалы с непересекающимися внутренностями: О Ф -»„.!э<1<» аэ с 7с„о! > О; положим д„~.! =,7„+! . Остлвтвочные ветввв вврадка и+ 1 КВАДРАТИЧНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ И АТТРАКТОР ЭНО 135 суть диффеоморфизмы д»~ы (О < [д[ < й»+д) интервала,Уд(„+д;) (для -(д) некоторого целого 1(п+ 1, д) Е [О, и[) на У„+д. (д) 3.
Критическое значение с(в) принадлежит Х„д. Пусть до [ — й,(„)+,, йд(„)+д] — целое число, такое, что с(в) Е д„д(,У, „' +,) . По- 1'о =д„,(,У„„),), У„'„= Ю; (У„). (и) (о) При до = 0 имеем у„= д„д[,у,(„д+д и Ф(в+ 1) = 1(п) + 1. ПРи до ДЕ 0 имеем д„= д„д о д, „+д и Д (п + 1) = д(В(п) + 1, до) . 4. Положим д = 1 или -1 в зависимости от того, сохраняет д„д ориентацию или обращает. Имеем Й„+д = Йд(„)+д — ддо. При 0 < д < й„ед интервалы в„+д и У„+, суть две компоненты множества (-д) (д) (,"д, д(у» д(,7д((д)) д)), у = до + дд, причем .У(+)д С [О, Ц. Имеем д(„+„', = (Я,')+од»+дод~( )+,, 1(п+1, хд) =Ф(1(п)+1, д), если УфО, д(+д) =(Я, д) од» д[дд„д+д, д(п+1, хд) =1(п)+1, если д =О.
5.4, Ограничения иа параметр. Будем предполагать, что параметр в обладает следующим свойством: существует последовательность по < пд < . ° целых чисел, такая, что +2« „ „+() )в. (й) для любого й ) 1 (пд — пд д) < 2 4™мпа. ддд<д »о-»~ д>»оУ2 (Ш) 1(по+1) = 0 при всех й ) О; (дв) положим У» д„„'(1'„„+,) и обозначим через д ветвьотображения ((,),'+' ') ', являющуюся диффеоморфиэмом интервала Уо на Ув (имеем д„„+д —— у„, о д); тогда [У) )о У)д(х)[ < 1/100 при всех х Е,7о . [Заметим, что это условие автоматически выполнено при достаточно большом по, когда по+( — и» ~~ по/2 ] 5.5.
Регулярные ветви. Допустимой ветвью назовем композицию вида д = у(д') о о у(дд,) о у("'), такую, что д(пдо, до) = О, 1(пдд, дд) < пдд д для 1 < 1 < Г: композиция этих отображений корректно определена н д диффеоморфно отображает интервал Уо на его образ. Будем говорить, что у регулярна, Жак-Кристоф йьккв» если для любого х 6,7о [1) 1п Рд(х)[ < 1/100. Порядок ветви д равен 2,) о(т) — 1(»пь»1)) . Лемма. Пусть параметр удовлетворяет предположениям иэ и. 5.4 до порядка пь. Пусть т — целое число из отрезка [4, пь]. Множество точек из 1о, не принадлежащих образу никакой регулярной ветви порядка, не превосходящего т, имеет меру Лебега, не превосходящую 2 '~~.
[Заметим, что при достаточно большом по ветви д~;~, е й (-1, 1), 2 < и < по/2, регулярны.] 5.6. Конец доказательства. В силу предыдущей леммы для почти всякой точки х й до можно построить последовательность то(х) = 0 < т»(х) « ть(х) < целых чисел, обладающих следующими свойствами при достаточно большом Й (в зависимости от х): (1) ть(х) + 2 < тпь~ы(х) < ть(х) + (1и те(х))»; (й) ~ (т)(х) — т~ »(х)) < 2 '~"'~~те(х); 1<)<ь кч(»)-ои-11»)>ко/2 (!В) для каждого г > 0 точка О» " (х) принадлежит образу веков» 1») торой регулярной ветви порядка т,~.»(х) — т„(х) . Пусть теперь 1 < Л < 2. При достаточно большом по для любого у Е,Уа регулярные ветви д„, 2 < п < по/2, удовлетворяют неравен- 1») ству [Рд1„')(у)] < (4ГЛ)-". Из сформулированных выше условий (1), (й) следует, что при достаточно большом по — — по(Л) для почти любого х Е до н достаточно большого т (зависящего от х) [Р4);(х) [ > Л-.
Остельные утверждения теоремы 1 (в частности, тот факт, что множество значений параметра, удовлетворяющих условиям из п. 5.4, имеет положительную меру Лебега) получаются при небольшой дополнительной работе из оценки искажения, которую дает лемма из и. 5.5. б. НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАНИИ О ДОКАЗАТЕЛЬСТВЕ ТЕОРЕМ 2 И 3 6.1.
Доказательства теорем 1 и 2 не имеют принцкпнзльных различий. Следует заменить рассуждения, касающиеся вещественной пе- КВАДРАТИЧНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ И АТТРАКТОР ЭНО 137 ременной (основанные на порядке в Н), на аналогичные рассуждения, касающиеся комплексной переменной (существенно использующие теорию однолистных функций). Но при этом следует одновре.
менно контролировать орбиты многочисленных критических точек, что несколько осложняет комбинаторную часть доказательства. 6.2. Ситуация, рассматриваемая в теореме 3, представляет значительные дополнительные трудности по сравнению с теоремами 1 и 2. 6.2.1. аКритичсские точитв. С помощью подходящего выбора параметров мы хотим избавиться от точек (принадлежащих неустойчивому многообразию неподвижной точки р, ь), которые возвращаются в свою малую окрестность слишком быстро или слишком часто; присутствие таких точек повлекло бы эа собой наличие притягивающей периодической орбиты, чего хотелось бы избежать. В условиях теорем 1 и 2 эти точки суть просто критические точки рассматриваемого отображения и, таким образом, а рс1оп' определены локальными свойствами соответствующих отображений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
