Труды семинара Бурбаки за 1991 г (947404), страница 24
Текст из файла (страница 24)
[Я] Яша!е Я., Оп Згад!епС дупаписа! зузгегпз, Апи. оЕ МаСЬ 74 (1961), 199- 206. [Та1] ТаиЬез С. Н., Яе!Е-диа! соппесйопз оп поп зе1Е-йиа1 шап!Ео!дз, Л. О!ЕЕегепИа1 Сеош. 17 (1982), 139-170. [Та2) ТаиЬез С. Н., ЯеЬпдиа1 соппесс!опз оп Еоиг-шаиНо1дз и!СЬ !идейп!се шСегзесйоп шагпх, Л. О!ЕЕегепС!а! Сеош. 19 (1084), 517-560. [ТаЗ] ТаиЬм С. Н., Саибе СЬеогу оп мушрсос!сзВу репой!с !ош-шыиЕо!дз, Л. ЕЛ!ЕЕегепг!ас Сеош.
25 (1987), 363-430. КВАДРАТИЧНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ И АТТРАКТОР ЭНО1> Жан-Кристоф Йоккоз О. ВВЕДЕНИЕ В статье излагаются (см. равд. 1) три важных результата из теории динамических систем, которые были получены в последние годы. Эти результаты состоят, грубо говоря, в следующем: в некоторых семействах отображений (семейства1г квадратичньгх многочленов и рациональных отображений, семействе Эно) при значениях параметров, пробегающих множество положительной меры, имеет место (неравномерное) экспоненциальное растяжение, несмотря на присутствие «критическойе сильно сжимающей эоны.
Ниже в равд. 2-4 представлен контекст, в котором имеют место эти результаты. Эти три результата доказываются одним и тем же методом (хотя доказательства значительно различаются по степени технической трудности). Вначале производится хорошая локализация параметров, чтобы гарантировать, что первые итерации будут сильно растягивающими. Затем доказывается, что с большой вероятностью по параметрам из рассматриваемой области возвращения в критическую зону (которые неизбежны) не настолько точно аппроксимируют критическую точку и не настолько часты, чтобы разрушить приобретенное растяжение. Номера итераций, при которых они происходят, образуют довольно сложную последовательность.
Однако принцип доказательства представляется чрезвычайно плодотворным, и, будучи однажды усвоен, он открывает путь к многочисленным важным результатам. В равд. 5 представлен набросок доказательства наиболее простого нэ отмеченных результатов. В равд. 6 описаны дополнительные трудности, встречающиеся при доказательстве двух других результатов. 1. РЕЗУЛЬТАТЫ 1.1.
Для а Е Н рассмотрим итерации вещественного квадратичного многочлена Р,(х)=х +а. '1уоссоа уеап-сьг1агорье. Ро1упбгпеа чпапгаг1чпеа ег амгасгепг бе непоп.— 34го!псбге Вопгьа1п', 1990-91, и'734, Аампачпе, 201-202-203, 1991, р. 143-103. Жан-Кристоф Йоккоэ 122 При а < ат обозначим через До наибольшую неподвижную точку отображения Р,. Теорема 1 (М. Якобсон) [1-4]. Пусть 1 < я < 2, б > О.
Существуют оо Е ] — 2, Ц и множество А С [ — 2,ао], обладающие сяедую1цими свобстпвами: (а) [А[ > (1 — 6)(ао + 2); (Ъ) пустпь а Е А; тогда (1) [РР,"'(а)] > Ли дял п > О; (й) дял почти каждого х б [-~3„,0,] сутцестпвует с(х) > О, такое, чтв при всех и > О [0Роо(х)] > с(х) 1"; (ш) срщестпвуетп (единстпвенная) инвариантная втносиптеяьно многочяена Р, эргодическая мера, абсояютпнв непрерывнаа относитпеяьно меры Лебега. Свойство (Ь)(ш) влечет за собой существование положительной ФУнкции Ьо Е Бт([ До До]), такой, что пРи -Д, < з < 1 < До длЯ почти каждого х Е [-Д„Д,] 1 г' 1пп — бР(п Е [О, тч[, Р„(х) Е [з, Ф]) = / йо(и) ди. Свойство (Ь)(й) означает, что показатель Ляпунова, а следовательно, и метрическая энтропия многочлена Р, относительно меры из (ш) равны, самое меньшее, 1п 1. 1.2.
Для д > 2 рассмотрим пространство Ея несократимых рациональных функций степени д. Это открытое по Зарисскому подмножество пространства СР(2д+1) . Каждая рациональная функция В Е Яя задает голоморфное отображение пространства С = С 0 (оо) на себя. Будем называть рациональную функцию Я старого предпериодическоб, если орбита каждой ее критической точки конечна,но не является периодической. Теорема 2 (М. Рис) [5]. Сущеставуетп подмножество А простпранстпва Ея со сяедрющими свот1ствами: (а) А имеетп появжитпеяьную меру (отнвситеяьно меры Лебега на Яв), и каждая строго предперивдическая рациональная функция является тпочкоб пяотпностпи множестпва А; (Ь) пустпь В Е А; тогда КВАДРАТИЧНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ И АТТРАКТОР ЗНО 123 (!) сущесгпвуютп Л = Л(В) > 1 и с(х) > 0 длл почти каждого х Е С, такие, что длл всех и > 0 []Т,В" [! > с(х) Л"; (й) существует инвариантная относительно В зргодическая мера, абсолютно непрерывная относительно меры Лебега.
В силу (Ь)(!) множество Жюлиа отображения В Е А есть С. 1.3. Семейство Эно [6, 7] определяется формулой Р,,ь(х,у) = (х +а+у,Ьх), а,Ь е К. При Ь = 0 Р,,ь вырождается .в квадратичный многочлен Р„на К х (01. При Ь ~ 0 это диффеоморфизм пространства Кз с постоянным якобианом, равным -Ь. Для а < -'(1 — Ь)з обозначим через а,,ь наименьшее решение уравнения хг + а+ (Ь вЂ” 1)х = О, а через р,,ь = (аь,ь, Ьсь,,ь) — соответствующую неподвижную точку отображения Р, ь. Теорема 3 (М. Бенедикс, Л.
Карлссон) [8, 9]. Пусть 1 < Л < 2, б > О. Существуют ао Е [-2, 0], Ьо > 0 и множество Аь С [ — 2, ао] длл любого Ь, 0 < ]Ь! < Ьо, со следующими свойствами: (а) [Аь! > (1 — б)(ао+ 2); (Ь) пусть 0 < ]Ь! < Ьо, а Е Аь; обозначим через Л = Л,,ь замыкание неустойчивого многообразия гиперболической неподвижной точки рь,ь отображения Р, ь, 'пьогда (!) Л С [ — 3, 3] х [-ЗЬ, ЗЬ]; (й) существует точка го Е Л, орбита которой всюду плотна в Л, такая, что длл любого и > 0 ][12Р,"ь(го)[! ~ Л"; (щ) существует непустое отпкрытое подмножеспьво У с Кз, такое, что длг всех х Е У !пп д(Р,"ь(х), Л) = О. Эта теорема — основное достижение в понимании диссипативных диффеоморфизмов поверхностей (ср.
ргзд. 4). Было бы интересно получить в ее и. (Ь) более полную информацию типа той, которая получена в пп. (Ь) теорем 1 и 2. 2. КВАДРАТИЧНЫЕ ЬЛНОГОЧЛЕНЫ 2.1. При а > — ' имеем 1пп„ье Р,"(х) = +со для любого вещественного х. Жан-Крнс1 оф йоккоа 124 При а < -' обозначим через уса множество вещественных х, Р„-орбиты которых о1 раннчены. Тогда Если а < — 2, то Р,(0) = а < -Д,. Легко видеть, что существует гомеоморфизм 6, пространства (О, Ц~ на К„сопрягающий стандартный сдвиг Бернулли а с Р,[к.. Канторово множество К, распаягиваешся под действием отображения Р,: существуют с > О, А > 1, такие, что для любых х б К„п > 0 [РР,"(х)[ > сА".
Хаусдорфова размерность,множества К, аналитически зависит от а Е ] — оо, — 2[ [10]. В этом случае все аспекты динамики отображения Р, очень хорошо контролируются. 2.2. При а е [ — 2, -'] =,1 имеем К, = [ — ~3, В,]. Обозначим через Ю счетное дискретное множество значений а, при которых критическая точка 0 периодична. Пусть ао Е Э и и — период точки 0 относительно Р„ .
Существуют открытый интервал 1(ао) = ]ао . ао [ С 1, содержащий ао, и аналитическое отображение а": 1(ао) -а В., обладающие следующими свойствами: (!) для а е 1(ао) точка а" (а) является периодической точкой отображения Р, с периодом и; (й) а" (ао) = 0; (ш) отображение а -а РР™(аоо(а)) — возрастающий аналитический диффеоморфизм, отображающий 1(ао) на ] — 1, 1[. Для а е 1(ао) положим И'„= [ х Е В., !пп Р,"(х) = а" (а)), а-нсо н-1 1.
= Ц Р.-а(И.), д. = К. - У, а=о Множества аУо, У, открыты. Точки 0 и а" (а) принадлежат одной и той же связной компоненте множества И',. Компакт К, растягивается прн отображении Р,, В окрестности периодической орбиты точки ао'(а) в семействе Р, происходит бифуркация типа флип (удвоение периода) при прохождении через значение параметра ао и типа флип или седлоуэел при прохождении через ао+. КВАДРАТИЧНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ И АТТРАКТОР ЭНО 125 2.3.
Основная гипотеза о вещественных квадратичных многочленах состоит в следующем: Гипотеза. Отлкрытаое множествво Ц„етт1(ао) = Я всюду плоитно в 7. При а Е 1, а ~ Ц„ее 1(ад), все периодические орбиты отображения Р, являются отталкивающими. Однако очевидно, что множество К,, содержащее критическую точку, не может растягиваться отображеняем Р, в смысле и. 2.1.
Теорема Якобсона показывает, что 'Н не лвлееетев подмножеством полной меры Лебега в [ — 2, Ц. Говорят, что Р, для а Е,7, а Е [)„ тт 1(ао), удовлетворяет условию Мисюревича, если положительная полуорбита (Р„"(0))„7>ю не накапливается к нулю. В этом случае многочлен Р, удовлетворяет утверждению (Ь) теоремы 1 [11) для некоторого Л > 1. Однако Р„, как правило, не удовлетворяет условию Мисюревича. 2.4. Пусть ао Е 27 и и — период точки 0 относительно Р„. Существуют вещественное число ае < ав, непрерывное отображение Д„: 1 -+ еь+ и гомеоморфизм ф„: У -+ .7(ао) = [а,т, ос+], такие, что для каждого а Е 7 ограничения Р,[к, и Р" (,)[(, ( >, < 1) топо- логически сопряжены [35]. Число а,~ определяется этими свойствами однозначно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
