Труды семинара Бурбаки за 1991 г (947404), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Кипниса за помощь прн подготовке этой статьи. 2. ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЙ ПРЕДЕЛ: ОБ(ЦАЯ ЧАСТЬ 2.1. Случайные модели. Рассмотрим случайные величины У = (У(г))геЬ с целыми или действительными значениями, заданные на г! Сн, тважс книгу: Брав» Н. 1 агве вса1е бупагпкв а! 1пвегасппя раве!с!ев. ВрбпяегЧег1ая, Вег1!и, 1991. — Прим, верее.
143 ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ПРЕДЕЛЫ решетке 1 . Сама Ь может быть решеткой 2" размерности И нли, как в равд. 4, торнческой решеткой (2/ИЕ)4 с большим ЛГ, а У(1) представляет собой алгебраический заряд, число молекул в точке 1, наличие или отсутствие частицы в точке 4 (для решетчатого газа У(1) Е (О, Ц),.... Конфигурация У эволюционирует с течением времени в соответствии с марковским однородным процессом с генератором ь = ~". Р С;,с, инвариантным относительно трансляпий и таким, что С;, / = О для всех пробньпс функций /, не зависвцих от (у(г), у(г') ) . В этом изложении мы предполагаем для простоты, что обмены происходят лишь между самыми близкими соседями, так что в итоге речь идет лишь о парах точек 1, 1', расстояние между которыми равно 1.
Мы предполагаем также, что полная масса, формально ) ',. Е(1), есть единственная сохраняющаяся величина для полугруппы с генератором ,С. Если Š— топологическое пространство, обозначим через М(Я) (соотв. М~~ (Е)) множество мер Радона (соотв. вероятностных мер) на борелевской и-аягебре пространства Е. Существенным ингредиентом гндродинамического поведения является существование, связанное с законом сохранения, однопараметрического семейства ир Е М~1(1ь~), где р принадлежит интервалу 1 С К инвариантных относительно указанной полугруппы эргодичных трансляционно инвариантных вероятностных мер (аналог мер Максвелла). При таком предположении выбираем параметризацию как среднее значение сохраняющейся величины р = Е"'х'(1).
Эти меры и отличаются одна от другой значениями своих химических потенциалов (вимический потенциал — это переменная, двойственная переменной р). Пусть е — параметр перенормнровкн пространства, который будет стремиться к нулю; в случае тора е = 1/ЛГ. Поскольку взаимодействие локальное, необходимо ускорить время множителем 1/а(я) с 1пп, +е а(с) = О; пространственные переменные и время 4, и на микроскопическом уровне пересчитываются в х = Й, 1 = а(е) и на макроскопическом уровне. Начальное распределение Ре зависит от е; пусть Р' — закон распределения процесса с генератором ь' на пространстве траекторий н Р„' = ехр (иС') Ре — его маргинальное распределение в момент и.
Пусть теперь 7" — трансляция на вектор 1 на пространстве конфигураций (Т'у(Ф') = у(3 + Ф') для всех 3' Е 1 ). 144 Фр»нсис Квм»ц 2.2. Локальное равновесие. Определения. (1) Начальное распределение удовлетпворлетп угловою лака внове равновесия, если Р[ Т~'~'~ =»о~,<,> Ух б Н для регулярных функций рв, рв называется профилем локального равновесия. (2) Говорят, что локальное равноввсне сохранлетпся, если существует регулярная функция р($, х), такая, что Рт»~, ~ »»Т~~~~~ ==»ору»>»тх Е К, ЧФ ~ ~О. »-»в Здесь ~ означает слабую сходимость вероятностных мер. Определение (1) означает, что система в окрестности микроскопической ячейки » = х/г находится в состоянии равновесия, определяемом локальным средним сохраняющейся величины.
Можно получить локально равновесное распределение, продиктованное»равновесием» с химическим потенциалом, медленно меняющимся на пространстве микроскопических ячеек; тогда ор являются произведениями мер, наиболее простой пример — это ®» х, ир,т,б(ду(»)) .
Определение (2) означает, что среднее значение конфигурации 1' эволюционирует медленно (по причине локальности взаимодействия) и на больших временных интервалах в силу локальной эргодичности система приходит в локальное равновесие с этим средним. Системы, имеющие гидро- динамический предел, сохраняют, как правило, локальное равновесие; мы встретим лишь два исключения — это ударный фронт (п. 3.5) и фазовый переход (п. 4.4).
Введем два вектора, связанные с законом сохранения; пусть (ет,...,св) — канонический базис в Ев. Для й < И потпок д„ь(») есть алгебраическое число зарядов, прошедших из» в»+ еь в интервале времени [О, и[; тогда уравнение баланса в данный момент имеет вид в »1Уи(») = ~~' [Ыи,ь(») ддь,ь(» сь)[ ° ' (2) ьнт Заметим, что,7„,. — зто функция на пространстве, большем, чем пространство траекторий исходного процесса У, содержащем, например, процессы Винера нли Пуассона, присоединенные к У; она является измеримой функцией от всего прошлого до момента н.
Ток у(», у) = Ць(», у))ь<в в момента и определяется как производная потока в этот момент; это функция от конфигурации; из инвариантности генератора б относительно трансляций следует, что Я»,у) = ЯО, Т'у). ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ПРЕДЕЛЫ 145 Из (2) вытекает, что Гв У («) — / ДУ„(») «(и есть Р'-мартингэл, о (3) где ь ЕУ (») = —,~ (1»(О,Т»У„) — уь(О,Т' '"У„)]. «=1 Предыдущее соотношение связывает на микроскопическом уровне «производную плотности по времени» с дивергенцией тока.
Вывод аналогичного соотношения на макроскопическом уровне получается в первом из рассматриваемых ниже режимов. 2.3. Общая форма уравнений. Интересна мера 1'««Е М(Ке), ассоциированная с сохраняющейся величиной (мера зарядов, мера чисел заполнения, ... ), г»« = ее ~ 1'«у,~«1(«) б;~, . «ох» (4) Пусть»«(р) = Е" »(О,у) — вектор тока в равновесии ор. Определение 3. Система находится в эблеровом режиме, если 1 ~ О. Хорошей нормализацией времени в этом режиме тогда будет а(е) = е. Теорема 1 [ТПРР, ТЬеогеш 4.1].
Если система удовлетворяет условию сохранения локавьиого равновесия с а(е) = е, то профиль локального равновесия р(1, х) есть слабое решение задача — р+Йи1(р) = О, < д д~ р(О, ° ) = ро( ). (ба) Доквзательство элементарно и состоит из уточнения термина «производная мартингала, ассоциированного с г«' », с помощью (3) и предположения о сохранении локального равновесия. Кроме того, видно, что в предположении о ненакоплении массы в окрестности некоторой точки н мажорировании (линейном по времени) возрастающего процесса, ассоциированного с д,мера 1«' сходится по вероятности к детерминистскому пределу р(«, х) дх для всех «> О (закон больших чисел).
Как мы убедимся, доказательства гндродинамнческого предела часто устанавливают одновременно сходимость меры 1'««и сохранение локального равновесия. 14б Френсис Конец Нелинейное гиперболическое уравнение (5а) допускает, вообще говоря, несколько слабых решений, которые вычисляются методом хаРактеристик. Тем не менее оно обладает единственным естественным Решением — энтропийным решением (см. [Яш]), получаемым как предел Решения р, уравнения с вязкостью д д1 — р, +41чее(р,) = В11р, (5Ь) пРи е -е О, Во всех слУчаЯх, когда сходимость меРы ге' была Установлена, предел есть энтропийное решение уравнения (5), см. Раэд.
3. Определение 4. Система находится в диффузионном режиме, если У(Р) = О для любого р Е 1. Тогда уравнение (5) тривиально, и требуемая нормировка есть а(с) = ег. Наиболее простой случай — градиектлнал сиспеема, для которой ток записывается как дискретный градиент функции У, уя(О у) = (У ' Т УНу)- (б) Пу, 77(р) =Н" и. Теорема 2 [П1РР, ТЬеогеш 4.1]. Нели сисепема удовлепзворлеев условию локального равновесия с а(г) = в~, еио профиль р($, х) есвеь слабое рееаекие уровкекил диффузии — р+ се[О(р)] = О, р(О, ) = ро( ).
(7а) При тех же дополнительных условиях, что и выше, уее сходится к Р(1, х) по вероятности. Для нелинейного параболического уравнения (7а) не возникает проблем единственности: поскольку предел меры 1'е' — непрерывная функция времени, можно получить из вероятностных оценок оценку нормы в Н 1 [СРЧ] или сослаться на теорему единственности для нелинейных эволюционных уравнений, управляемых аккретивным или максимальным монотонным оператором [Не1].
Для неградиентных диффузионных систем предполагаемое уравнение, исходя из физического закона Фика, — зто — р = 41о [Н(р)тур]; д д$ (7Ь) коэффициент диффузии (объемный коэффициент) Р, появляющийся также в теории равновесных флуктуаций, дается формулой Грина- Кубо [Яр], которая выражает В в терминах равновесной динамики; для случая градиентных систем это уравнение совпадает с (7а).
147 ГИДГОДИНАМИЧЯСКИП ПГ5Д5ЛЫ Общий случай изучен хуже, и мы ограничимся градиентным случаем, эа исключением п. 5.2. Для того чтобы ввести предельные уравнения (5), (7), мы воспользуемся предположением о сохранении локального равновесия как удобным анзатцем. Доказательство дает одновременно сходимость поля к решению уравнения и сохранение локального равновесия. Однако чаще всего предполагают, что начальное распределение есть локальное равновесие, чтобы избежать изучения начального периода времени, необходимого системе для достижения локального равновесия (начальный погранслой). Этот период велик.на микроскопической шкале, но мэл на макроскопической шкале. 3. ПРО(1ЕССЫ ЧИСТЫХ СКАЧКОВ Они описывают системы частиц на 24, которые могут прыгать из одной ячейки в другую; величины У(1) принимают целые значенил. Мы ограничиваемся к тому же скачками на расстояние 1.
О существовании и о свойствах приведенных ниже примеров таких систем см. [1л]. 3.1. Примеры. (а) Простой процесс с запретами (У(1) Е (О, 1), не более одной частицы в ячейке). Через случайное время независимо одна от другой (это время имеет показательный закон распределения со средним 1) каждая частица выбирает соседнюю ячейку в направлении хеь с вероятностью ряь (ряь ) О, 2 ь(рь + р «) = 1). Если ячейка свободна, частица в нее прыгает, в противном случае частила остается на месте.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
