Труды семинара Бурбаки за 1991 г (947404), страница 23
Текст из файла (страница 23)
8.2. Недавно Флер Щ указал метод, который, кажется, дает алгоритм вычисления групп гомологий 1'(М) по аналогии с существующим для инварианта Кассона методом, т.е.задавая многообразие М как результат перестройки по зацеплению в Ял. Во всяком случае эта конструкция дает новое объяснение, почему эйлерова характеристика четна, т.е. почему инвариант Кассона целочисленный.
Исходная идея состоит в том, чтобы описать морфнзм у: 1,(М) -+ 1,(г1), когда многообразие Ж получено из М перестройкой по узлу К С М. Флер выписал точную коммутативную диаграмму 1'(М) -> 1'(ЛГ) 1,'(М вЂ” К) В этой диаграмме многообразие М вЂ” К является единственным многообразием, гомологии которого совпадают с гомологиями многообразия о! х Яз и которое можно получить, беря связную сумму полнотория с дополнением к узлу. Группа 1.'(М вЂ” К) является группой инстантонных гомологнй, полученной отправляясь от нетривиального ЯО(3)-расслоения над М вЂ” К. Конструкция этой группы использует отсутствие приводимых связностей. Она имеет Е/4Е-градуировку ( = 2Е~8Е в диаграмме); это-то и влечет за собой сохранение четности эйлеровой характеристики.
Жал-Клод Сллораа б. СИМПЛЕКТИЧЕСКИЕ ГОМОЛОГИИ Пусть (И,ы) — симцлектическое многообразие и Ь,В' С У— лагранжевы подмногообразия. Изучение пересечений Ь й Ь' мотивировано гипотезами, сформулированными В. И. Арнольдом в 60-е годы (см. [Аг]). В одной из них утверждалось, что если лагранжевы подмногообраэия Ь и л.' замкнуты и гамильтоново изотопны, а также выполняютсл некоторые дополнительные предположения, например, что ограничение класса формы, задающей симплектическую структуру, на относительные гомотопические классы равно нулю (т.е. [ы] ]ха(У, Ь) = 0), то пересечение этих лагранжевых подмногообразий содержит не меньше точек, чем имеется критических точек у любой функции на йл «(Ь О Ь') > с(л ).
В частности, Арнольд предположил, что если (Р, ы) — компактное симплектическое многообразие и <р Е П1п(Р,ы) — гамильтонов диффеоморфизм, то число неподвижных точек на Р, которые находятся во взаимно однозначном соответствии с Ьр О (Ы х~р)(Ьл), где подмногообразие Ьр С Р х Р является лагранжевым относительно структуры ы 9 (-м), больше нли равно с(Р) . В работах Флера [г2] и [Е4] даны наиболее обшие результаты, известные на сегодняшний день (ноябрь 1990 г.) по этому вопросу. Его рассмотрения, как мы сейчас увидим, основаны на определении гомологяй в соответствии со схемой, упомянутой во введении. Аналогом уравнения автодуальности являются в этом случае псевдоголоморфвые кривые Громова [Ог].
6.1. Сначала определим функционал площади, критические точки которого будут принадлежать 1 П Ь'. На самом деле мы увидим, что обычно имеется замкнутая 1-форма, которая при некоторых предположениях допускает первообразную со значениями в К или в Я1. Функциональное пространство В = В(Ъ', Ь, Ь') состоит из путей у: (1,0,1) -+ (У, Ь, Ь'), и упомянутая вьппе 1-форма определяется по формуле а(у) . с = ] м(Е, у) й. Касательныи вектор Е Е Т,,В есть, конечно, векторное поле на Ъ' вдоль пути ~. Полученная 1-форма является замкнутой, потому что локально она имеет перво- образную (у) = ]яы, где  — некоторый достаточно малый прямоугольник между путями уе и у.
Первообразная корректно определена,так как форма ы замкнута и подмногообразия Ь, Ь' являются лагранжевыми. Чтобы выяснить, будет ли форма а точной, заметим, что фундаментальная группа пространства В изоморфна группе относительных гомотопических классов отображений цилиндра [Ва х 1, Я~ х О, У х 1; У, Ь, Ь'], причем гомоморфизм [а]: я1 В -+ К определяется интегрированием формы ы.
Отсюда, например, можно вывести, что форма а является точной, когда подмногообразия Ь ГОМОЛОГИИ, АССОЦИИРОВАННЫЕ С ФУНКЦИОНАЛОМ 117 и Ь' гамильтоново изотопны между собой и ограничение класса формы ы на относительные гомотопическне классы равно нулю, т.е. [ы][яг(Р, Ь) = О. Нулями формы а являются постоянные пути в Ь Г1 Ь'. Если пересечение Ь П 7/ является дискретным, что имеет место, когда подмногообразия Ь, Ь' трансверсальны, то существует биекция сгЦ(а) +~ Ь П Ь'. Кроме того, можно всегда наделить симплектическое многообразие (Ъ',м) почти кэлеровой структурой, т.е.такой метрикой (, ) и почти комплексной структурой .7, что выполняется равенство ы(Х, У) = (,7Х, У). Тогда ясно,что Ьг-градиент имеет вид ~7(у) = †,77.
Следовательно, градиентнаялиния и -+ ч„ задается уравнением д 7„/дп = — д 7„. Его можно переписать в виде дГ/д1 = .7ОГ/ди, полагая -7„(1) = Г(п, 1) . Иначе говоря, функция Г(н+ е1) является псевдоголоморфной функцией на полосе Н. + 1[0, 1] с С. Индекс нуля формы а, задается, кроме того, спектральным потоком гессиана. В этом случае он выражается в гомотопических терминах: путь между двумя критическими точками приводит к отображению 77г -+ Р, которое переводит нижнюю часть края в Ь, а верхнюю часть в Ъ'. Следовательно, получаем симплектическое расслоение над Рз, наделенное двумя лагранжевыми подрасслоениями над двумя компонентами края. В этой ситуации можно определить индекс Маслова [%], который является в точности спектральным потоком (см.
[Р1]). С помощью конструкции, аналогичной той,которая изложена во введении, Флер построил при некоторых предположениях гомологии 7,(Р,7, Ь') [Р2, Р4]. Например, имеет место Теорема [Р2]. Если лаграпжево подмногообразие Ь гамильтоново пэотопно лагранжеву подмногообраэию Ь' и кз(Р, Х) = О, то гомологпи 1,(Ъ', Ь, Х') корректно определены п иэоморфны гомологилм Н,(7) . Замечание. Флер анонсировал свой результат для случая, когда кольцом коэффициентов служит Е/2Е, но, без сомнения, нетрудно ориентировать пространства модулей и получить этот результат для кольца Е. 6.2. Связь между инстантонными гомологиямн и симплектическими гомологиями объяснена Атьей в работе [А1Ц.
Если Мз — трехмерная целочисленная гомологическае сфера и М = М1 0г. Мз — разложение Хегора, то, согласно разд. 2.2, В(М) = В(М1) П В(Мг) С В(Е) . Действительно, нз того, что Š— поверхность, можно заключить, что В(1') является неособым симплектическим многообразием вблизи не- приводимых связностей. Кроме того, пространства В(М,) являются Жвн-Клод Сннорвв 118 лагранжевыми подмногообраэиямк. Следовательно, инстантонные гомологии порождаются точками пересечения этих двух лагранжевых подмногообрвэий (для простоты полагаем, что это пересечение трансверсально).
Проблема состоит в том, что эти многообразия имеют особенности, а если удалить особенность, то они перестанут быть компактными. Атья исследовал вопрос, можно ли тем не менее так определить симплектические гомологии, чтобы дать новую интерпретацию инстантонных гомологий.
Заметим, что функционал ЧженяСаймонса и симплектическое действие имеют одни и те же критические точки, но разные градиентные линии. ЛИТЕРАТУРА [АМ! АЫси1вс Б., МсСвтсЬу Л., Свввов'в !птах!апс Гог оПевсеб Ьошо!обу СЬхееврЬегеи ав ехров!С!оп, МаСЬ. Ь!стев 86, Рпвсетоп !Л. Р., 1990. [Ат] Арнольд В. И. Первые шаги симпзектической топозогви. — УМН, 1986, т. 41, вьш.
6, с. 3-18. [АС1] АбуаЬ М. Р., Хек !птвх!автв оГ СЬхее ааб Гопг-т)!шевзюпа! шашГоЫз, 1п тоаСЬешаС!св! Ьехнабе оГ Неппапв 15теу1, Ргос. Яушр. Рые МаСЬ, 48, Ашег. МасЬ. Яос. (1988), 285-299. [Имеетсв перевод ва руссквв язык: Атьз М. Новые ивзариаиты трех к четырехмерных миогообраэий.— УМН, 1990, т. 45 (274), вмп. 4, с. 3-16.] [АС2] АС!уаЬ М. Р., Торо!о6!са! т!иаптиш беЫ СЬеоту, РпЫ.
МаСЬ. 1.Н.Е.Б. 70 (1990), 175-186. [АРЯ] АбуаЬ М. Р., Ратоо2 Ч. К., Бшбег 1. М., Яресгга1 ззушшетгу апб ВГешапп!ап 6еошеСгу, 1: МаСЬ. Ргос. СашЬт!46е РЬВов. Бос. 77 (1975), 43- 69. П: Ы., 78 (1975), 405-432. П1: Ы., 79 (1976), 71-99. [Вг] Вгватп Р. Л., Р!осг Ьошо!обу 6топрв Гаг Ьошо!обу СЬгее-врЬегев, Абю тп МаСЬ. 88 (1991), Хо. 2, 131-144. [СЯ] СЬегп Я.
Б., Япвопв Л., СЬатасгепвбс Гопы апт! 6еошетпс !втаг!апзв, Апв, оГ МаСЬ. 99 (1974), 48-69. [ХЛ1] ГЛоваЫвоа Я. К., Ав арр1!сатюп оЕ 6апбе СЬеогу Со СЬе СороЬтбу оГ ГовгшашГоЫв, Л. ГЛ!ЕЕсгепС!а! Сеош. 18 (1983), 279-315. [Г12] ГуоваЫвоп Я. К., Соппесгюы, соЬошо1обу апт! СЬе шгетвесстоп Готш оГ Гонт-шап!Ео!бз, Л.
П!1ЕегепС!а! Сеош. 24 (1986), 275-341. [ГЛЗ] ПопаЫзов Я. К., ТЬе обеагабоа оГ Уавб-М!!!в шо<Ьй врасев апд Еопгшав!Ео!дв горо!обу, Л. О!бетевба1 Сеош. 26 (1987), 397-428. [П4] Вова!т)вов Я. К., Ро!шопвв! штапвлсв Гог вшоосЬ Гсвг-пташЕо1бз, Торо)- обу 29 (1990), 257-315. [С!К] ГтопаЫвов Б. К., КгопЬеппег Р. В., Сеошетгу оГ !ош-шашГоЫв, ОттГогт! ГЛ. Р., 1990. [Р1] Р1оет А., А теса!!те Мотне !птсех Гот сЬе вушр!есс!с асс!ов, Сошш. Рше Арр!. МасЬ.
41 (1968), 393-407. [Р2] Р1оег А,, Мотве сЬеоту Гог Г щтапб!ап шсетвессювз, Л, ЕЛИГегепСмЛ Сеош. 28 (1988), 513-547. ГОМОЛОГИИ, АССОЦИИРОВАННЫЕ С ФУНКЦИОНАЛОМ 119 [РЗ) Р!оег А., Ав !пзсаисоп !пчапапс Еог сЬгее-шап!Ео!дз, Сошш. МасЬ. РЬуз. 118 (1988), 215-240. [Р4] Р!оег А., Яушр!есС!с 8хед рошгз апд Ьо!опгогрЬ!с зрЬегез, Сошш. МаСЬ. РЬуз. 120 (1989), 335-356. [РЗ] Р!оег А., 1пзгаисоп Ьошо1обу, ОеЬи зигбегу, апд Ьиогз, ш Сеошеггу оЕ 1 пи-ЕЛ!шепа!опа1 МаиНа!дз 1 (Я. К. Еуопасдзоп апд С.
В. ТЬошзз ей!- гоге), Ьоидоп МасЬ. Яос. Ьесс. ЬЕоСез 150, СашЬпдбе ЕЛ. Р., 1990. [РЯ) РшгизЬе! В, ЯСегп Ич 1пзгапСоп Ьопю!обу Згоир оЕ ЯеИегС ЯЬегед Ьопю1обу СЬгее зрЬегез, Ргос. Ьопдои МаСЬ. Яос. 62 (1991), 109-137. [РТ] Ргеедшап М., Тау!ог Ь., А-зрЕСЦпб Еоиг-шап!Ео!дз, Торо1обу 16 (1977), 181-184. [РЕЛ] РУеед ЕЛ. Я., ЕЛЫеиЬесЬ К., 1пзгапзоиз апд Еоиг-гоашЕоЫз, ЯрпибегЧег1аб, 2~ ед., 1990.
[Имеетсл руссквй перевод 1-го издз Фрид Д., Улеибек К. Иистаитоиы и четырехмерные миогообрмвл. — Мз Мир, 1988.] [Ри) РиЬауа К., Р!оег Ьошо!обу опепгед СЬгее-шапНо1дз, ргерппС, 1990. [Со] Со!дшап ЪЧ., ТЬе зушр1есЦс пагше оЕ СЬе Еипдашепга! Згоир оЕ зшЕзсе, Адч. Ы МаСЬ. 54 (1984), 200-225.
[Сг] Сгошоч М., Рзеидо-Ьо!ошогрЫс сигчез !п зупгр1есйс шашЕо1дз, Епчепс. МаСЬ. 82 (1985), 307-347. [ЛВЯ) Лопез Л. О. Я., Ваипз!еу Л. Н., Яв!ашои Е!. А., 1пзгзигоп'Ьошо!о8у апй СЬе еза !пчапапС, ргерппС, 1990. [К] КосзсЫсЬ Бч 1пзсапсоп Ьопго!обу (аЕСег А.
Р!оег), !и Сеошесгу оЕ 1 ои- ЕЛ!шепз!оиа1 МзиНо!дз 1 (Я. К. ЕЛопаЕдзоп апд С. В. ТЬошм ед!согз), 1опдоп МаСЬ. Яос. ЬесС. ЬЕогм 150, СашЬпдбе ЕЛ. Р., 1990. [ЬМ] 1 осЬЬагдС В.. В., МсОиеп В.. С., Е!1!РЦс д!Йегепг!а! орегагогз оп сошрасС шапНо!дз, Апп. Ясио1а ЬЕогш. Япр. Р!за 1Ч-12 (1985). [Ма] Мапи А., ЕЕп поче1 !пчаг!апС рош !ез зрЬЬгез йЪопю!обу йе сВшепз1оп сго!з (й'ергез А. Саззоп), Яеш. ВоигЬаЫ п' 693 (Еечг!ег 1988), Алгбпзцие 161-162 (1989), 151 — 164.
[Имеетсл перевод: Марен А. Новый иивариаит длл трехмерных гомологических сфер (по Кассоиу). — В киз Труды семвиара Н. Бурбаки за 1988 г. — Мз Мир, 1990, с. 145-16Ц [М!] М!!пог Л., 1.ессшез оп сЬе Ь-соЬогг1!згл СЬеогеш, Рг!посол ЕЛ. Р., 1965. [Имеется русский перевод Дж. Милиор, Теорема об Ь-кобордизмЕ М., Мир, 1968.] [Ы] Новиков С. П. Многозначные функции и функционалы. Аиалог теории Морса. — ДАН СССР, 1981, т. 260, с. 31-35. [01] О!соие1с С., Ов СЬе Р!оег Ьогоо!обу !Е яе!Еегс-6Ьегед Ьошо!о8у сЬгеезрЬегез, ргерппг, 1990. [02] ОЬоиеЬ С., 1изгапгоп шчапапсз апд а18еЬгв1с зпгЕасез, ргерппС, 1990.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
